КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ по физике для студентов 1-2 курсов Раздел 3. Электромагнетизм

Министерство образования, науки и молодежной политики Краснодарского края ГБПОУ КК «Колледж Ейский» КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ по физике для студентов 1­2 курсов специальностей технического профиля СПО Раздел 3. Электромагнетизм Ейск, 2017 2 Конспект   лекций   по   физике   состоит   из   трех   разделов,   в   которых  в доступной форме излагаются физические основы электродинамики,  нацелен на систематизацию   и   конкретизацию   знаний,   приобретенных   в   процессе   изучения учебной дисциплины Физика,  и содержит материал, достаточный для успешного прохождения студентами текущей и промежуточной аттестации. Конспект   лекций   подготовлен   согласно   тематике   рабочей   программы учебной дисциплины и включает широкий спектр вопросов для самоконтроля.  Разработчик: преподаватель ГБПОУ КК «Колледж Ейский» Л.С.Черных 3 СОДЕРЖАНИЕ Тема 1.  Магнитное поле в вакууме Лекция 1. Магнитное поле и его основные характеристики....................4 Лекция 2. Закон Био­Савара­Лапласа.......................................................8 Тема 2. Магнитное поле в веществе Лекция 3. Описание магнитного поля в веществе.....................................16 Лекция 4. Магнетики...................................................................................21 Тема 3. Действие магнитного поля на токи и заряды Лекция 5. Закон Ампера.............................................................................29 Лекция 6. Сила Лоренца..............................................................................33 Тема 4. Электромагнитная индукция Лекция 7. Явление электромагнитной индукции......................................40 Лекция 8. Самоиндукция. Индуктивность................................................46 Лекция 9. Энергия магнитного поля..........................................................49 Литература...................................................................................................55 4 Электромагнетизм Тема 1. Магнитное поле в вакууме Лекция № 1. Магнитное поле и его основные характеристики Цель: ознакомиться с понятием «магнитое поле»; изучить свойства  магнитного поля и его характеристики. Основные понятия: Магнитное     поле  (магнитостатическое) –   частный   случай электромагнитного поля постоянных магнитов или постоянных токов; силовое поле, действующее на движущиеся электрические заряды и на тела, обладающие магнитным моментом, независимо от состояния их движения. Магнитный  момент  –  физическая   величина,  определяющая  магнитные свойства контура с током, равная произведению силы тока, протекающего по контуру, на площадь последнего, и направленная по нормали к данному контуру. Магнитная   индукция  –  физическая   величина,   являющаяся   силовой характеристикой   магнитного   поля,   равная   отношению   максимального механического момента сил, действующих на контур с током, помещенный в данное поле, к магнитному моменту этого контура. Магнитное поле проявляется тогда, когда имеется электрическое поле и когда при этом электрическое поле перемещается. Например, магнитным полем всегда окружен проводник, по которому идет ток. Оно создается также током в электролитах,   электрическими   разрядами   в   газах,   катодными   и   анодными лучами. Оно проявляется при движении наэлектризованных тел, при движении электронов в атомах, при вибрациях атомных ядер в молекулах, при изменении ориентации элементарных диполей в диэлектриках и т. д.  Магнитное   поле   порождается   движением   электрического   поля.   Если электрическое   поле   перемещается,   то   в   той   области,   где   перемещается электрическое   поле,   всегда   возникает   магнитное   поле.   Магнитное   поле возникает также всегда, когда изменяется напряженность электрического поля.  Магнитное поле – это та же форма материи, которая представляет собой основу   электрического   поля,   но   в   состоянии   иных   скрытых   движений, возникающих вследствие перемещения электрического поля и проявляющихся в пространстве (даже в совершенном вакууме) в виде особого рода сил, которые легко   распознаются   по   своему   действию   на   магниты   либо   на   проводники   с 5 током. Хотя,   т.   о.,   природа   магнитного   поля   более   сложна,   чем   природа электрического поля, но исторически магнитные силы были открыты и стали использоваться раньше, чем электрические. Магнитные свойства постоянных магнитов, их способность притягивать железные предметы были известны еще древним грекам. Земля также является магнитом,   и   явления   земного   магнетизма   были   использованы   китайцами   для создания компаса, т. е. свободно вращающейся магнитной стрелки, указывающей ориентацию стран света.  В пространстве, окружающем намагниченные тела, возникает магнитное поле   (магнитное   поле   и   в   данном   случае   связано   с   движением   зарядов   –   с микротоками внутри намагниченных тел). Помещенная в это поле маленькая магнитная стрелка устанавливается в каждой его точке вполне определенным образом, указывая тем самым направление поля. Тот конец стрелки, который в магнитном   поле   Земли   указывает   на   север,   называется   северным,   а противоположный   конец   –   южным.   При   отклонении   стрелки   от   направления магнитного   поля   на   стрелку   действует   механический   крутящий   момент, стремящийся повернуть ее вдоль указанного направления.  Как   мы   видим,   взаимодействие   постоянных   магнитов   отличается   от взаимодействия   электрических   зарядов,   но   сходно   с   взаимодействием электрических   диполей,   испытывающих   в   однородном   электрическом   поле результирующий   момент   сил,   но   не   силу.   Подобно   электрическому   диполю, постоянный магнит в однородном магнитном поле стремится повернуться по полю, но не перемещается в нем. Существенное отличие постоянных магнитов от электрических диполей заключается в следующем. Электрический диполь всегда состоит из зарядов, равных по величине и противоположных по знаку. Эти заряды можно отделить друг от друга и расположить на различных телах, например, разрезав диполь пополам по плоскости, перпендикулярной к оси диполя. Постоянный же магнит, будучи разрезан таким образом пополам, превращается в два меньших магнита, каждый из которых имеет и северный и южный полюсы. Никакое деление не дает возможности получить отдельно источники северного и южного магнетизма – магнитные заряды. Причина этого состоит в том, что «магнитных зарядов» в природе не существует. В   1820   г.   Эрстед   открыл   явление   отклонения   магнитной   стрелки 6 гальваническим   током   и   тем   самым   сделал   первый   существенный   шаг   в выяснении   характера   связи   электрических   и   магнитных   явлений.   Затем   Гей­ Люссак и Араго наблюдали намагничение железа постоянным током, идущим в проводнике.   Ампер   обнаружил   притяжение   между   проводами,   по   которым проходят   параллельные   токи,   и   отталкивание   между   противоположно направленными токами. Им же была выдвинута гипотеза о том, что свойства постоянных магнитов обусловлены циркулирующими в их толще постоянными круговыми токами (молекулярными токами).  Многочисленные последующие опыты показали, что магнитное поле тесно связано с электрическим током. Электрический ток порождает в пространстве вокруг   себя   магнитное   поле,   а   проходя   в   магнитном   поле другого   тока,   испытывает   со   стороны   последнего механические воздействия. Подобно   тому,   как   для   исследования   электрического поля мы использовали пробный точечный заряд, применим для исследования магнитного поля пробный ток, циркулирующий в плоском   замкнутом   контуре   очень   малых   размеров.   Ориентацию   контура   в пространстве   будем   характеризовать   направлением   нормали   к   контуру, связанной   с   направлением   тока   правилом   правого   винта.  Такую   нормаль   мы будем называть положительной.  Внеся   пробный   контур   в   магнитное   поле,   мы   обнаружим,   что   поле оказывает на контур ориентирующее действие, устанавливая его положительной нормалью в определенном направлении. Примем это направление за направление поля в данной точке. Если контур повернуть так, чтобы направления нормали и поля   не   совпадали,   возникает   вращательный   момент,   стремящийся   вернуть контур в равновесное положение. Величина момента зависит от угла    между нормалью и направлением поля, достигая наибольшего значения Мmах при  = 90 (при  = 0 момент равен нулю).  Вращательный момент зависит как от свойств поля в данной точке, так и от свойств контура. Внося в одну и ту же точку разные пробные контуры, мы обнаружим, что величина Мmах пропорциональна силе тока I в контуре и площади контура S и совершенно не зависит от формы контура. Таким образом, действие магнитного поля на плоский контур с током определяется величиной pm = IS, которую   называют   магнитным   моментом   контура   (аналогично   вращательный 7 момент,   действующий   в   электрическом   поле   на   диполь,   пропорционален электрическому моменту диполя р = ql).  Кроме   силы   тока  I  и   площади  S,   контур   характеризуется   также ориентацией в пространстве. Поэтому магнитный момент следует рассматривать как   вектор,   направление   которого   совпадает   с   направлением   положительной нормали:   p m ,  np m  ( – единичный вектор).  n Введенное выше понятие о магнитном моменте плоского контура с током можно распространить также и на контур тока, имеющий произвольную форму:  ,  p m   dSnI где   – единичный вектор нормали к элементарному участку dS поверхности S, n ограниченной контуром, I – сила тока в контуре.  Очевидно, что в случае плоского контура поверхность  S  тоже плоская и  ток в контуре должен n  одинаково направлены (из конца вектора  n все векторы  быть виден идущим против часовой стрелки). Поэтому   m p  nIS  и  pm  IS . На пробные контуры, отличающиеся значением, действуют в данной точке поля разные по величине вращательные моменты Мmах. Однако отношение Мmах / pm  будет   для   всех   контуров   одно   и   то   же   и   может   быть   принято   для количественной   характеристики   поля.  В, пропорциональную этому отношению, называют магнитной индукцией:    Физическую   величину . B  M max mp Магнитная   индукция   –   вектор,   направление   которого   определяется равновесным направлением положительной нормали к пробному контуру (мы назвали   его   направлением   поля).   Последняя   формула   определяет   модуль 8 вектора  .  B Направление вектора     определяется из выражения для вращательного B момента, действующего на контур с током в магнитном поле    B    pM m , причем   модуль sinBpM m ,   а максимальное значение модуль будет принимать при  = 90:  .  