конспект урока по теме "Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике"

Учитель

Макарова Е.А.

Класс

8 «Б»

Тема урока

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Цель урока

Обобщить и систематизировать знания о свойствах пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике

Задачи

Закрепить умение находить высоту, проведенную из вершины прямого угла, через проекции катетов.

Отработать навык нахождения катетов через гипотенузу и их проекции.

Научиться применять свойства пропорциональных отрезков при решении комбинированных задач.

Планируемые результаты обучения

Предметные: обучающиеся знают формулировки ключевых теорем, умеют доказывать их, уверенно применяют для нахождения неизвестных элементов прямоугольного треугольника, решают задачи повышенного уровня.

Метапредметные: умение планировать свою деятельность, контролировать и оценивать результат, работать с информацией, представленной в графической форме.

Личностные: проявление познавательного интереса к геометрии, осознание ценности знаний для решения практических задач.

Тип урока:

урок обобщения и систематизации

Формы деятельности учащихся

фронтальная работа, индивидуальная работа, работа в паре, групповая работа

Методы

объяснительно-иллюстративный, проблемный, практический, дискуссионный

Педагогические технологии

проблемного обучения, игровая/деловая игра

№ п/п

Этап урока

Ход урока

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

1.

Организационный этап.

— Здравствуйте, ребята! Рада вас видеть.

Сегодня у нас не совсем обычный урок. Но прежде чем мы начнём — небольшой эксперимент.

— Представьте, что ваше настроение — это число.

Какое он сейчас: положительное или отрицательное?

А если его возвести в квадрат — станет ли лучше?

(Несколько ответов, улыбки.)

— Отлично! Значит, настроение у нас уже положительное, а значит, можно работать продуктивно.

Поддерживает ответы, улыбается, создаёт позитивную атмосферу.

Участвуют в мини-эксперименте, отвечают на вопросы.

Выражают готовность к работе.

2.

Мотивация, постановка цели и задач

— Сегодня вы пришли не просто на урок математики.
Вы — кандидаты в инженерный отдел компании «ГеометрияСтрой».

— От точности ваших расчётов зависит:
▪ безопасность конструкций,
▪ экономия материалов,
▪ надёжность сооружений.

— Ошибка инженера — это не просто плохая оценка. Это — авария.
Готовы принять вызов?

(Ожидаемый ответ: «Да!»)

 Приём «Где логика?»

На экране 3 картинки.

1.           Лестница, опирающаяся на стену (образует прямоугольный треугольник).

2.           Замер высоты дерева

3.           Пропорция.

— Посмотрите на эти изображения.

Что общего у всех этих объектов?

— Как вы думаете, с какими математическими понятиями они связаны?

(Ожидаемые ответы: треугольники, прямоугольные треугольники, высота, отрезки, пропорции и т.д.)

— Верно. Все эти конструкции основаны на прямоугольных треугольниках и связях между их элементами.

— Попробуйте сформулировать тему нашего урока.

Тема (учащиеся формулируют):
«Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике»

— Какую цель мы можем поставить перед собой сегодня, как инженеры?

(Ожидаемые формулировки.)

Цель: повторить, обобщить и систематизировать знания о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике и научиться применять их на практике.

— Какие задачи помогут нам достичь этой цели?

Задачи:

1. Повторить свойства высоты, катетов и проекций в прямоугольном треугольнике.
2. Научиться находить неизвестные элементы по формулам.
3. Проверить умение работать самостоятельно, в паре и в группе.
4. Применять знания в практических ситуациях.

— Отлично! Тогда приступаем к собеседованию.

Демонстрирует три картинки (лестница, дерево, пропорция).

Проводит приём «Где логика?»: спрашивает, что общего, к каким понятиям относится.

Формулирует тему и цель урока совместно с классом

Анализируют изображения, предлагают свои варианты.

Формулируют тему, цель и задачи урока.

3.

Актуализация знаний

— Перед вами оценочный лист кандидата в инженерный отдел.
В течение всего урока вы будете работать с ним.

— За каждое выполненное задание вы получаете баллы и сами заносите их в таблицу после проверки ответа.

— В конце урока мы подсчитаем общее количество баллов и узнаем,
кто принят на работу, кто проходит испытательный срок, а кому нужно доработать знания.

— Работайте честно — инженер отвечает за результат не только перед собой, но и перед всей командой.

Задание 1. Назови элементы чертежа (3 балла)

— Перед вами чертёж. Назовите все элементы, которые вы видите.
Каждый правильный элемент — 0,5 балла.

a – …

b – …

c – …

 …

 …

…

Ожидаемые ответы:

a – катет

b – катет

c – гипотенуза

 проекция катета a на гипотенузу c

 проекция катета b на гипотенузу c

высота, проведенная к гипотенузе

Задание 2. Продолжи утверждения (4 балла)

— Заполните пропуски. За каждый правильный ответ — 1 балл.

1. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делит его … (на два подобных треугольника)
2. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между … (проекциями катетов на гипотенузу).
3. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между … (гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу).
4. 

Задание 3. Найди ошибку (4 балла)

— Перед вами расчёт, выполненный предыдущим специалистом.
Можно ли доверять этому результату? Найдите ошибки и исправьте.

— За каждый правильно найденный и исправленный элемент — 1 балл.

Задание 4. Устные расчёты. Кто вперед (8 баллов), 1 балл, фронтальная работа

— Инженер должен уметь быстро считать в уме.
Каждое верное решение — 1 балл.

1. Чему равна высота, проведенная из вершины прямого угла треугольника, если она делит гипотенузу на отрезки длиной 16 см и 25 см.
2. Чему равна проекция большего катета, если высота, проведенная из вершины прямого угла равна 15, а длина меньшей проекции равна 5.
3. Гипотенуза прямоугольного треугольника поделена высотой, проведенной к ней, на отрезки 2 и 18 см. Найдите длину этой высоты.
4. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 6 см, а его проекция на гипотенузу равна 4 см. Найдите длину гипотенузы.
5. Найдите длину большего катета, если высота, проведенная из вершины прямого угла делит гипотенузу на отрезки 7 см и 9 см.
6. Найдите длину катета, если его проекция на гипотенузу равна 16 см, а длина гипотенузы равна 25 см.
7. Чему равна проекция меньшего катета, если высота, проведенная из вершины прямого угла равна 8см, а длина большей проекции равна 16см.
8. В прямоугольном треугольнике катеты равны 6см и 8см. Найдите высоту, проведенную из вершины прямого угла.

Ожидаемы ответы:

1)      20 см

2)      45 см

3)      6 см

4)      9 см

5)      12 см

6)      20 см

7)      4 см

8)      4,8 см

Выдаёт оценочный лист кандидата.

Объясняет систему баллов и правила работы.

Ознакамливаются с листом, фиксируют баллы.

4.

Обобщение и систематизация знаний

— Вы показали, что базовыми знаниями владеете.
Но инженер — это не только расчёты, это ещё и умение работать в команде.

— Сейчас вы поработаете в парах, как сотрудники одного инженерного отдела.

— Ваша задача — договориться, распределить роли и прийти к общему правильному решению.

— За полностью выполненное задание пара получает по 2 балла. За частично выполненное задание – 1 балл.

Первая пара, которая правильно соберёт треугольник, диктует ответ. Если все верно, вы получаете дополнительно 1 балл

Задание 5.  Собери конструкцию (2 балла + 1балл)

Даны «детали»: отрезки длиной: 4, 9, 12, 15, 16, 20, 25.

Соберите из этих отрезков прямоугольный треугольник с высотой, проведённой к гипотенузе.

(Отрезки могут накладываться друг на друга.)

Ожидаемый результат:

Использованы числа: 9, 12, 15, 16, 20, 25.

Отрезок 4 — лишний.

Подошло время устроить технический перерыв

Физминутка

Покажите с помощью рук параллельные прямые, перпендикулярные прямы.

Покажите с помощью рук развернутый, прямой, острый, тупой угол.

Согните правую ногу в колене под прямым углом, согните левую ногу в колене под острым, тупым углом.

Задание 6.  (3 балла)

— Теперь вы — 6 инженерных отделов, и каждый отдел получает своё задание.

— Здесь важно не только правильно решить задачу, но и:
▪ уметь слушать друг друга,
▪ аргументировать своё мнение,
▪ принимать общее решение.

— За групповую работу вы можете получить 3 балла,
и каждый участник заносит их в свой оценочный лист.

1. Задача для инженеров-строителей:

При строительстве временного моста вертикальная опора высотой 15 метров установлена на берегу. В 20 метрах от основания опоры, на другом берегу, находится якорь для крепления несущего троса. Трос натянут от верхушки опоры прямо к якорю. Для укрепления конструкции от основания опоры к тросу нужно прикрепить подпорку (балку), которая будет упираться в трос под прямым углом. Рассчитайте, какой длины нужен несущий трос. Определите необходимую длину перпендикулярной подпорки. Найдите, на каком расстоянии от якоря эта подпорка должна быть прикреплена к тросу.

Ответы (для проверки):

·         Длина троса — 25 метров.

·         Длина перпендикулярной подпорки — 12 метров.

·         Подпорка крепится к тросу на расстоянии 16 метров от якоря.

2. Задача для инженеров-коммунальщиков:

При проектировании водосточной системы здания необходимо установить прямую водосточную трубу. Верхний конец трубы крепится к стене на высоте 8 метров от земли. Нижний конец должен точно попасть в дренажный сток, расположенный в 6 метрах от стены. Труба идёт по прямой линии от точки крепления к стоку. Для жёсткости конструкции из угла между стеной и землёй (место их соединения) к трубе проводят перпендикулярную металлическую распорку, которая упирается в трубу под прямым углом. Рассчитайте, какой длины нужна водосточная труба. Определите длину перпендикулярной распорки. Найдите расстояние от дренажного стока до точки, где распорка крепится к трубе.

Ответы для проверки:

·         Длина трубы: 10 метров.

·         Длина распорки: 4.8 метров.

·         Расстояние от стока до точки крепления распорки: 3.6 метров.

3. Задача для инженеров-строителей

Вы проектируете дом с односкатной крышей. Высота одной стены — 2,4 метра, а противоположной стены — 4,2 метра (перепад высот составляет 1,8 метра). Расстояние между стенами по горизонтали — 2,4 метра. Наклонная стропильная балка соединяет верхние точки этих стен. Внутри дома от высокой стены вдоль потолка идёт горизонтальная балка.Чтобы крыша не прогибалась, нужно поставить подпорку. Её крепят в углу, где встречаются потолок (горизонтальная балка) и высокая стена, и ведут перпендикулярно к стропильной балке. Найдите длину стропильной балки. Найдите длину подпорки. Определите, на каком расстоянии от высокой стены (если мерить вдоль балки) нужно прикрепить подпорку.

Ответы:

• 3 метра.
• 1,44 метра.
• 1,08 метра.

4. Задача «Расчёт для козырька над дверью»

Над входом в дом нужно закрепить козырёк для защиты от дождя и снега. Навес имеет форму прямоугольного треугольника. Одна сторона треугольника (2,4 м) прилегает к стене дома.  Вторая сторона — горизонтальная балка (3,2 м), которая прикреплена к стене. Третья сторона — наклонная балка (скат). Чтобы тяжёлый снег не сломал козырёк, ставят подпорку, которая упирается в наклонную балку по прямым углом. Найдите длину наклонной балки (ската). Выясните  какой длины должна быть  подпорка. Определите, на каком расстоянии от стены (если мерить по наклонной балке) нужно прикрепить верх подпорки.

Ответы:

4 метра.

1,92 метра.

1,44 метра.

5. Задача «Расчёт опорной конструкции спуска»

Точка старта американских горок расположена на высоте 30 метров. Конец спуска находится на расстоянии 40 метров по горизонтали от основания стартовой платформы, и трасса идёт по прямой линии между этими точками. Для установки датчика безопасности из основания платформы к трассе проводят отрезок, образующий с трассой прямой угол. Рассчитайте, какой длины должна быть спусковая трасса. Определите, на каком расстоянии от основания платформы нужно установить точку крепления датчика. Выясните, на каком расстоянии от конца спуска по трассе следует закрепить датчик.

Ответы:

 • Длина трассы — 50 м
• Точку крепления нужно установить на расстоянии 24 м от основания.
• По трассе от конца спуска — 32 м.

6. Задача на проектирование безопасного лестничного марша

Проектируют наклонный лестничный марш для здания. Верхняя точка лестницы закреплена на высоте 3 метров над землёй, а нижняя точка лестницы находится 4 метра по горизонтали от стены. Лестница идёт по прямой линии. Для укрепления конструкции из угла между стеной и землёй проводят металлическую подпорку, которая соединяется с наклонной лестницей под прямым углом. Рассчитайте длину наклонного лестничного марша. Определите длину подпорки. Выясните, на каком расстоянии от верхнего конца лестницы по наклонной линии нужно закрепить подпорку.

Ответы

• Длина наклонного лестничного марша — 5 м
• Длина подпорки — 2,4 м
• Расстояние от верхнего конца лестницы до крепления подпорки — 1,8 м

 -  Молодцы, ребята! Все группы успешно справились с задачами.»

Скажите о чём были ваши задачи?

 (ожидаемый ответ: мосты, крыши, козырьки, лестницы, трубы и т.д.)

«Что общего между всеми этими задачами?»

(ожидаемый ответ: все они связаны с прямоугольными треугольниками и пропорциональными отрезками)

«Зачем нам нужны были точные расчёты? Что могло бы случиться, если бы мы ошиблись?»

