Конспект урока Основные сведения о дифференциальных уравнениях.

Заплани-

рованные этапы урока, время

Деятельность, запланированная на уроке

Ресурсы

Начало урока

Орг. момент.

Проверка домашнего задания.

Устный опрос.

Презентация

Середина урока

https://drive.google.com/file/d/1SpAuXqH38NmLBI6T8KP_uBqVQhuR2PID/view?usp=sharing

http://school-collection.edu.ru/catalog/res/3208b518-f002-4c6a-a8ce-210e81e71261/view/

1.1 Основные понятия.

При решении различных задач математики, электротехники, автоматики, механики и других технических дисциплин часто пользуются математическими моделями в виде уравнений, связывающих независимую переменную, искомую функцию и ее производные.

Такие уравнения называют дифференциальными  (термин принадлежит Г. Лейбницу, 1676 г.).

Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Рассмотрим некоторые общие сведения о дифференциальных уравнениях. Если искомая (неизвестная) функция зависит от одной переменной, то  дифференциальное уравнение называют обыкновенным, в противном случае - дифференциальным уравнением в частных производных.

Наивысший порядок производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком этого уравнения.

Например, уравнение   - обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка, а уравнение - первого порядка.

Различают общее и частное решение дифференциального уравнения. Общим решением дифференциального уравнения называется такое решение, в которое входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных.

Задача нахождения частного решения у = у (х), удовлетворяющего начальным условиям, называется задачей Коши.

С геометрической точки зрения общее решение дифференциального уравнения определяет семейство кривых, называемых интегральными кривыми, а частное решение определяет лишь одну-единственную интегральную кривую.

 Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.

Ссылка 1, 2

Презентация к уроку.

Закрепление.

1.2. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

Рассмотрим задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

Пример 1. Составить уравнение кривой, обладающей тем свойством, что отрезок любой касательной, заключенной между осями координат, делится пополам в точке касания.

Пусть y = f(x) – искомое  уравнение, а М (х;у) – произвольная точка кривой,

определяемой этим уравнением;

предположим, для определенности, что 

кривая расположена в первой

четверти.                                         

По условию задачи имеем |ВМ|=|МА|, а следовательно, |ОР|=|РА|=х. Из рисунка виднo,  что:

Учитывая, что есть угловой коэффициент касательной, который в точке М(х,у) равен , получаем дифференциальное уравнение искомой кривой:         

Пример 2. Материальная точка массы m замедляет свое движение под действием силы сопротивления среды, пропорциональной квадрату скорости V. Найти зависимость скорости от времени. Найти скорость точки через 3с после начала замедления, если V(0)=100м/c, а V(1)=50м/с.

Решение:  Примем за независимую переменную время t. Тогда скорость точки V =V(t). На основании второго закона Ньютона , где - есть  ускорение движущегося тела, а F - результирующая сила, действующая на тело в процессе движения. В данном случае , k>0 – коэффициент пропорциональности. Следовательно, функция . Здесь m – масса тела. Т.к.,  , интегрируя обе части уравнения получим  или , где с –const. Подставив значения   и    ,  Сл –но, V- меняется по закону Поэтому  V(3)=25м/с.

Презентация

Конец урока

Рефлексия

Слайд

Домашнее задание:

1.      Написать конспект.

2.      Ответить на вопросы:

1)      Что называется дифференциальным уравнением?

2)      Что называется общим решением ДУ?

3)      Что называется частным решением ДУ?

4)      Что называется порядком ДУ?

5)      Что называется задачей Коши?

Карточка-задание

№

Выполненное задание:

Баллы

1.       

Составить конспект.

30

2.       

Ответить на вопросы.

70