M mmax Bp Помимо макроскопических токов, идущих в проводниках, в любом теле существуют   микроскопические   токи,   создаваемые   движением   электронов   в атомах и молекулах. Эти микроскопические молекулярные токи создают свое магнитное поле и могут поворачиваться в магнитных полях внешних токов. Поле вектора   можно представить наглядно с помощью линий магнитной B индукции – линий, проведенных в магнитном поле так, что вектор   в каждой B точке этой линии направлен по касательной к ней.  Для   примера   на   рисунках   представлены   линии   магнитной   индукции стержневого магнита и кругового тока. Из   сказанного   вытекает,   что     характеризует   силовое   действие B магнитного  поля  на ток  и,  следовательно,  является аналогом  напряженности 9 электрического   поля   , E   которая   характеризует   силовое   действие электрического поля на заряд.  Вопросы для самоконтроля: 1. Что называется магнитным полем? 2. Что называется магнитным моментом контура с током?  3. Какая величина является силовой характеристикой магнитного поля?  Дайте ее определение.  4. Что называется линиями магнитной индукции? Как устанавливается их направление? Нарисуйте линии магнитной индукции для простейших магнитных полей.  5. В чем состоит гипотеза Ампера о природе магнетизма? Лекция № 2. Закон Био­Савара­Лапласа Цель:  познакомить   обучающихся   с   методами   нахождения   индукции магнитного поля по известному распределению токов, применить их для расчета индукции заданных токов. Основные понятия: Магнитный диполь – круговой ток, поле которого рассматривается на  расстояниях, значительно превышающих размер последнего. Циркуляция вектора магнитной индукции – интеграл по замкнутому  контуру  .   ldB Вихревое поле – силовое поле, не имеющее источников, а порождаемое  вихрями.  Соленоид – намотанный на цилиндрическую поверхность изолированный  проводник, по которому течёт электрический ток. Тороид – свернутый в тор соленоид. 2.1. Магнитное поле элемента тока и принцип суперпозиции. Одной из основных задач электромагнетизма является расчет магнитных полей по заданным токам.  Ж. Био и Ф. Савар провели в 1820 г. исследование магнитных полей токов 10 различной формы. Они установили, что магнитная индукция во всех случаях пропорциональна   силе   тока,   создающего   магнитное   поле,   и   более   или   менее сложным образом зависит от расстояния до той точки, . П. Лаплас проанализировал в которой определялась  B экспериментальные   данные,   полученные   Био   и Саваром,   и   нашел,   что   магнитное   поле   любого   тока может   быть   вычислено   как   векторная   сумма (суперпозиция)   полей,   создаваемых   отдельными элементарными   участками   тока.   Для   магнитной индукции поля, создаваемого элементом тока длины dl, Лаплас получил формулу  Bd   0  4 I .     r ld 3 r где I – сила тока,   – вектор, совпадающий с элементарным участком тока и ld направленный   в   ту   сторону,  в  какую   течет   ток,   –   вектор,   проведенный   от r элемента тока в ту точку, в которой определяется   , r – модуль этого вектора, Bd скалярная   величина  0=410­7  Тлм/А,   характерная   для   вакуума,   называется магнитной постоянной.  Данное соотношение носит название закона Био­Савара­ Лапласа. Направлен вектор      перпендикулярно к плоскости, проходящей через Bd и точку, в которой вычисляется поле, причем так, что вращение вокруг  ld в ld направлении    связано с  Bd правилом правого винта. Для модуля  ld   можно Bd написать следующее выражение: 11 ,  dB   0  4 I dl sin 2 r где    –  угол   между   векторами   и   ld .   Единица   магнитной   индукции   в   СИ r называется тесла (Тл). Полная индукция находится суммированием    по всем элементам тока, Bd связанного с полем:  B   Bd   .      I Rld  0  3 4 R Последняя   формула   выражает   принцип   суперпозиции   для   магнитного поля,   согласно   которому   индукция   результирующего   магнитного   поля   есть векторная сумма индукций полей, создаваемых отдельными элементами тока.  Рассмотрим несколько примеров применения закона Био­Савара­Лапласа. 1) Рассмотрим поле, создаваемое током, текущим    в данной по бесконечному прямому проводу. Все   Bd точке имеют одинаковое направление (в нашем случае    можно за   чертеж).   Поэтому   сложение   векторов   Bd заменить сложением их модулей. Точка, для которой мы   вычисляем   магнитную   индукцию,   находится   на расстоянии b от провода. Из рисунка видно, что  ,  r  b sin dl  rd sin     bd  2 sin . Подставим эти значения в формулу для  : dB dB   0  4 I dl sin 2 r  0  4  I bd  sin 2 b sin  2 sin 2 .  d   0  4 I b sin 12 Угол    для   всех   элементов   бесконечного прямого   тока   изменяется   в  пределах   от   0  до  . Следовательно, B   dB     sin 0  4 I b 0  0  d . I  2 b Линии   магнитной   индукции   поля   прямого тока   представляют   собой   систему   охватывающих   провод   концентрических окружностей. 2) Рассмотрим поле, создаваемое током, текущим по тонкому проводу, имеющему форму окружности радиуса R  (круговой   ток).   Определим   магнитную   индукцию   в центре  кругового   тока.  Каждый  элемент  тока  создает  в центре   индукцию,   направленную   вдоль   положительной нормали   к   контуру.   Поэтому   векторное   сложение    Bd сводится к сложению их модулей. По формуле для  dB dB   0  4 I dl sin 2 r  0  4  Idl 2 R ). Проинтегрируем это выражение по всему контуру: (  2 B   dB   0  4 I R 2  dl   0  4 I R 2  R 2 0  . I 2 R Теперь найдем   на оси кругового тока, на расстоянии х от плоскости, в B которой   лежит   контур.   Векторы      перпендикулярны   к   плоскостям, Bd проходящим   через   соответствующие   и   ld .   Следовательно,   они   образуют r симметричный конический веер. Из соображений симметрии можно заключить, 13 что результирующий вектор   направлен B вдоль оси тока. Каждый из составляющих    вносит   в   результирующий векторов   Bd dB sin dB . Угол    между   и   ld  r R r вектор вклад    , равный по модулю   Bd прямой, поэтому  Bd  dB R r   0  4 Idl 2 r R r   0  4 IRdl 3 r . Проинтегрировав по всему контуру и заменив r на  , получим 2 R  2 x B    Bd 0  4  IR 3 r  dl   0  4 IR 3 r  2 R  .  0  2   IR 2 2 R  2 x 3  2 При х = 0 эта формула переходит для магнитной индукции в центре кругового тока. Площадь,  охватываемая  круговым   витком   .  Поэтому  магнитная S  2R индукция в произвольной точке C оси кругового витка с током . B   0  2  IS 2 R  2 x 3  2 Т. к. произведение тока I в витке на площадь S этого витка есть магнитным моментом pm витка с током, то B   0  2  2 R p m  x . 2 3  2 С   учетом   того,     что   магнитный   момент   –   векторная   величина, 14 направленная вдоль оси витка с током в ту же сторону, что и индукция   его B магнитного поля, выражение для последней можно записать в векторном виде:  B   0  2 .  p m  x 2 3  2  2 R Если точка  С  лежит далеко  от  центра кругового  тока,  т.е.  x  >>  R, то величиной R в знаменателе правой части последней формулы можно пренебречь: .  B   p m 3 x  0  2 Данная   формула   по   виду   аналогична   выражению   для   напряженности электрического   поля   в   точках,   лежащих   на   оси   электрического   диполя достаточно   далеко   от   него.   Поэтому   магнитное   поле кругового тока часто рассматривают как магнитное поле некоторого   условного   «магнитного   диполя»,   причем положительным   или   северным   полюсом   называют   ту сторону   плоскости   витка,   из   которой   линии   магнитной индукции   выходят,   а   отрицательным   или   южным магнитным   полюсом   –   ту   сторону   плоскости   витка,   в которую они входят. На рисунке изображены линии магнитной индукции поля кругового тока. Даны лишь линии, лежащие в одной из плоскостей, проходящих через ось тока. Подобная же картина имеет место в любой из этих плоскостей. 2.2. Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции.  Закон Био­Савара­Лапласа удобно применять для нахождения индукции магнитного поля не во всех случаях. Иногда значительно удобнее применять теорему   о   циркуляции   вектора   магнитной   индукции.   Теорема   о   циркуляции тесно   связана   с   законом   Био­Савара­Лапласа,   выводится   из   него   и   по   сути эквивалентна последнему. Данная теорема гласит, что циркуляция вектора магнитной индукции по замкнутому   контуру   равна   полному   току,   охватываемого   контуром, умноженному на 0: 15   ldB  I 0 , где  I  – сила полного тока, охватываемого контуром. Если сила полного тока равна нулю, то и циркуляция равна нулю. Этот случай реализуется не только тогда,   когда   контур   не   охватывает   никакого   тока,   но   и   тогда,   когда охватываемые  токи текут в противоположных  направлениях  и в  сумме  дают  по контуру, охватывающему два равных по силе нуль. Например, циркуляция  B тока,   текущих   в   противоположных   направлениях,   равна   нулю.   В   последней формуле знак тока  I  учитывается по следующему правилу: если направление обхода контура и направление тока связаны правилом правого винта, то знак I положителен. В противном случае знак I отрицателен. Величины     и   E   являются   основными   силовыми   характеристиками B соответствующих   полей.   Сопоставление   выражений   для   циркуляции     и   E  B позволяет   заключить,   что   между   этими   полями   имеется   принципиальное различие. Циркуляция напряженности электростатического поля всегда равна нулю,   следовательно,   электростатическое   поле   потенциально   и   может   быть охарактеризовано потенциалом . Циркуляция магнитной индукции отлична от нуля,   если   контур,  по   которому   берется   циркуляция,  охватывает   ток.  Поля, обладающие таким свойством, называются вихревыми (или соленоидальными). Магнитному   полю   нельзя   приписать   потенциал,   который   был   бы   связан   с магнитной индукцией соотношением, аналогичным формуле    E grad . Этот потенциал   не   был   бы   однозначным   –   после   каждого   обхода   по   контуру, охватывающему   ток,   и   возвращения   в   первоначальную   точку   он   получал   бы приращение, равное 0I.  Далее,   линии   напряженности   электростатического   поля   начинаются   и заканчиваются на зарядах. Как показывает опыт, линии магнитной индукции, напротив,   всегда   замкнуты.   Это   указывает   на   то,   что   магнитных   зарядов   в природе не существует. Применим   теорему   о   циркуляции   для   вычисления   магнитной   индукции 16 поля   бесконечно   длинного   соленоида.   Соленоид   представляет   собой   тонкий провод, навитый плотно, виток к витку, на цилиндрический каркас. В отношении создаваемого   им   поля   соленоид   эквивалентен   системе   одинаковых   круговых токов   с   общей   прямой   осью.   Бесконечно   длинный   соленоид   симметричен относительно любой перпендикулярной к его оси плоскости. Взятые попарно симметричные относительно такой плоскости витки создают поле, магнитная индукция   которого   перпендикулярна   к   плоскости.   Следовательно,   в   любой   может   иметь   лишь   направление, точке   внутри   и   вне   соленоида   вектор   B параллельное оси. Циркуляцию  Возьмем   прямоугольный   контур   1–2–3–4.  по этому контуру можно представить B следующим образом:   ldB  2   ldB 1  3   ldB 2  4   ldB 3 .  1   ldB 4 равны   нулю,   так   как   вектор   Из   четырех   интегралов,   стоящих   в   правой   части,   второй   и   четвертый   перпендикулярен   к   участкам   контура,   по B которым они берутся. Взяв участок 3–4 на большом расстоянии от соленоида (где   поле   заведомо   должно   быть   очень   слабым),   третьим   слагаемым   можно пренебречь. Следовательно, можно утверждать, что   ldB  2   ldB 1 ,  Bl здесь В – магнитная индукция поля в тех точках, где располагается отрезок 1–2, l – длина этого отрезка. Если отрезок 1–2 проходит внутри соленоида на любом расстоянии от его оси, контур охватывает суммарный ток  nlI, где  n  – число витков соленоида, приходящееся на единицу его длины, I – сила тока в соленоиде (произведение nI называется   числом   ампер­витков   на   метр).   Поэтому   согласно   теореме   о циркуляции 17   ldB 0 Bl nlI , откуда . B 0 nI Отметим,   что   полученный   результат   не   зависит   от   того,   на   каком расстоянии от оси (но внутри соленоида) располагается отрезок 1–2. Если этот отрезок   располагается   вне   соленоида,   то   охватываемый   контуром   ток   равен нулю, вследствие чего    ldB 0 Bl , откуда  В  = 0. Таким образом, вне бесконечно длинного соленоида магнитная . По индукция равна нулю, внутри – всюду одинакова и имеет величину  B 0 nI этой причине в учении о магнетизме бесконечно длинный соленоид играет такую же роль, как плоский конденсатор в учении об электричестве. В обоих случаях поле однородно и полностью заключено внутри конденсатора (электрическое) и внутри соленоида (магнитное).  Обе половины бесконечно длинного соленоида принимают равное участие в   создании   поля   B 0 nI .   Поэтому,   если   половину соленоида   убрать,   то   у   конца   оставшегося «полубесконечного»   соленоида   магнитная   индукция будет   равна   половине   значения   поля   бесконечного соленоида:  .  B 1  02 nI Практически, если длина соленоида значительно больше, чем его диаметр,   будет справедлива для точек в средней части соленоида, а формула   B 0 nI 18 формула  B 1  02 nI  для точек вблизи его концов. На рисунке показана примерная картина линий магнитной индукции для соленоида конечной длины.  Тороид   представляет   собой   тонкий   провод, плотно навитый на каркас, имеющий форму тора. Он эквивалентен   системе   одинаковых   круговых   токов, центры   которых   расположены   по   окружности. Возьмем контур в виде окружности радиуса  r, центр которой   совпадает   с   центром   тороида.   В   силу   в   каждой   точке   должен   быть симметрии   вектор   B направлен по касательной к контуру. Следовательно,   BldB 2 r . где В – магнитная индукция в тех точках, где проходит контур. Если   контур   проходит   внутри   тороида,   он   охватывает   ток  2RnI  (R  – радиус тороида, n – число витков на единицу его длины). В этом случае   0 2 r 2 RnI ,  B откуда B 0 nI . R r Контур, проходящий вне тороида, токов не охватывает, поэтому для него . Таким образом, вне тороида магнитная индукция равна нулю.  B  2  r 0 Для тороида, радиус которого  R  значительно превосходит радиус витка, отношение R/r для всех точек внутри тороида мало отличается от единицы и для тороида получается такая же формула, как для бесконечно длинного соленоида: . B 0 nI В   этом   случае   поле   можно   считать   однородным   в   каждом   из   сечений 19 тороида.   В   разных   сечениях   поле   имеет   различное   направление,   поэтому говорить   об   однородности   поля   в   пределах   всего   тороида   можно   только условно, имея в виду модуль вектора  . B Вопросы для самоконтроля: 1. В чем состоит закон Био–Савара–Лапласа?  2. В чем состоит принцип суперпозиции для магнитного поля? 3.  Чему равен и как  направлен магнитный   момент плоского  контура  с током?  4. Почему кольцевой ток часто называют магнитным диполем? 5. Сформулируйте  теорему о циркуляции вектора магнитной индукции. 6. От каких величин зависит магнитная индукция в точке, лежащей на оси бесконечно длинного соленоида? Тема 2. Магнитное поле в веществе Лекция № 3. Описание магнитного поля в веществе Цель: ввести новые физические величины для характеристики магнитного поля в веществе; выяснить их физический смысл. Основные понятия: Макротоки – электрические токи проводимости, а также конвекционные  токи, связанные с движением заряженных макроскопических тел. Микротоки – токи, обусловленные движением электронов в атомах, ионах и молекулах. Вектор намагничивания – магнитный момент единицы объема. Напряженность магнитного поля – векторная величина, являющаяся  количественной характеристикой магнитного поля, и не зависящая от магнитных свойств вещества. Магнитная восприимчивость – величина, характеризующая способность  вещества намагничиваться в магнитном поле и равная отношению  намагниченности единицы объёма вещества к напряжённости намагничивающего магнитного поля. Магнитная проницаемость – физическая величина, характеризующая  изменение магнитной индукции среды при воздействии внешнего магнитного  20 поля; показывает, во сколько раз усиливается поле в магнетике. При изучении магнитного поля в веществе (магнетике) различают два типа токов – макротоки и микротоки. Под макротоками понимают электрические токи   проводимости,   а   также   конвекционные   токи,   связанные   с   движением заряженных макроскопических тел. Микротоками или молекулярными токами называют   токи,   обусловленные   движением   электронов   в   атомах,   ионах   и молекулах.  В веществе на магнитное поле макротоков (его часто называют внешним) накладывается дополнительное магнитное поле микротоков (его соответственно   характеризует называют   внутренним).   Вектор   магнитной   индукции   B результирующее   магнитное   поле   в   веществе,   т.   е.   он   равен   геометрической сумме магнитных индукций внешнего (  ) и внутреннего ( 0B B ) полей:   BB 0 .   B Из сказанного ясно, что вектор   должен зависеть от магнитных свойств B магнетика. Магнитное поле микротоков возникает в результате намагничивания магнетика   при   его   помещении   во   внешнее   магнитное   поле.   Для   объяснения намагничения тел Ампер предположил, что в молекулах вещества циркулируют круговые токи. Каждый такой ток обладает магнитным моментом и создает в окружающем   пространстве   магнитное   поле.   В   отсутствие   внешнего   поля микротоки   ориентированы   беспорядочным   образом,   вследствие   чего обусловленное   ими   результирующее   поле   равно   нулю.   В   силу   хаотической ориентации   магнитных   моментов   отдельных   молекул   суммарный   магнитный момент   тела   также   равен   нулю.   Под   действием   поля   магнитные   моменты молекул   приобретают   преимущественную   ориентацию   в   одном   направлении, вследствие чего магнетик намагничивается – его суммарный магнитный момент становится отличным от нуля. Магнитные поля отдельных молекулярных токов в этом случае уже не компенсируют друг друга и возникает поле  B . Намагничение магнетика характеризуется магнитным моментом единицы 21 объема. Эту величину называют вектором намагничивания и обозначают  . Если J магнетик   намагничен   неоднородно,   вектор   намагничения   в   данной   точке определяется следующим выражением:  J  ,   p ΔV  V m где  V  –   физически   бесконечно   малый   объем,   взятый   в   окрестности    –   магнитный   момент   отдельной   молекулы. рассматриваемой   точки, mp   Суммирование производится по всем молекулам, заключенным в объеме V. В вакууме поле создают только макротоки, а в веществе – макротоки и микротоки.   Следовательно,   для   поля   в   веществе   теорема   о   циркуляции индукции магнитного моля имеет вид:   ldB  B 0      ldB 0   ldB   .    ldB Циркуляция   вектора      пропорциональна   алгебраической   сумме 0B макроскопических   токов,   охватываемых   контуром,   по   которому   берется B  должна быть пропорциональна циркуляция. Аналогично циркуляция вектора  сумме   всех,   охватываемых   контуром   молекулярных   токов.   Следовательно,   результирующего   поля   пропорциональна   сумме   всех циркуляция   вектора   B охватываемых контуром токов:   ldB  0  I   I , где  I  и  I  –   алгебраические   суммы   соответственно   макро­   и   микротоков, охватываемых замкнутым контуром. В итоге, чтобы определить   , нужно знать не только токи, текущие по B проводам, но и молекулярные токи. Чтобы обойти это затруднение, подберем 22 такую   вспомогательную   величину,  которая   связана   простым   соотношением   с вектором   и определяется лишь макроскопическими токами. B Чтобы   установить   вид   этой   вспомогательной   величины,   попробуем выразить   суммарные   микротоки  I  намагничения магнетика    через   вектор . Будем считать, что молекула с J магнитным моментом    эквивалентна замкнутому «витку» mp молекулярного тока  I  мол , p m S мол где  Sмол  –  площадь   «витка».   Вклад   в  I  дают   только   те   молекулярные   токи, «витки» которых «нанизаны» на рассматриваемый контур, как бусы на нитку. В самом   деле,   молекулярные   токи,   не   удовлетворяющие   этому   условию,   либо вообще не пересекают поверхность, натянутую на контур и заштрихованную на рисунке   («виток»  a),   либо   пересекают   ее   дважды   («виток»  b)   во   взаимно противоположных направлениях. 23 Рассмотрим   малый   элемент  dl  этого контура,  образующий   с   направлением намагничения   угол  .   Данный   элемент  dl пересекает   те   молекулярные   токи,   центры которых попадают внутрь косого цилиндра с объемом Sмолcosdl. Если n – число молекул   в   единице   объема,   то   суммарный   ток,   охватываемый   элементом  dl, равен  IмолnSмолcosdl.   Произведение  IмолSмол  равно магнитному   моменту  рm  отдельного   молекулярного тока.  IмолSмолn представляет   собой   магнитный   момент   единицы .   Тогда объема,   т.   е.   дает   модуль   вектора   J   Следовательно,   выражение I S мол n мол cos dl  ldJ – суммарный молекулярный ток, охватываемый элементом dl, а сумма молекулярных токов, охватываемых всем контуром:   . ldJ  I Тогда можно получить следующее соотношение: .  B 0         ldJ  I вспомогательная   величина.   Ее   обозначают   буквой   Выражение,   стоящее   в   скобках   под   знаком   интеграла,   и   есть   искомая    и   называют H напряженностью магнитного поля. Итак, напряженностью магнитного поля называется физическая величина, определяемая соотношением  H  B 0  .  J Тогда с помощью данной величины можно записать 24 .   ldH I Данная   формула   выражают   теорему   о   циркуляции   вектора    :   циркуляция H вектора   напряженности   магнитного   поля   по   некоторому   контуру   равна алгебраической сумме макроскопических токов, охватываемых этим контуром.  принято связывать не с магнитной индукцией, а с J Вектор намагничения  напряженностью поля. Как показывает опыт, вектор   связан с вектором  J   в H той же точке магнетика соотношением ,  J   H где    – характерная для данного магнетика величина, называемая магнитной    – восприимчивостью.   Размерность      совпадает   с   размерностью   H , J безразмерная величина.  Подставив в формулу для напряженности    последнее выражение для  H , J получим  H  B  0  ,   H откуда  H  .  B    10 Безразмерная величина   = 1 +    называется   относительной   магнитной   проницаемостью   или   просто   магнитной проницаемостью вещества. Магнитная   восприимчивость      бывает   как   положительной,   так   и 25 отрицательной. Поэтому магнитная проницаемость      может быть как больше, так и меньше единицы.  Используя два последних выражения, придем к соотношению   H  ,   B 0 которое и является тем простым соотношением между векторами     и   B  , о H котором упоминалось выше.  Таким образом, напряженность магнитного поля   есть вектор, имеющий H то   же   направление,   что   и   вектор   ,   но   в  0  раз   меньший   по   модулю   (в B анизотропных средах векторы   и  B   могут не совпадать по направлению). H Перейдем к выяснению физического смысла величин    и  . Рассмотрим H однородное магнитное поле в вакууме, которое можно задать с помощью либо вектора    , либо  вектора   0B  H  B 0 0  0  . Вектор      мы  назовем  напряженностью 0H внешнего поля. Внесем в это поле бесконечно длинный круглый стержень из  .   Под   действием   поля 0B однородного   магнетика   и   расположим   его   вдоль   молекулярные токи установятся так, что их магнитные моменты расположатся  . Вне стержня 0B B  совпадет с направлением  вдоль оси стержня, а направление    равна нулю. B Можно показать, что 26 .  0 B  J Складывая   векторы      и   B  ,   находим   вектор   магнитной   индукции 0B результирующего поля   BB 0  .  J 0  B  B 0 Наконец, получим выражение для   : H  H  B  0   J  B 0  0 .  H 0 Итак,   в   рассмотренном   нами   случае   напряженность   поля   в   магнетике совпадает с вектором магнитной индукции внешнего поля, деленным на 0, т. е. оказывается равной напряженности внешнего поля.   на 0, мы получим индукцию  H Умножив  :  B  B  H   0   0 .   B 0   B 0  0 Отсюда   следует,   что   относительная   магнитная   проницаемость   показывает, во сколько раз усиливается поле в магнетике.  Заметим, что поскольку поле  B  отлично от нуля только внутри стержня, магнитное поле вне стержня остается без изменений. Вопросы для самоконтроля: 1.   Как   действует   внешнее   магнитное   поле   на   орбитальный   магнитный момент электрона в атоме? 2. Что называется вектором намагниченности и как он связан с индукцией магнитного поля? 3. Как связаны между собой векторы магнитной индукции, напряженности магнитного поля и намагниченности?  4.   Чему   равна   циркуляция   вдоль   замкнутого   контура:   а)   вектора 27 напряженности   магнитного   поля;   б)   вектора   намагниченности;   в)   вектора магнитной индукции? 5. Каков физический смысл относительной магнитной проницаемости ? Лекция № 4. Магнетики Цель: рассмотреть и объяснить поведение различных групп магнетиков в магнитном поле. Основные понятия: Диамагнетики  –   вещества,   магнитные   моменты   атомов   или   молекул которых при отсутствии внешнего магнитного поля равны нулю.   Парамагнетики  –  вещества,  магнитные  моменты  атомов или  молекул которых при отсутствии внешнего магнитного поля отличны от нуля. Ферромагнетики –  вещества,  которые  ниже  определённой  температуры способны обладать намагниченностью в отсутствие внешнего магнитного поля. Орбитальный   магнитный   момент  –   магнитный  момент,   вызванный движением электрона по орбите. Орбитальный   момент   импульса  –   физическая   величина, характеризующая   количество   вращательного   движения;   определяется  как векторное произведение радиуса­вектора частицы на ее импульс. Прецессия – явление, при котором ось вращающегося объекта совершает колебательные движения. Магнитное   насыщение  –  состояние   вещества,   при   котором   его намагниченность   достигает (предельного   значения)   не изменяющегося при дальнейшем возрастании напряжённости намагничивающего поля.  насыщения  Гистерезис – неоднозначная (необратимая) зависимость намагниченности (или индукции) магнитоупорядоченного вещества (магнетика) от напряженности магнитного поля. Остаточное   намагничение    которую   имеет ферромагнитный   материал   при   напряжённости   внешнего   магнитного   поля равного нулю. –   намагничение, Коэрцитивная   сила  –  значение   напряженности   магнитного   поля, необходимое для полного размагничивания ферромагнитного вещества. Домен – макроскопическая область ферромагнетика, характеризующаяся 28 спонтанным (самопроизвольным) намагничением. Точка   Кюри  –   определенная   температура,   при   которой   области спонтанного намагничения распадаются и вещество утрачивает ферромагнитные свойства. 4.1. Классификация магнетиков. Магнитные свойства разных веществ принято характеризовать магнитной восприимчивостью  ,  определяющей   величину   намагничения   единицы   объема вещества. В   зависимости   от   знака   и   величины   магнитной   восприимчивости   все магнетики подразделяются на три группы:  1)   диамагнетики,   у   которых      отрицательна   и   мала   по   абсолютной величине;  2) парамагнетики, у которых  тоже невелика, но положительна;  3) ферромагнетики, у которых   положительна и достигает очень больших значений.  Кроме   того,   в   отличие   от   диа­   и   парамагнетиков,   для   которых   постоянна,   магнитная   восприимчивость   ферромагнетиков   является   функцией напряженности магнитного поля.  Таким   образом,   вектор   намагничения     может   как   совпадать   по J направлению  с      (у пара­ и ферромагнетиков), так и быть направленным  в H противоположную сторону (у диамагнетиков).  4.2. Поведение атомов и молекул в магнитном поле. Для выяснения причины различия магнитных свойств сред и их влияния на индукцию   магнитного   поля   необходимо   изучить   процессы,   происходящие   в веществе   под   действием   внешнего   магнитного   поля,   т.   е.   необходимо исследовать действие магнитного поля на атомы и молекулы вещества. Подобно тому,   как   диэлектрик,   помещенный   во   внешнее   электрическое   поле, поляризуется и в нем возникает внутреннее электрическое поле, так и в любом веществе, помещенном во внешнее магнитное поле, возникает особое состояние намагниченности и создается внутреннее магнитное поле. Рассмотрим,   прежде   всего,   изолированный   атом,   не   подверженный 29 действию внешнего магнитного поля. Согласно представлениям классической физики, электроны в атомах движутся по некоторым замкнутым орбитам. Такое движение   каждого   электрона   эквивалентно   замкнутому   контуру   тока   – своеобразной   «ниточке»   тока.   Поэтому   любой   атом   или   молекулу,   о   точки зрения   их   магнитных   свойств,   можно   рассматривать   как   некоторую совокупность электронных микротоков.  Магнитный   момент      электрического   тока,   вызванного   движением mp электрона по орбите, называется орбитальным магнитным моментом электрона.  по Предположим для простоты, что электрон в атоме движется со скоростью  v круговой орбите радиуса r. Направления движения электрона и тока I указаны на   рисунке   стрелками.   Согласно   определению   магнитного   момента   тока, орбитальный магнитный момент электрона численно равен . pm  2rI IS где S – площадь орбиты электрона. Вектор    направлен в ту же сторону, что и mp магнитное поле в центре кругового тока  I. Обозначим через  n  число оборотов электрона в секунду.  Тогда  I  e en . ,  v 2 r pm  evr 2 С другой стороны, каждый электрон массы  m, равномерно вращающийся по орбите, обладает моментом импульса   L   rmL   v  , численно равным   L = mvr. Тогда можно получить 30 . pm L  e 2 m Отношение   числового   значения   орбитального   магнитного   момента электрона к числовому значению его орбитального момента импульса не зависит ни от скорости электрона на орбите, ни от радиуса орбиты.  Орбитальный   магнитный   момент   электрона   пропорционален   его орбитальному   моменту   импульса,   причем   оба   момента   противоположны   по направлению. Полученные   результаты   справедливы   для   любого   из   электронов, находящихся   в   атоме.   Вектором   орбитального   магнитного   момента   атома называется   векторная   сумма   орбитальных   магнитных   моментов   всех   его электронов. Аналогично этому, вектором орбитального момента импульса атома называется векторная сумма орбитальных моментов импульса всех электронов атома. Рассмотрим влияние магнитного поля на движение электронов в атомах вещества. Предположим для простоты, что электрон в атоме движется с угловой скоростью 0 по круговой орбите, плоскость которой перпендикулярна вектору индукции   магнитного поля.  B сила  Когда магнитное поле отсутствует, на электрон действует электрическая   притяжения его ядром, играющая роль центростремительной силы: eF  0 eFrm 2 .  В   магнитном   поле   на   электрон   помимо   силы      действует   еще   сила eF Лоренца   , которая в данном случае направлена в сторону, противоположную лF  .   Поэтому   центростремительная   сила   численно   равна   разности   eF . F  e F л Изменение   силы,   действующей   на   электрон,   приводит   к   изменению   угловой скорости его вращения по орбите.  31 Изменение угловой скорости вращения электрона происходит в процессе нарастания   того   магнитного   поля,   в   которое   вносится   атом.   Процесс «включения» магнитного поля, действующего на атом, происходит в течение некоторого промежутка времени. При этом возникает индукционное вихревое электрическое   поле,   направленное   по   касательной   к   орбите   электрона, приводящее к изменению угловой скорости вращения электрона   . eB m 2 Если орбита электрона расположена произвольным образом относительно вектора  , так что орбитальный магнитный момент  B   электрона mp составляет с направлением вектора магнитной индукции угол , то влияние   поля   оказывается   более   сложным:   в   этом   случае   вся орбита   приходит   в   такое   движение,   при   котором   угол   сохраняется неизменным, а вектор      (перпендикулярный плоскости орбиты mp электрона) вращается вокруг направления   с угловой скоростью B   L .  Be m 2 Такое   движение   в   механике   называется   прецессионным. Оно аналогично движению оси вращающегося волчка. Изменение угловой скорости вращения электрона, или, в общем   случае,   появление   прецессии,   приводит   к   изменению орбитального   тока,   т.   е.   к   появлению   дополнительного   тока ,   которому   соответствует   наведенный   орбитальный I орб магнитный   момент   электрона     mp ,   направленный   противоположно   вектору 32 магнитной индукции  . B 4.3. Диамагнетики. Диамагнетиками   называются   вещества,   магнитные   моменты   атомов   или молекул которых при отсутствии внешнего магнитного поля равны нулю. Иначе говоря,   в   атомах   или   молекулах   диамагнитных   веществ   векторная   сумма орбитальных магнитных моментов всех электронов равна нулю. Диамагнетиками являются   инертные   газы,   большинство   органических   соединений,   многие металлы (висмут, цинк, золото, медь, серебро, ртуть и др. ), смолы, вода, стекло, мрамор.  При   внесении   диамагнитного   вещества   в магнитное   поле   в   каждом   его   атоме   наводится магнитный   момент   направленный   ,   mp противоположно   вектору     B индукции магнитного поля. Диамагнетики,   помещенные   в   магнитное   поле,   ведут   себя соответствующим образом. Стержень из диамагнитного материала (например, из висмута)   намагничивается   в   направлении,  внешнего противоположном вектору индукции  B магнитного   поля.   Поэтому   в   неоднородном магнитном   поле   диамагнетик   выталкивается   в область   более   слабого   поля   и   устанавливается   так,   чтобы   его   ось   была .   Газы,   входящие   в   состав   продуктов   сгорания, перпендикулярна   вектору   B также   обладают   диамагнитными   свойствами.   Поэтому   в   неоднородном магнитном поле пламя свечи отклоняется в сторону более слабого поля. 4.4. Парамагнетики. Если векторная сумма орбитальных магнитных моментов всех электронов атома  (или   молекулы)   не   равна   нулю,  то   атом   в  целом   обладает   некоторым магнитным моментом. Такие атомы (молекулы) называются парамагнитными, а состоящие из них вещества – парамагнетиками. К парамагнетикам относятся 33 кислород, окись азота, алюминий, платина, редкоземельные элементы, щелочные и щелочноземельные металлы и другие вещества. Рассмотрим, что произойдет при внесении парамагнетика в однородное магнитное   поле,   индукция   которого   . B Внешнее   магнитное   поле   стремится установить магнитные моменты атомов вдоль и   вызывает   прецессию   результирующих магнитных   моментов   атомов   вокруг направления   ,   тепловое   движение   стремится   разбросать   их   равномерно   по B всем   направлениям.   Результирующий   магнитный   момент   отдельного   атома имеет очень малое значение, но совокупное действие магнитных моментов всех атомов,   заключенных   в   единице   объема   вещества,   приводит   к   эффекту намагничивания, значительно превосходящему диамагнитный эффект. Поэтому в парамагнитном теле появляется собственное магнитное поле, обусловленное наличием   преимущественной   ориентацией   моментов,   направленное   в   ту   же сторону, что и внешнее магнитное поле. направлении,  совпадающем   с  вектором   То,   что   намагничивание   парамагнетика   действительно   происходит   в   индукции   магнитного   поля   можно B показать на опыте. При внесении парамагнитного стержня в магнитное поле, созданное между полюсами электромагнита, он устанавливается вдоль линий индукции этого поля. 4.5. Ферромагнетики. Ферромагнитными веществами – ферромагнетиками – называются такие вещества, в которых внутреннее (собственное) магнитное поле может в сотни и тысячи   раз   превышать   вызвавшее   его   внешнее   магнитное   поле.   К ферромагнетикам   относятся   железо,   никель,   кобальт   и   ряд   сплавов,   причем ферромагнетизм   обнаружен   только   в   кристаллическом   состоянии перечисленных веществ. Ферромагнетики   являются   сильномагнитными   веществами   –   их намагничение   в   огромное   число   раз   превосходит   намагничение   диа­   и парамагнетиков, принадлежащих к категории слабомагнитных веществ.  34 ¦Намагничение   слабомагнитных   веществ   изменяется   с   напряженностью поля линейно. Намагничение ферромагнетиков зависит от Н сложным образом. На рисунке дана кривая намагничения ферромагнетика. Начиная с некоторого значения  Н  =  Нн  числовое   значение   вектора намагниченности остается постоянным и равным Jн. Это явление называется магнитным   насыщением.   График   зависимости магнитной   индукции  В  от  Н  отличается   от графика  J  =   f(H)   отсутствием   горизонтальной части:   как   только   наступает   насыщение, практически     магнитная   индукция    B  0   JH     растет   по линейному закону в зависимости от напряженности   Существенной внешнего   магнитного   поля. особенностью   ферромагнетиков является зависимость    от  Н.   Относительная   магнитная проницаемость   ферромагнетика   вначале   быстро растет с возрастанием  Н, достигает максимума и затем   убывает,   стремясь   к   единице   при   сильных намагничивающих полях.    Кроме нелинейной зависимости между Н и J (или  Н  и  В)   для   ферромагнетиков   характерно также   наличие   гистерезиса.   Если   довести намагничение   до   насыщения   (точка  А)   и   затем уменьшать   напряженность   магнитного   поля,   то намагничение следует не первоначальной кривой, а по кривой лежащей выше кривой 0 – А. В результате, когда напряженность внешнего поля станет равной нулю,   намагничение   не   исчезает   и   характеризуется   величиной  Вост,   которая называется остаточной индукцией. Намагничение имеет при этом значение  Jост, называемое остаточным намагничением. Намагничение обращается в нуль лишь под   действием   поля  Нк,   имеющего   направление,   противоноложное   полю, вызвавшему намагничение. Напряженность Нк называется коэрцитивной силой. Существование   остаточного   намагничения   делает   возможным изготовление постоянных магнитов, т. е. тел, которые без затраты энергии на поддержание   макроскопических   токов   обладают   магнитным   моментом   и 35 создают   в   окружающем   их   пространстве магнитное поле. Очевидно, что постоянный магнит тем лучше сохраняет свои свойства, чем больше коэрцитивная сила материала, из которого он изготовлен. Ответственными   за   такие   уникальные магнитные   свойства   ферромагнетиков являются   собственные   (спиновые)   магнитные   моменты электронов. При определенных условиях в кристаллах могут возникать   силы,   которые   заставляют   магнитные   моменты электронов   выстраиваться   параллельно   друг   другу.   В результате спонтанного (самопроизвольного)   намагничения,   которые   называются также доменами. В пределах каждого домена ферромагнетик спонтанно   намагничен   до   насыщения   и   обладает определенным   магнитным   моментом.   Направления   этих моментов   для   разных   доменов   различны   и   показаны   на   рисунке,   так   что   в отсутствие внешнего поля суммарный момент всего тела равен нулю. Домены имеют размеры порядка 10­4 – 10­3 см. возникают     области   Действие   поля   на   домены   на   разных   стадиях   процесса   намагничения оказывается   различным.   Вначале,   при   слабых   полях,   наблюдается   смещение границ доменов, в результате чего происходит увеличение тех доменов, моменты которых составляют с Н меньший угол, за счет доменов, у которых угол между магнитными моментами и Н больше. Например, домены 1 и 3 увеличиваются за счет доменов 2 и 4. С увеличением напряженности поля этот процесс идет все дальше   и   дальше,   пока   домены   с   меньшими   углами   (которые   обладают   в магнитном поле меньшей энергией) не поглотят целиком энергетически менее выгодные   домены.   На   следующей   стадии   имеет   место   поворот   магнитных моментов   доменов   в   направлении   поля.   При   этом   моменты   электронов   в пределах   домена   поворачиваются   одновременно,   без   нарушения   их   строгой параллельности   друг   другу.   Эти   процессы   (исключая   небольшие   смещения границ между доменами в очень слабых полях) являются необратимыми, что и служит причиной гистерезиса. Для каждого ферромагнетика имеется определенная температура Тк, при которой области спонтанного намагничения распадаются и вещество утрачивает 36 ферромагнитные   свойства.   Эта   температура   называется   точкой   Кюри.   Для железа она равна 768 °С, для никеля 365 °С. При температуре выше точки Кюри ферромагнетик   становится   обычным   парамагнетиком.   При   охлаждении ферромагнетика ниже точки Кюри в нем снова возникают домены. Вопросы для самоконтроля: 1.   Как   действует   внешнее   магнитное   поле   на   орбитальный   магнитный момент электрона в атоме? 2.   Какие   вещества   называются   диамагнетиками?   Что   происходит   с диамагнетиком при его внесении в магнитное поле?  3.   Какие   вещества   называются   парамагнетиками?   Что   происходит   с парамагнетиком при его внесении в магнитное поле? 4. Чем различаются магнитные свойства диа­ и парамагнетиков? 5. Каковы особенности магнитных свойств ферромагнетиков? 6. Что называется доменом? 7. Что происходит с доменной структурой ферромагнетика при внесении его в магнитное поле? 8. Дайте определение точки Кюри? Тема 3. Действие магнитного поля на токи и заряды Лекция № 5. Закон Ампера Цель: изучить закон силового воздействия магнитного поля на проводник с током. Основные понятия: Элемент   тока   –  векторная   величина,   равная   произведению  тока проводимости вдоль линейного проводника и бесконечно малого отрезка этого проводника. Центральная сила – сила, линия действия которой при любом положении тела, к которому она приложена, проходит через точку, называемую центром силы. Тело при этом, как правило, рассматривается как материальная точка, а центр также считается точечным. Действие магнитного поля на проводники с током было обнаружено Г. Эрстедом и А. Ампером. Ампер подробно исследовал это явление и пришел к выводу, что сила  F, которая действует на прямолинейный проводник с током, 37 находящийся   в   однородном   магнитном   поле,  пропорциональна   силе   тока  I  в проводнике,   его   длине  l,   магнитной   индукции  В  и   синусу   угла    между направлением тока в проводнике и вектором  :  B F  IBl . sin Это выражение носит название закона Ампера.  Далее опыты показали, что если провод с током изогнуть, как показано на рис.  а, то он не производит магнитного действия. И, обратно, такой проводник не испытывает   действия   силы   со   стороны   других проводников. Магнитное действие не наблюдается и в том случае, если одну часть провода (и притом произвольным образом) обвить вокруг другой (рис. б).  Из   этих   результатов   вытекает   заключение,   что   какие­либо   элементы проводника  dl1,  dl2  и  dl3  совместно   производят   такое   же магнитное   действие,   как   один   элемент  dl,   замыкающий   эти отрезки.   В   частности,   действие   изогнутых   отрезков   12   и   23 проводника на рис.  б  оказывается таким, как если бы вместо них   был   прямолинейный   отрезок,  соединяющий   точки 1  и 3, действие 34 и 45 равно действию 35 и т.д., поэтому действие всего этого проводника такое же, как и проводника на рис.  а, т.е.   равно   нулю.   Из   сказанного   следует,   что   магнитное   действие   бесконечно – малого отрезка dl провода зависит от произведения  ld , где I – сила тока, a  lId вектор,   имеющий   длину   отрезка  dl  и   направленный   вдоль   тока.   Это произведение называют элементом тока. Сила   взаимодействия   контуров   конечных   размеров   складывается   из взаимодействия отдельных элементов тока. Она зависит от размеров контуров, их формы и взаимного расположения, и поэтому сформулировать общий закон взаимодействия контуров с током нельзя. Однако такой закон можно дать для элементов тока. Понятие элемента тока в законах магнитного взаимодействия играет ту же роль, что и понятие точечного заряда в законах электрического взаимодействия.  Т.   к.,   бесконечно   малый   элемент  dl  проводника   любой   формы   можно 38 считать   прямолинейным,   а   магнитное   поле   в   области, занятой элементом  dl, можно считать однородным, то в общем случае закон Ампера можно записать в виде dF  IBdl , sin где  dF  –   сила,   действующая   на   элемент   проводника длиной dl,  – угол между векторами   (проведенным в ld направлении тока I) и  .  B Закон   Ампера   позволяет   определить   числовое   значение   магнитной индукции  В.   Предположим,   что   элемент   проводника  dl  с   током  I перпендикулярен направлению магнитного поля ( ), тогда закон Ампера sin  1 можно записать в виде  .  B 1 I dF dl Из данной формулы следует, что магнитная индукция  В  численно равна силе, действующей со стороны поля на единицу длины проводника, по которому течет   электрический   ток   единичной   силы   и   который   расположен перпендикулярно   направлению   магнитного   поля.   Таким   образом,   магнитная индукция является силовой характеристикой магнитного поля,  подобно тому, как напряженность  Е  является силовой характеристикой электростатического поля. Закон   Ампера   не   указывает   направления   силы     и   поэтому   не Fd определяет ее полностью. Как показали опыты, направление силы      можно Fd найти по правилу левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы в нее   входили   линии   магнитной   индукции,   а   четыре   вытянутых   пальца расположить   по   направлению   электрического   тока   в   проводнике,   то отставленный   большой   палец   укажет   направление   силы,   действующей   на 39 проводник со стороны поля. Это правило очень удобно,  проводника с током перпендикулярен когда элемент  ld направлению   магнитного   поля.   Во   всех   остальных случаях   оно   нуждается   в   дополнительных   пояснениях. Поэтому   для   отыскания   направления   силы      лучше Fd пользоваться   более   универсальным   правилом:   вектор    направлен Fd перпендикулярно плоскости, образованной векторами     и   ld   таким образом, B чтобы   из   конца   вектора      вращение   от   вектора   Fd   к   вектору   ld   по B кратчайшему   пути   происходило   против   часовой   стрелки.   Иными   словами, вектор      совпадает по направлению с векторным произведением   Fd  Bld  . Из математики известно, что модуль векторного произведения равен произведению модулей векторов на синус угла между ними:     Bld dlB  . sin Поэтому можно записать закон Ампера векторной форме следующим образом:  в .     BldIFd  Взаимное расположение векторов   ,  Fd  и  ld  представлено на рисунке. B Если элемент проводника     перпендикулярен   ld , то при заданном значении B силы тока I сила    максимальна:  Fd   максFdFd  .  Т. о., можно указать еще один способ нахождения направления вектора 40 магнитной   индукции.   Вектор     образует   с   векторами   B  максFd   и     правую ld тройку,   т.е.   направлен   перпендикулярно   плоскости   этих   векторов   таким  по кратчайшему пути было ld образом, чтобы из его конца вращение от   к   максFd видно происходящим против часовой стрелки.  Остановимся теперь на существенной особенности сил электромагнитного взаимодействия,   которая   выражена   в   законе   Ампера.   В   электростатике   мы имели дело с центральными силами, так как сила взаимодействия между двумя точечными зарядами направлена по линии, соединяющей эти заряды. Примером центральных сил являются также силы тяготения (гравитационные силы). Сила, действующая на точечный заряд  q, помещенный в электростатическое поле с , т.е. , совпадает по величине и направлению с вектором  E напряженностью  Eq направлена по касательной к силовой линии электростатического поля. Силы же электромагнитного взаимодействия, как видно из закона Ампера, не являются центральными.   Они   всегда   направлены   перпендикулярно   линиям   магнитной индукции и проводникам с токами, т.е. их абсолютные значения и направления существенным   образом   зависят   от   ориентации   в   магнитном   поле рассматриваемых элементов проводников с токами. Применим   закон   Ампера   для   вычисления   силы   взаимодействия   двух находящихся   в   вакууме   параллельных   бесконечно длинных   прямых   токов.   Если   расстояние   между токами  b,   то   каждый   элемент   тока  I2  будет находиться   в   магнитном   поле,   индукция   которого (согласно закону Био­Савара­Лапласа)   1  B  0 . I 1  b 2 Угол    между элементами тока  I2  и вектором      прямой. Следовательно, на 1B единицу длины тока I2 действует сила 41 F 21  BI 2 1  .  0 4 2 II 21 b Для   силы   12F ,   действующей   на   единицу   длины   тока    I1  получается аналогичное выражение. С помощью правила левой руки легко установить, что при   одинаковом   направлении   токов   они   притягивают   друг   друга,   а   при различном – отталкивают. Вопросы для самоконтроля: 1. Что называется элементом тока и как он находится?  2. В чем состоит закон Ампера?  3. Сформулируйте правило для определения направления силы Ампера. 4. Дайте определение магнитной индукции исходя из закона Ампера. 5. Какова особенность сил электромагнитного взаимодействия? Лекция № 6. Сила Лоренца Цель:  изучить   закон   силового   воздействия   магнитного   поля   на движущийся   заряд;   рассмотреть   примеры   движения   заряженных   частиц   в природе и технике. Основные понятия: Циклотрон – циклический резонансный ускоритель тяжёлых частиц  (протонов, ионов), в котором и управляющее магнитное поле и частота  ускоряющего электрического поля постоянны во времени. Дуант – один из двух ускоряющих D­образных электродов, находящихся  в циклотроне. Космические лучи – поток заряженных частиц высокой энергии,  преимущественно протонов, приходящих к Земле приблизительно изотропно со  всех направлений космического пространства. Солнечный ветер – поток ионизированных частиц (в основном гелиево­ водородной плазмы), истекающий из солнечной короны со скоростью 300 – 1200  км/с в окружающее космическое пространство. Магнитное   поле   действует   не   только   на   проводники   с  током,   но   и   на отдельные   электрические   заряды,   движущиеся   в   поле.   Этот   вывод 42 подтверждается целым рядом опытных фактов и, в частности, тем, что пучок свободно   летящих   заряженных   частиц,   например,   электронный   пучок, отклоняется магнитным полем. Найдем   выражение   для   силы,   действующей   на   заряд,   движущийся   в магнитном   поле.   По   закону   Ампера,   на   элемент  dl  проводника   с   током  I, находящийся в магнитном поле, действует сила .     BldIFd  Если   ток  I  в   проводнике обусловлен   движением   частиц,   заряд которых равен q, то nqvS  jS I и , Idl  qvdN где   n  – концентрация заряженных частиц,   – число частиц в объеме dN  nSdl проводника длиной dl,  v – скорость их упорядоченного движения.  Поскольку векторы   и   ld   параллельны друг другу (при  q>0   vq  v  ],  ld при q<0   v   ld , так что   vq   ld при любом знаке заряда q), то  lId  dNvq  . Поэтому  Fd .  Bv    qdN Поделив обе части данного равенства на число частиц dN, найдем силу   лF действующую на каждую заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле: 43  Fл   Fd dN .  Bvq   Это выражение впервые было получено Г. А. Лоренцем. Поэтому сила   лF называется силой Лоренца. Сила Лоренца численно равна  Fл  vBq ,  sin где  – угол между векторами   и  v . B Взаимная   ориентация   векторов   ,   v   и   B    для   случая   положительных лF зарядов (q>0) и для случая отрицательных зарядов (q<0) показана на рисунке. Очевидно, что магнитное поле не действует на заряженную частицу в двух случаях: если   0v , т. е. частица неподвижна, или если  sin  0  и   Bv || , когда частица движется вдоль линий магнитного поля. Обозначим массу движущейся частицы через m. Тогда по второму закону Ньютона частица получает ускорение  : a  a  .  F л m или с учетом выражения для силы Лоренца 44 .  Bv    a  q m При произвольном движении вектор ускорения   имеет две составляющие a – касательное ускорение    и нормальное  кa  . Анализируя последнюю формулу, нa мы   видим,   что   при   движении   заряда   в   магнитном   поле   его   ускорение    a перпендикулярно   к   скорости   ,   т.   е.   всегда   направлено   по   нормали   к v траектории. Это следует из того, что вектор   Bv  , в соответствии с правилами векторного умножения, перпендикулярен к вектору   (и, конечно, к вектору  v  B ). Следовательно, в этом случае .     a н a к q m   0 vB sin Вспомним,   что   изменение   величины   вектора   скорости   обусловлено составляющей ускорения   aк  dv dt , в то время как составляющая ускорения   нa изменяет направление вектора скорости, не меняя его величины. Следовательно, в нашем случае имеем , или  . v  const dv dt 0 Значит, при движении заряженной частицы в постоянном магнитном поле  может изменяться лишь по направлению. Абсолютная v скорость ее движения   45 же   величина   скорости  v  остается   неизменной,   а   значит,   не   меняется   и кинетическая энергия частицы: , Eкин  2 mv 2  const т. е. постоянное магнитное поле не совершает работы над движущейся в нем заряженной   частицей.   Это   может   быть   получено   и   из   непосредственного  , действующей на заряд, движущийся в лF рассмотрения выражения для силы   магнитном поле. Эта сила перпендикулярна к скорости, т. е. перпендикулярна к направлению траектории частицы, и поэтому работа силы равна нулю.  Следует   подчеркнуть,   что   неизменность   величины   скорости   и кинетической энергии заряженной частицы в магнитном поле имеет место лишь в  том   случае,   если   это   поле   постоянно,  не   зависит   от   времени.  Переменное магнитное   поле   ускоряет   заряженные   частицы   (точнее,   меняет   не   только направление, но и величину скорости). Нормальное ускорение     всегда равно   нa v 2 r , где  r  есть радиус кривизны траектории в данной точке. Тогда получим соотношение q m vB sin  ,  2 v r позволяющее определить радиус кривизны во всех точках траектории частицы . r  mv sinBq Разберем два простейших примера. 1. Заряженная частица влетает в однородное магнитное поле    B  const   с начальной   скоростью   ,   направленной   перпендикулярно   к   вектору v 46 напряженности магнитного поля ( ).   v   B Поскольку      и   лF   тоже перпендикулярны к   a , то в дальнейшем вектор B скорости   будет   оставаться   перпендикулярным   к   ,   и   вся   траектория   будет B лежать в плоскости, перпендикулярной к вектору индукции магнитного поля. Тогда   и для радиуса кривизны получаем sin90  1 sin  . r  mv Bq  const Т. е. радиус кривизны траектории остается постоянным, а сама траектория есть окружность радиуса r. Этот радиус для частиц данной природы (т. е. для данных значений  m  и  q  или   для   частиц   с   данным   отношением  q/m)   прямо пропорционален   скорости   частицы  v  и   обратно   пропорционален   индукции магнитного поля B. Длина окружности L  2   2 r mv Bq также пропорциональна скорости частицы, а период обращения ее в поле T 2 L v m Bq зависит   не   от   скорости  v,   а   только   от   индукции магнитного поля  , заряда q и массы m частицы.  B Направления силы Лоренца    и вызываемого ею лF отклонения   заряженной   частицы   в   магнитном   поле зависят от знака ее заряда q. Если частица движется в плоскости чертежа слева направо, а магнитное поле направлено из­за чертежа перпендикулярно его плоскости, то при q > 0 частица отклоняется вниз, а при q < 0 – вверх. Таким образом, по характеру отклонения частицы в магнитном поле 47 можно   судить   о   знаке   ее   заряда.  Этим   широко   пользуются   в  исследованиях элементарных частиц.  2. Частица влетает в однородное магнитное поле   B  const , и направление вектора ее скорости   составляет с линиями магнитного поля угол , отличный v от 90°. Мы можем разложить   на две составляющие – перпендикулярную ( v  ) v и параллельную (  ) полю, как показано на рисунке. ||v Величины этих составляющих равны  и  cos . sinv v  v  v || Сила, действующая на частицу, Fл  Bvq sin  Bvq  , лежит в плоскости, перпендикулярной к  , определяется величиной вектора  B  v и изменяет его направление.  независимых движений. Одно из них происходит в направлении  Движение   частицы   при   этом   можно   представлять   как   сумму   двух , а другое – в B плоскости, перпендикулярной к  , в которой действует сила  B  . Испытывая эту лF силу, частица будет вращаться по окружности радиуса  r mv   Bq  mv sin Bq в плоскости, перпендикулярной к вектору напряженности магнитного поля, и будет совершать один оборот за время  . T 2 m Bq 48 С другой стороны, поскольку   и   Fл  B   Fл  ||v  , то частица будет двигаться вдоль   линий   магнитного   поля   с   постоянной   поступательной   скоростью  v || const .   Вследствие   наложения   этих   двух движений – поступательного вдоль линий поля вращательного   в   перпендикулярной   к   ним плоскости – частица будет двигаться по винтовой линии с шагом винта и h  Tv || .  cos  2 m Bq v Рассмотренные   простейшие   примеры   показывают,   что   заряженные частицы, влетающие в постоянное магнитное поле, изменяют направление своего .   Этим   свойством движения   и   начинают   «навиваться»   на   линии   вектора   B пользуются в некоторых приборах, чтобы удержать пучки заряженных частиц от , то магнитное поле расплывания. Если частица движется точно вдоль линии  B не оказывает на нее никакого воздействия (  и   || Bv  0лF ). Если же частица по каким­либо причинам получит составляющую скорости   , перпендикулярную к v линиям   поля,   то   она   все   равно   не   уйдет   далеко   в   сторону   от   заданной траектории и будет двигаться по винтовой линии, навиваясь на эту траекторию. Из мирового пространства на Землю приходят потоки заряженных частиц большой   энергии   –   космические   лучи.   Кроме   того,   на   Землю   падает   поток заряженных   частиц,   испускаемых   Солнцем.   При   приближении   к   земной поверхности   эти   частицы   начинают   испытывать   действие   магнитного   поля Земли.   На   рисунке   показано   изменение   их   траекторий.   Те   из   них,   которые направляются к магнитным полюсам Земли, будут двигаться почти вдоль линий земного   магнитного   поля   и   навиваться   на   последние.   Так   как   по   мере приближения к земной поверхности индукция магнитного поля B возрастает, то 49 радиус   окружности   винтовой   линии   будет уменьшаться. Заряженные   частицы,   подходящие   к Земле   вблизи   экваториальной   плоскости, направлены   почти   перпендикулярно   к линиям   магнитного   поля   и   отклоняются   в сторону   от   своего   первоначального направления.   Лишь   самые   быстрые   из   них (R~v)  смогут дойти до поверхности  Земли. Такова причина так называемого широтного эффекта,   заключающегося   в   том,   что интенсивность лучей, доходящих до Земли вблизи экватора, заметно меньше, чем в более высоких широтах. Этим же обстоятельством объясняется и то, что свечение в верхних слоях атмосферы, вызываемое корпускулярным излучением Солнца (солнечным ветром), наблюдается главным образом в полярных областях (полярные сияния). Независимость периода обращения  Т  от скорости частицы в однородном магнитном поле была использована в ускорителе заряженных частиц, названном циклотроном, применяемом для исследований атомных ядер.  космических     Циклотрон   состоит   из   двух   металлических   дуантов  М  и  N, представляющих собой две половины невысокой тонкостенной цилиндрической коробки, разделенные узкой щелью. Дуанты заключены в плоскую замкнутую камеру  А, помещенную между полюсами сильного электромагнита. Магнитное поле   направлено   перпендикулярно   плоскости   чертежа.   Дуанты   с   помощью электродов  m  и  n  присоединены   к   полюсам   электрического   генератора, создающего в щели между ними переменное электрическое поле. Введем в точку С положительный ион в тот момент, когда электрическое поле между дуантами максимально и направлено снизу вверх. Под действием электрического поля ион начнет   равноускоренно   перемещаться   в   плоскости   чертежа   снизу   вверх.   Как только   он   войдет   в   дуант  М,   ускоряющее   действие   электрического   поля прекратится,   так   как   металлические   стенки   дуанта   практически   полностью экранируют его внутреннюю полость от электрического поля в зазоре. Внутри дуанта М ион под действием магнитного поля опишет полуокружность радиуса 50 .   К   тому   моменту   времени,   когда   ион,   двигаясь   в   дуанте  М,   будет r  mv Bq подходить   к   зазору   между   дуантами,   направление   электрического   поля изменится   на   противоположное первоначальному   и   поле   снова будет   ускорять   движение   иона. Затем   внутри   дуанта  N  ион опишет   полуокружность   но   уже несколько   большего   радиуса, соответствующего возросшей скорости. К моменту вылета иона в зазор электрическое поле снова изменит свое направление и будет ускорять   движение   иона.   В результате многократного ускорения   иона   электрическим полем его кинетическая энергия может стать очень большой.      Для   уменьшения   вероятности   торможения   ионов   из­за   столкновения   с молекулами воздуха в камере А создается высокий вакуум. Описанный процесс непрерывного ускорения ионов возможен только в том случае, если движение иона и изменение электрического поля в зазоре будут происходить строго синхронно. В противном случае ион при прохождении через зазор   будет   то   ускоряться,   то   замедляться.  Таким   образом,  для   нормальной работы   циклотрона   необходимо,   чтобы   период  T0  колебаний   электрического поля совпадал с периодом Т обращения иона: T 0  T . 2 m Bq Вопросы для самоконтроля: 1. Какая сила действует на электрический заряд, движущийся в магнитном поле? Чему она равна и как направлена? 2. Как движется заряженная частица в магнитном поле, если начальная скорость частицы перпендикулярна линиям магнитной индукции? 3. Почему сила Лоренца меняет направление скорости, но не меняет ее 51 модуль? 4.   Может   ли   магнитное   поле   изменить   величину   скорости   заряженной частицы? 5.   Каков   характер   движения   заряженной   частицы,   влетающей   в однородное магнитное поле под некоторым углом к ее линиям? 6. Для чего предназначен циклотрон и как он действует? Тема 4. Электромагнитная индукция Лекция № 7. Явление электромагнитной индукции Цель:  ввести понятие «электромагнитная индукция»; вывести основной закон электромагнитной индукции. Основные понятия: Индукционный ток – электрический ток, возникающий в замкнутом  проводящем контуре при изменении потока магнитной индукции,  пронизывающего этот контур. Электромагнитная индукция – явление возникновения электрического  тока в замкнутом контуре при изменении во времени магнитного поля или при  движении контура в магнитном поле. Магнитный поток – физическая величина, равная количеству силовых  линий, проходящих через некоторую площадку. 7.1. Опыты Фарадея по индуцированию электрического тока.  Мы знаем,  магнитное поле создается электрическим током. Долгое время было непонятно, имеется ли обратная связь и можно ли возбудить ток в контуре с помощью магнитного поля. Фарадей   дал   положительный   ответ   на   этот   вопрос,   осуществив   опыт, имевший   огромное   значение   для   дальнейшего   развития   физики   и   техники. Принципиальная   схема   установки   Фарадея   приведена   на   рисунке.   На деревянный стержень  М  намотаны два длинных куска изолированного медного провода.   Концы   одного   из   них   через   ключ  К  присоединены   к   батарее гальванических   элементов  Б,   а   концы   другого   –   к   гальванометру  G.   При неизменной силе тока в первой цепи гальванометр показывал отсутствие тока во второй. Однако при замыкании и размыкании ключа  К  стрелка гальванометра слегка отклонялась и затем быстро возвращалась в положение равновесия, что 52 К  свидетельствовало   о   возникновении   в   проводнике   2   кратковременного   тока, названного   Фарадеем   индукционным   током. Направления индукционных токов при замыкании и   размыкании   ключа были   прямо противоположными.   Заменив   ключ  К  реостатом, Фарадей заметил, что при изменении силы тока I1 в первом   проводнике   во   втором   по­прежнему наводится   индукционный   ток,   направление которого   зависит   от   того,   уменьшается  I1  или увеличивается.  Изменение   тока  I1  сопровождалось   одновременным   изменением   его магнитного поля. Поэтому неясно было, что же является причиной   возникновения   индукционного   тока:   изменение тока I1 или его магнитного поля в той части пространства, где находится второй проводник? Ответ на этот вопрос был получен   Фарадеем   с   помощью   следующих   опытов.   