Конспект урока Дифференциальные уравнения первого порядка c разделяющимися переменными.

Заплани-

рованные этапы урока, время

Деятельность, запланированная на уроке

Ресурсы

Начало урока

Орг. момент.

Проверка домашнего задания.

Устный опрос.

Презентация

Середина урока

https://drive.google.com/file/d/1SpAuXqH38NmLBI6T8KP_uBqVQhuR2PID/view?usp=sharing

http://school-collection.edu.ru/catalog/res/3208b518-f002-4c6a-a8ce-210e81e71261/view/

Дифференциальные уравнения первого порядка

Уравнение вида F(x, y, y')=0, где х — независимая переменная; у — искомая функция; у' — её производная, называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Если уравнение можно разрешить относительно у', то оно принимает вид: y' = f(x, y) и называется уравнением первого порядка, разрешенным относи­тельно производной.

Дифференциальное уравнение удобно записать в виде: , являющемся част­ным случаем более общего уравнения (в симметрической форме): P(x,y)dx+Q(x, y)dy =0, где Р(x, y) и Q (x, y) — известные функции.

Уравнение в симмет­ричной форме удобно тем, что переменные х и у в нем равно­правны, т.е. каждую из них можно рассматривать как функцию от другой.

Решением дифференциального уравнения первого прядка называется функция у=j(х), которая при подстановке в уравнение обра­щает его в тождество.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Общим решением уравнения в некоторой области G плоскости Оху называется функция у=j(х, С), завися­щая от х и произвольной постоянной С, если она является решени­ем уравнения при любом значении постоянной С, и если при любых начальных условиях таких, что (х₀; у₀)ÎG, существует единственное значение постоянной С=С₀ такое, что функция у=j(х, С₀) удовлетворяет данным начальным условиям j (х₀, С)=С₀.

Частным решением уравнения в области G называется функция у=j(х, С₀), которая получается из общего решения у=j(х, С) при определенном значении постоянной С=С₀.

Определение.  Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида:

или

При решении дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными полезно придерживаться следующей схемы:

1.      Выполнить разделение переменных:

2.      Проинтегрировать обе части уравнения:

3.      Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям (если они заданы).

Пример 1. Найти частное решение уравнения

xdy = ydx, если при x = 2, y = 6.

Решение. Произведем разделение переменных, для этого обе части уравнения        xdy = ydx        разделим на произведение   xy:

1.      Проинтегрируем обе части уравнения     

 Произвольное постоянное С может принимать любые числовые значения, поэтому для удобства потенцирования вместо С пишут lnC.

Пропотенцировав равенство ln y=ln x + ln C, получим:

2.      Найдем частное решение. Подставим значения х=2 и у=6 в уравнение у=Сх:

 откуда .

Подставив найденное значение С в уравнение , получим:

Пример 2. Найти общее решение уравнения:

Решение Разделим переменные. Для этого преобразуем данное уравнение следующим образом:

(полагаем здесь ).

2. Проинтегрируем обе части последнего равенства:

Для удобства потенцирования представим у в виде  и постоянную интегрирования С₁ в виде  Имеем:

Потенцируя получим  Таким образом

- общее решение данного уравнения.

Пример 3. Найти частное решение уравнения:

 если при х=2, у=3.

Решение. Производим разделение переменных, разделив обе части заданного уравнения на произведение

 (х-1)(у+1):

 или

2. Проинтегрируем обе части уравнения

 или  откуда

или

Таким образом у = С(х-1)-1 – общее решение дифференциального уравнения (х-1)dy = (y+1)dx.

3. Найдем частное решение. Подставим значения х=2 и у=3 в уравнение у = С (х-1)-1: 3 = С (2-1)-1, откуда С = 4.

Подставив значение С = 4 в уравнение у = С(х-1)-1 получим:

у = 4(х-1)-1 или у=4х-5– частное решение уравнения (х-1)dy = (y+1)dx.

Уравнения с разделяющимися переменными

Если ДУ−I имеет вид: Р(х)dx+Q(y)dy=0, в котором Р зависит только от х, а Q зависит только от у, то оно является ДУ−I с разделёнными переменными.

Общий интеграл уравнения с разделёнными переменными представляется уравнением:

Если ДУ−I имеет вид: X₁Y₁dy+X₂Y₂dx=0, в котором X₁ и X₂ зависят только от х, а Y₁ и Y₂ зависят только от у, то оно является ДУ−I с разделяющимися переменными и приводится к ДУ−I с разделёнными переменными. Процесс приведения называется разделением переменных.

Ссылка 1, 2

Презентация к уроку.

Закрепление.

Решение задач

Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка:

1) y^/у=x

Итак, , где C=const – общее решение уравнения.

Найдём частное решение этого уравнения удовлетворяющее начальным условиям

(решим задачу Коши):

у′у=x, х₀=2, у₀=0

Получим .

Итак,  – частные решения уравнения, удовлетворяющие заданным условиям.

2) у^/cosx-ysinx=0

Итак, , где C=const – общее решение уравнения.

Презентация

Конец урока

Рефлексия

Слайд

Домашнее задание:

1.      Написать конспект.

2.      Решить уравнения:

а) у′=-2xу

            б) у′=-у²

Карточка-задание

№

Выполненное задание:

Баллы

1.       

Составить конспект.

30

2.       

Решить уравнения

70