Конспект урока математики на тему: Первообразная.

Заплани-

рованные этапы урока, время

Деятельность, запланированная на уроке

Ресурсы

Начало урока

Орг. момент.

Проверка домашнего задания.

Повторим:

Основные понятия: производная, таблица производных, физический смысл производной.

1.      Вычислить производные следующих функций:

(1)^/ =                          ((2х-3)⁶)^/=

(х)^/ =                          ((х⁵+20))^/=

(30х)^/=                       (Соs 3х)^/=

(х³)^/=                         ( 5х¹⁰)^/=

2.      Назвать физический смысл производной.

Презентация

Середина урока

https://drive.google.com/file/d/1SpAuXqH38NmLBI6T8KP_uBqVQhuR2PID/view?usp=sharing

http://school-collection.edu.ru/catalog/res/3208b518-f002-4c6a-a8ce-210e81e71261/view/

Изучение нового материала

 Задача: При обработке на станке деталь нагреть до 120⁰. Измерения полагается производить при 20⁰. Скорость охлаждения детали пропорциональна разности температур детали и воздуха в цехе. Сколько же нужно ждать?

    Здесь T(t) – температура детали, T^/(t) = k(T-18⁰)^/- скорость её охлаждения.

Вопрос: зная производную некоторой функции, мы должны найти саму функцию. Как это сделать?

Заполнить пропуски в примерах:

                   (…)^/ = 2х                         (…)^/ = 0

                   (…)^/ = 4х³                       (…)^/ = 25

Как можно иначе сформулировать это задание (найти саму функцию, зная её производную; восстановить функцию по производной)?

Восстанавливаемая функция называется первообразной. Дайте определение первообразной функции.

Если мы обозначим саму функцию через f(x), а её первообразную через F(x) , то куда поставить штрих в равенстве F=f? Или: как проверить, что некоторая функция F(x) является первообразной для f(x)?

Производная – «производит»  новую функцию, первообразная - первичный образ.

Определение:  Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) , если F^/(x) = f(x) на заданном промежутке.

Пример 1:

F(x) = x³/3 есть первообразная для функции f(x)=x² на интервале (-¥; ¥), так как

F¢(x) = (x³/3)¢ = 1/3(x³)¢ = 1/3*3x² = x² = f(x)

для всех x Î (-¥; ¥).

Основное свойство первообразной:

Любая первообразная для функции f на промежутке I может быть записана в виде

F(x) + C,

Где F(x) – одна из первообразных для функции f(x) на промежутке I, а С – произвольная постоянная.

Признак постоянства функции:

Если F¢(x) = 0 на некотором промежутке I, то функция F – постоянная на этом промежутке.

Свойства:

1. Какое бы число не подставить в формулу С получим первообразную для функции f на промежутке I.
2. Какую бы первообразную F для f на промежутке I не взять, можно подобрать такое чисто С, что для всех значений x из промежутка I выполнится равенство

F      (x) = F(x) + C.

График двух любых первообразных для функции получается путем параллельного переноса вдоль оси OY.

Таблица первообразных:

Пример 2:

f(x) = -x³, найти F(x)

F¢(x) = -x⁴/4, так как (-x⁴/4)¢ = -x³

Общий вид первообразной:

F(x) = -x⁴/4 + C

Пример 3:

f(x) = 1/x², найти F₀(x) на (0; ¥), F(1) = 1

F(x) = -1/x + C

-1/1 + C = 1

-1 + C = 1

C = 2

F₀(x) = -1/x + 2

Три правила нахождения первообразных

Правило 1

Если F есть первообразная для f, а G – первообразная для g, то F + G есть первообразная для  f + g:

(F + G)¢ = F ¢ + G ¢ = f + g

Пример 4:

f(x) = x³ + 1/x², найти F(x)

(x³)¢ = x⁴/4

(1/x²)¢ = -1/x, =>

F(x) = x⁴/4 - 1/x + C

Правило 2

Если F есть первообразная для f, а k - постоянная, то функция kF – первообразная для kf:

(kF)¢ = kF¢ = kf

Пример 5:

f(x) = 5cosx, найти F(x)

(cosx)¢ = sinx, =>

F(x) = 5sinx + C

Правило 3

Если F(x) есть первообразная для f(x), а k и b – постоянные, причем k ¹ 0, то 1/k*F(kx + b) есть первообразная для f(kx + b):

(1/k*F(kx + b) )¢ = 1/k*F¢(kx + b) * k = f(kx + b)

Пример 6:

f(x) = 1/(7 - 3x)⁵, найти F(x)

(1/x⁵)¢ = -1/4x⁴

F(x) = -1/3 * (-1)/4(7 - 3x)⁴ = 1/12(7 - 3x)⁴

F(x) = 1/12(7 - 3x)⁴ + C

Ссылка 1, 2

Презентация к уроку.

Закрепление.

Решение задач:

1) С целью закрепления определения первообразной выполнить следующие задания:

а) Проверить, что функция F(x) есть первообразная для f(x):

   1) F(x) = x³-2x+1     f(x)=3x²-2

   2) F(x)= x⁴-7           f(x)=4x³

   3) F(x)=10              f(x)=0

   4) F(x)=             f(x)=1/2   x€(0;+)

   5) F(x) =10x¹⁰        f(x)=200x¹⁹

 б) Найти первообразную для функции f(x):

    1) f(x)= x³

    2) f(x) = x²

      3) f(x) = x

2). После решения второго задания появляется необходимость как-то упорядочить процесс нахождения первообразной; с этой целью сформулируем алгоритм нахождения первообразной:

1.      Подобрать функцию F(x)

2.      Найти её первообразную F^/(x)

3.      Сравнить полученную производную F^/(x) с данной функцией f(x)

4.      Если они совпадают, то задача решена, если нет, то вернуться к пункту 1).

Задание: Первообразные для следующих функций находим, пользуясь данным алгоритмом.

1)      f(x) = 1

2)      f(x) = x³

3)      f(x) = 0,25

4)      f(x) = 5x

5)      f(x) = 6/x

6)      f(x) = 7x⁸

7)      f(x) = 14x¹⁰

8)      f(x) = 20x³

Презентация

Конец урока

Рефлексия

Слайд

Домашнее задание:

Найти первообразные:

1.  f(х)= х
2. f(х)=  х^1/2
3. f(х)= -3х⁵
4. f(х)=2/х³

5.      f(х)=-1/sin²x

Карточка-задание

№

Выполненное задание:

Баллы

1.       

Составить конспект.

20

2.       

Найти первообразные

80