Конспект урока Комплексные корни квадратных уравнений. Основная теорема алгебры.

Заплани-

рованные этапы урока, время

Деятельность, запланированная на уроке

Ресурсы

Начало урока

Орг. момент.

Проверка домашнего задания.

Устный опрос.

Презентация

Середина урока

https://drive.google.com/file/d/1SpAuXqH38NmLBI6T8KP_uBqVQhuR2PID/view?usp=sharing

http://school-collection.edu.ru/catalog/res/3208b518-f002-4c6a-a8ce-210e81e71261/view/

Вывод формулы корней квадратного уравнения в поле комплексных чисел ничем не отличается от такового в поле действительных чисел (как, впрочем, и в любом поле, в том числе и в конечном). Вспомним этот вывод.

Теорема. Пусть , z – комплексная переменная. Тогда квадратное уравнение  имеет ровно два корня (они могут быть равными), которые можно найти по формуле: .

Доказательство. Выделим полный квадрат в левой части квадратного уравнения:

.

Теперь квадратное уравнение можно записать в виде:

 . Доказываемая формула очевидно следует из последнего равенства.

Теорема доказана.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Вычисляем дискриминант 

. Вычисляем корни из дискриминанта по формуле квадратных корней из комплексного числа:

.

Вычисляем корни уравнения по формуле корней квадратного уравнения:

 или ; .

Ответ: .

   Замечание. Аналогично решаются квадратные уравнения с действительными коэффициентами, но с отрицательным дискриминантом.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Вычислим дискриминант. . Отсюда следует, что действительных корней квадратное уравнение не имеет, но, согласно теореме, оно имеет два корня в поле комплексных чисел. Для вычисления корня из дискриминанта применяем следствие из предыдущего п.6, смотри там же пример. Получаем:

. Теперь подставляем в формулу корней квадратного уравнения: .

Ответ: .

Ссылка 1, 2

Презентация к уроку.

Закрепление.

Решение квадратных уравнений в поле комплексных чисел (итог)

ax² + bx + c = 0

1 cлучай: D>0, 2 корня, х_1,2=

2 случай D=0, 1 коре нь, х=

3 cлучай: D<0, 2 корня, х_1,2=

Решение задач.

1. Решите уравнение x² – 4x + 5 = 0.

Решение. D = – 4 < 0, уравнение имеет мнимые корни:   2+i, 2-i

2. Решите уравнение x² – x + 10 = 0.

Решение. D = – 39 < 0, , уравнение имеет мнимые корни:  

3. Решите уравнение x² – 4x + 13 = 0.

Решение. D = – 36 < 0, уравнение имеет мнимые корни:   2+3i, 2-3i

4. Решите уравнение x² – 2x + 15 = 0.

Решение. D = – 56 < 0, , уравнение имеет мнимые корни:  

Презентация

Конец урока

Рефлексия

Слайд

Домашнее задание:

1.      Написать конспект.

2.      Решить уравнения.

3.      Основная теорема алгебры.

Решить уравнения:

a)      х² -6х+25=0

b)      х² +15х+17=0

c)      х² +4=0

Карточка-задание

№

Выполненное задание:

Баллы

1.       

Составить конспект.

20

2.       

Решить уравнения.

50

3.       

Основная теорема алгебры.

30