Конспект урока "Корни и степени"

Тема: Корни и степени. Корни натуральной степени из числа их свойства.

Цель урока: повторить и систематизировать знания учащихся о квадратном корне; сформировать у учащихся понятие корня степени n.Формировать умение учащихся работать с корнями четной и нечетной степеней.

Степени

Определим понятие степени, показатель которой — натуральное число (т.е. целое и положительное).

1.     По определению: .

2.     Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя: 

3.     Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза: .

Возвести число в натуральную степень  — значит умножить число само на себя  раз:

Степень с целым показателем {0, ±1, ±2,...}

Если показателем степени является целое положительное число:

, n > 0

Возведение в нулевую степень:

, a ≠ 0

Если показателем степени является целое отрицательное число:

, a ≠ 0

Примечание: выражение  не определено, в случае n ≤ 0. Если n > 0, то 

Пример 1.

Степень с рациональным показателем

Если:

§    a > 0;

§    n — натуральное число;

§    m — целое число;

Тогда:

Пример 2.

Свойства степеней

Произведение степеней
Деление степеней
Возведение степени в степень

Пример 3.

Примеры для решения у доски:

 

 

 

Корни

С понятием квадратного корня из числа а вы уже знакомы: это такое число, квадрат которого равен а.

,
,
, 

Аналогично определяется корень -й степени из числа а, где– произвольное натуральное число.

А теперь давайте решим такое уравнение:

Итак, это уравнение мы можем переписать в таком виде: . Или .

Тогда наше уравнение равносильно совокупности уравнений: .

Понятно, что уравнение  не имеет решения на множестве действительных чисел. Значит, остаётся решить уравнение

            

                  

Итак, наше уравнение  имеет два действительных корня 5 и –5. Их называют корнями четвёртой степени из числа 625. В свою очередь, положительный корень (число 5) называют арифметическим корнем четвёртой степени из числа 625. Обозначают его так: . Таким образом, .

Запомните!

Арифметическим корнем натуральной степени  из неотрицательного числа а называется неотрицательное число,  -я степень которого равна а.

Арифметический корень -ой степени из числа а обозначают так: . Символ  называют знаком арифметического квадратного корня или радикалом (от латинского слова «радикс» – корень), число называется показателем корня, а число а, стоящее под знаком корня, – подкоренным выражением.

Вам хорошо известен такой частный случай арифметического корня -й степени, как корень второй степени, или квадратный корень из числа, то есть когда  

В этом случае показатель корня не пишут, а пишут просто.

Ещё одним частным случаем является мы привыкли называть его корнем кубическим.

Как правило, когда ясно, что речь идёт об арифметическом корне -й степени, слово «арифметический» не произносят, а говорят кратко: «корень энной степени».

Действие, посредством которого отыскивается корень -й степени, называется извлечением корня -й степени. Это действие является обратным действию возведения в -й степень.

Равенство  при  верно, когда выполняются два условия:; второе —.

Например,.

Число;

.

Видим, что оба условия выполняются. Значит верно.

Из определения арифметического корня следует, что если, то.

Например,

А теперь давайте решим следующие уравнения:  и . Итак, первое уравнение

Перепишем это уравнение в виде: .

Преобразуем наше уравнение, применяя формулу разности кубов. Имеем:

Перейдём к уравнению 2:

Перепишем это уравнение в виде: .

Преобразуем наше уравнение, применяя формулу разности кубов. Имеем:.

Так как , то число –4 является корнем из числа –64. Однако это число не является арифметическим корнем по определению. Число называют корнем кубическим из числа и обозначают так:

Вообще, для любого нечётного натурального числа, уравнение, при  имеет только один корень, причём отрицательный. Этот корень обозначается, как и арифметический корень, символом.

И называют его корнем нечётной степени из отрицательного числа.

Запомните! При нечётном существует, и притом только один. Для корней нечётной степени справедливо равенство 

Например,

 

Корень нечётной степени из отрицательного числа а связан с арифметическим корнем из числа следующим равенством:

Например,  

Арифметический корень -й степени обладает несколькими свойствами. Перечислим их. Итак, при условии, что, , а,  и  – натуральные числа, причём, , справедливы равенства:

 

1. Корень n-степени (n=2,3,4,5, …) из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней n-степени из этих чисел:

  .

2. Чтобы извлечь корень из дроби, нужно извлечь корень из числителя и знаменателя отдельно и первый результат разделить на второй

 .

3. Если a≥0, n=2,3,4,5,… и m – любое натуральное число, то справедливо равенство:

 .

4. Если a≥0, n и k - натуральные числа, большие 1, то справедливо равенство: .

5. Если показатели корня и подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то значение корня не изменится: .

Обратите внимание, что в первом свойстве число  может также быть равным ; в третьем свойстве число  может быть любым целым, если .

Докажем справедливость этих свойств. Итак, первое свойство.

1. .

По определению арифметического корня  – это такое неотрицательное число,  -я степень которого равна произведению .

;

.

2. .

;

3. .

;

.

4. .

;

.

5. .

;

.

А теперь давайте приступим к практической части нашего урока.

Задание 1.

Найдите значения выражений а) ;     б) ;     в) .

Решение.

а) ;                            б) ;               в) .

      ;                                       ;

    ;                                  ;

Задание 2.

Преобразуйте выражения: а) ;     б) ;     в) ;     г) .

Решение.

а) ;

б)   ;

в) ;

г) .

Примеры для самостоятельного решения: