Случайные события 10 класс Вероятность и статистика

Вероятность и статистика 10 класс

Случайные события

Случайным опытом или случайным экспериментом называется опыт, результат которого невозможно точно предсказать.

– стрельба биатлониста на огневом рубеже;
– жеребьёвка перед проведением спортивного турнира;
– проверка случайно выбранной детали на соответствие стандартам
качества;
– выбор билета на экзамене;
– разлив рек во время весеннего половодья;
– измерение кровяного давления;
– взвешивание выбранного на рынке арбуза и т. д.

Случайным опытом. В результате проведения опыта оно может произойти или
не произойти. Например, с подбрасыванием кубика связаны события:
A = {на кубике выпадет чётное число очков};
B = {на кубике выпадет число 4};
C = {на кубике выпадет число больше 4}.
В результате стрельбы биатлониста могут произойти или не произойти
события:
D = {все выстрелы попадут в цель};
E = {все мишени будут сбиты}.
Хотя события D и E кажутся одинаковыми, на самом деле они разные.
Если вы следите за соревнованиями по биатлону, то знаете, что в эстафете для поражения мишеней биатлонисту даётся несколько запасных патронов, которые он может использовать, если совершил промахи.

Все возможные результаты случайного опыта называют его исходами.

Исходы, при которых событие наступает, называют благоприятными для этого события.

Любое случайное событие – это множество благоприятных для него исходов.

Пример 1. На очередном огневом рубеже биатлонист должен поразить три мишени.
Для этого ему даётся 4 патрона, один из которых запасной. Сколько возможных исходов имеет такой случайный опыт?
Если считать исходами число сбитых мишеней, то возможных исходов
будет четыре: 0, 1, 2, 3. Но они не совсем «элементарные». Например,
сбить 3 мишени можно по-разному: с использованием запасного патрона
или без него.
В этом опыте полную информацию об исходе всей стрельбы дают, скорее, результаты каждого выстрела. Обозначим попадание в мишень цифрой 1, а промах — цифрой 0. Тогда исходами опыта будут последовательности из 1 и 0, например:
111 — все три выстрела достигли цели, все мишени сбиты;
0111 — все мишени сбиты, но использован дополнительный патрон;
0000 — все выстрелы прошли мимо и т. д.
Три выстрела будут сделаны только в одном случае: когда все они попали
в цель. Значит, остальные исходы будут состоять из четырёх 0 и 1. При этом
годятся все такие последовательности, кроме одной: 1110. Ведь, сбив три мишени, биатлонист не будет использовать дополнительный патрон.
Используя полученные исходы, можно выразить через них те случайные события, о которых шла речь выше:
D = {все выстрелы попадут в цель} = {111};
E = {все мишени будут сбиты} = {111, 0111, 1011, 1101}.
Как мы и говорили, события оказались разными: первое содержит
только один исход (значит, является элементарным), а второе состоит из 4 исходов.

Случайное событие A произошло NA раз, то дробь 𝑵𝑨 𝑵 𝑵𝑵𝑨𝑨 𝑵𝑨 𝑵 𝑵𝑵 𝑵𝑨 𝑵 называют частотой события A в этой серии.

Иногда этот термин уточняют: указанную дробь называют относительной частотой, а целое число NA — абсолютной частотой события A. Аналогично определяется и частота любого исхода — это доля опытов, завершившихся этим исходом.

Получаем следующие четыре свойства частот:
1. Частота любого случайного события всегда лежит в промежутке от 0 до 1.
2. Частота невозможного события равна 0, а частота достоверного равна 1.
3. Сумма частот всех возможных исходов опыта равна 1.
4. Частота события A равна сумме частот всех благоприятных для него исходов.

Устойчивость частот в длинной серии случайных опытов частота любого случайного события A стабилизируется и приближается к некоторому числу P(A), которое называют вероятностью.

Получаем следующие четыре свойства аналогичные свойствам частот:
1. Частота любого случайного события всегда лежит в промежутке от 0 до 1.
2. Частота невозможного события равна 0, а частота достоверного равна 1.
3. Сумма частот всех возможных исходов опыта равна 1.
4. Частота события A равна сумме частот всех благоприятных для него исходов.