(ожидаемый ответ: конструкция могла быть небезопасной, неустойчивой,

«Итак, что мы видим?»

(ожидаемый ответ: что все эти задачи были практическими и что знание темы полезно в жизни и профессии инженера)

«Правильно! Мы изучали тему «Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике» не просто для учебы, а чтобы уметь применять эти знания в реальных инженерных задачах.

Каждая ваша группа только что решила реальные инженерные задачи: кто-то проектировал мост, кто-то крышу, кто-то водосточную трубу. Это и есть практическое применение математики.»

Распределяет 6 задач между группами, объясняет правила. При необходимости осуществляет консудьтацию

Решают задачи в паре и в группе, используя свойства прямоугольного треугольника и пропорциональные отрезки.

Обмениваются идеями, обсуждают варианты решений и приходят к общему результату.

Сравнивают свои ответы с эталонными, анализируют ошибки и исправляют их

5

Рефлексия и подведение итогов

Пришло время подвести итоги. Посчитайте, сколько баллов вы набрали за все задания и запишите итоговый результат в конце листа. Посмотрим, кто из вас успешно «устроился в компанию» — посмотрите, попадаете ли вы в баллы для устройства на работу. Если да — поздравляю! Если нет — это сигнал, над чем нужно поработать дополнительно

Давайте вспомним цель нашего урока: повторить, обобщить и систематизировать знания о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике и научиться применять их на практике.»

Как вы считаете смогли ли мы достичь этой цели?

(Ученики поднимают руки, делятся своими ощущениями: «Да, я смог», «Мне было сложно, но я понял часть», «Нет, нужно ещё повторить».)

Какие задания помогли вам лучше усвоить материал, а какие оказались трудными?

Я благодарю всех за активную работу, участие в парных и групповых заданиях. Вы показали, что умеете решать задачи, обсуждать решения и применять знания на практике.

Ребята, прежде чем мы закончим урок, давайте посмотрим на свои ощущения и настроение после всей работы. Внизу вашего оценочного листа есть место для смайлика. Это будет ваш «эмоциональный результат» урока.

Если вы уходите с урока с положительным настроением, довольны своей работой и чувствуете, что достигли цели — наклейте весёлый смайлик.

Если вы уходите с урока расстроенными, недовольными своей работой или чувствуете, что не до конца освоили тему — наклейте грустный смайлик.

Запомните: эмоции и настроение после урока — это тоже показатель вашего успеха. Хорошее настроение помогает лучше учиться и применять знания на практике!

Благодарит за активность, подводит итог по баллам и достижениям.

Отмечает лучших инженеров, всех мотивирует продолжать работать.

Оценивают свои успехи. Анализируют свои ошибки и достижения.

6.

Домашняя работа

Основное: практические задачи на расчёт.

Задача 1. В прямоугольном треугольнике один катет равен 8 см, проекция этого катета на гипотенузу — 4 см. Найдите гипотенузу.

Задача 2. Высота, проведённая из вершины прямого угла, равна 6 см. Проекции катетов на гипотенузу — 9 см и 16 см. Найдите катеты треугольника.

Задача 3. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см, высота из прямого угла делит её на отрезки 5 см и 8 см. Найдите высоту.

Задача 4 (опционально). Нарисуйте треугольник, отметьте высоту и проекции катетов, подпишите все элементы.

Эта часть домашнего задания обязательна — она закрепляет все, что мы сегодня изучили. Выполняйте аккуратно, показывайте расчёты и подписывайте все элементы на чертежах.

Дополнительное творческое задание:

Придумайте свою практическую задачу на тему «Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике».

Это может быть инженерная задача: проектирование лестницы, козырька, моста, трубы и т.п.

В задаче должны быть указаны данные (катеты, гипотенуза, высота или проекции).

Решение должно быть проверяемым, то есть с конкретными числами для вычисления.

Нарисуйте к задаче схему или чертёж треугольника, подпишите элементы.

Можно придумать вариант с подвохом, где нужно использовать несколько свойств прямоугольного треугольника.

Эта часть творческая — здесь вы можете проявить фантазию и придумать свою инженерную задачу. Те, кто выполнит творческую часть, получат дополнительную отметку. Это шанс показать свои навыки и креативность.

Объясняет задания.

Записывают домашнее задание, уточняют непонятные моменты.

1

Назови элементы чертежа

3

___

2

Продолжи утверждения

4

___

3

Найди ошибку

4

___

4

Устные расчёты (фронтальная работа, 1 балл за правильный ответ)

8

___

5

Собери конструкцию (2 балла + 1 за скорость)

3

___

6

Групповая работа

3

___

доволен работой и результатом

 нужно ещё поработать