Надо взять   две   катушки,   одна   из   которых,  К1  замыкается   на батарею  Б;   по   этой   катушке   идет   постоянный   ток  I1. Катушка  К2  замкнута   на   гальванометр.  Если   катушку  К1 приближать к К2, в последней возникает индукционный ток I2, направление которого показано на рисунке. При удалении катушки  К1  от  К2    ток  I2  также   возникает,   но   имеет противоположное направление.  Аналогичная   картина   наблюдается   при   удалении   или   приближении катушки  К2  к   неподвижной   катушке  К1.   Наконец,   ток  I2  отсутствует,   когда взаимное расположение катушек не изменяется. Опыты   Фарадея   ясно   показали,   что   причиной   возникновения индукционного тока  I2  является изменение магнитного поля, пронизывающего катушку  К2. Чтобы окончательно убедиться в этом, Фарадей провел еще один опыт.   Катушка   с   током   была   заменена   длинным   полосовым   магнитом.   При перемещении магнита вдоль оси катушки К2 было обнаружено возникновение в ней   индукционного   тока,   направление   которого   зависело   от   того,   каким полюсом был обращен к катушке магнит и удалялся он от нее или приближался к   ней.   Результаты   опыта   полностью   подтвердили   сделанный   выше   вывод   о причине возникновения индукционного тока. 53 характеризующих магнитное поле,   Далее перед Фарадеем встал вопрос – изменение какой из двух величин,  , определяет индукционный ток? H   или   B Ведь   в  переменном   магнитном   поле  и   ,  и   B    изменяются.  Заметим,  что   в H рассмотренных нами опытах Фарадея относительная магнитная проницаемость  материала сердечников катушек (дерево и воздух) практически не отличалась от единицы.  Ответ и на этот вопрос был дан Фарадеем на основании опытов. Мы знаем, что для магнитного поля в однородной и изотропной среде верна формула   B 0 ,   H причем напряженность      не зависит от свойств среды, в которой создается H магнитное   поле   тока.   Наоборот,     прямо   пропорционально   относительной B магнитной проницаемости среды.     тороидальное Фарадей  провел   следующий  опыт. На деревянное кольцо наматывались   две   обмотки.   Одна   из   них через ключ  К  была присоединена к батарее Б, а другая – замкнута на гальванометр  G. При   замыкании   и   размыкании   ключа  К  в цепи гальванометра возникал кратковременный индукционный ток. О силе этого тока   можно   было   приближенно   судить   по   показанию   гальванометра.   Затем деревянный   сердечник   тороида   заменялся   таким   же   по   размерам   железным: было замечено, что при прочих равных условиях индукционный ток возрастал. Этот   опыт   доказывал,   что   в   явлении   возникновения   индукционного   тока основную   роль   играла   магнитная   индукция,   а   не   напряженность   магнитного поля. Открытое   Фарадеем   явление   получило   название   электромагнитной индукции. 7.2. Магнитный поток. Прежде чем двигаться дальше, введем понятие магнитного потока.  54 Рассмотрим   сначала   плоскую   площадку  S,   находящуюся   в   однородном магнитном поле с индукцией  В. Магнитным потоком   или   потоком   вектора   магнитной индукции   сквозь   площадку  S  называют величину  BS ,  cos где    –   угол   между   направлением   нормали     к   площадке   и   направлением n индукции  . Магнитный поток есть скалярная величина, равная полному числу B линий магнитной индукции, проходящих через данную поверхность.  Магнитный   поток   характеризуется   не   только   своей   величиной,   но   и знаком, который зависит от того, какой знак имеет cos. Этот знак зависит от .   Во   всех   электромагнитных выбора   положительного   направления   нормали   n явлениях всегда приходится рассматривать магнитный поток в связи с током, обтекающим контур, ограничивающий рассматриваемую поверхность. Поэтому положительное направление нормали естественно связать с направлением этого тока.   Мы   будем   везде   считать,   что   положительное   направление   нормали   к площадке совпадает с направлением перемещения буравчика с правой нарезкой, вращаемого в направлении тока. Отсюда, в частности, следует, что магнитный поток,   создаваемый   каким­либо   проволочным   контуром   с   током,   сквозь поверхность, ограниченную им самим, всегда положителен. Если   магнитное   поле   неоднородно,   а   рассматриваемая   поверхность   не плоская,   то   ее   можно   разбить   на   бесконечно   малые   элементы  dS.   Каждый элемент   поверхности   можно   рассматривать   как   плоскую   площадку,   а   любое поле   на   протяжении   этого   элемента   –   как   однородное.   Поэтому   магнитный поток через элемент поверхности есть d  BdS , cos а полный магнитный поток через всю поверхность B cos dS  S . 55 Магнитный поток выражается в системе СИ в веберах (Вб). 7.3. Основной закон электромагнитной индукции. Ток   проводимости   в   замкнутой   цепи   может   возникнуть   только   под действием   стороннего   электрического   поля.   Следовательно,   в   замкнутом контуре,   находящемся   в   переменном   магнитном   поле,   появляется   так называемое индуктированное электрическое поле. Энергетической мерой этого поля служит электродвижущая сила электромагнитной индукции Ei. Дальнейшие   исследования   индукционного   тока   в   контурах   различной формы и размеров показали, что ЭДС электромагнитной индукции Ei  в контуре пропорциональна скорости изменения магнитного потока  сквозь поверхность, натянутую на этот контур (закон Фарадея): Ei  . ~ d dt Профессор Петербургского университета Ленц исследовал связь между направлением   индукционного   тока   и   характером   вызвавшего   его   изменения магнитного   потока.   Он   установил   следующее   правило   (правило   Ленца):   при всяком   изменении   магнитного   потока   сквозь   поверхность,   натянутую   на замкнутый   контур,   в   последнем   возникает   индукционный   ток   такого направления, что его магнитное поле противодействует изменению магнитного потока. Интересной   иллюстрацией   закона   Ленца   служит   следующий   опыт.   На вертикальный железный сердечник катушки с большим числом витков провода свободно   надето   алюминиевое   кольцо  А.   Катушку   можно   включить   в   цепь аккумуляторной батареи Б с помощью ключа К. При замыкании цепи катушки кольцо подскакивает вверх и падает на стол рядом с ней. Чтобы вновь надеть это   кольцо   на   сердечник   катушки,   находящейся   под   током,   требуется приложить некоторое усилие. В момент выключения тока кольцо, надетое на сердечник,   прижимается   к   катушке.   Такое   поведение   кольца   объясняется возникновением в нем индукционного тока. Если ток в катушке отсутствует, то магнитный поток сквозь поверхность, ограниченную кольцом (магнитный поток, сцепленный с кольцом), равен нулю. При замыкании цепи катушки магнитный поток,   сцепленный   с   кольцом,   резко   возрастает.   В   кольце   возникает индукционный ток, магнитное поле которого, согласно закону Ленца, должно быть   противоположно   по   направлению   магнитному   полю   тока   в   катушке. 56 Поэтому индукционный ток в кольце направлен противоположно току в витках катушки.   Между   такими   токами   действует   сила   взаимного   отталкивания,   и кольцо подбрасывается вверх. При размыкании цепи катушки магнитный поток, сцепленный   с   кольцом,   быстро   уменьшается.   Теперь   в   кольце   возникает индукционный ток, совпадающий по направлению с током в катушке. Поэтому кольцо притягивается к ней.  Направления индукционного тока Ii  при   увеличении   и   уменьшении магнитного   потока,   сцепленного   с кольцом, показаны на рисунке. считать   ЭДС электромагнитной   индукции   в   контуре положительной, если магнитный момент   соответствующего ей индукционного mp Условимся   тока   образует   острый   угол   с   линиями магнитной   индукции   того   поля,   которое   наводит   этот   ток.   Тогда   в   случае, изображенном на рисунке а, Ei < 0, а в случае показанном на рисунке б, Ei > 0.  Объединяя закон Фарадея и правило Ленца, получим формулу Ei  ,  d dt являющуюся математическим выражением основного закона электромагнитной индукции:   электродвижущая   сила   электромагнитной   индукции   в   замкнутом контуре   численно   равна   и   противоположна   по знаку   скорости   изменения   магнитного   потока сквозь поверхность, натянутую на контур. Вопросы для самоконтроля: 1. В чем состоит явление электромагнитной индукции? Опишите опыты Фарадея. 2.   Как   должен   двигаться   замкнутый проводящий контур в однородном магнитном поле, не зависящем от времени, поступательно или вращательно, чтобы в нем возник индукционный ток? 3. Что называется магнитным потоком? 57 4. Сформулируйте закон Фарадея и правило Ленца для электромагнитной индукции. Проиллюстрируйте их примерами.  5. Как определяется направление индукционного тока? 6. Сформулируйте основной закон электромагнитной индукции. Лекция № 8. Самоиндукция. Индуктивность Цель: рассмотреть явление самоиндукции, его законы и применения. Основные понятия: Самоиндукция – это явление возникновения ЭДС индукции в проводящем контуре при изменении протекающего через контур тока. Индуктивность – параметр электрической цепи, определяющий величину ЭДС самоиндукции, наводимой в цепи при изменении протекающего по ней тока и   (или)   при   её   деформации;   коэффициент   пропорциональности   между электрическим током, текущим в каком­либо замкнутом контуре, и магнитным потоком, создаваемым этим током через поверхность, краем которой является этот контур. 8.1. Явление самоиндукции. Электрический ток I, текущий в любом контуре, создает пронизывающий этот контур магнитный поток Ф. При изменениях I  будет изменяться также W и, следовательно, в контуре будет индуцироваться ЭДС. Это явление называется самоиндукцией. В соответствии с законом Био – Савара – Лапласа магнитная индукция В пропорциональна силе тока, вызвавшего поле. Отсюда вытекает, что ток в контуре I  и создаваемый им полный магнитный поток через контур Ф друг другу пропорциональны:  Ф = LI. Коэффициент   пропорциональности  L  между   силой   тока   и   полным магнитным потоком называется индуктивностью контура.  Линейная   зависимость   Ф   от  I  имеет   место   лишь   в   том   случае,   если относительная магнитная проницаемость , среды, которой окружен контур, не зависит   от   напряженности   поля  H,   т.   е.   в   отсутствие   ферромагнетиков.   В противном случае    является сложной функцией от  I  (через  H), и, поскольку   также   будет   довольно   сложной.   Однако ,   зависимость   Ф   от  I  B 0 H 58 распространяют   и   на   этот   случай,   считая последнее   соотношение   индуктивность  L  функцией от  I. При неизменной силе тока  I  полный поток Ф может изменяться за счет изменений формы и размеров контура.  Из сказанного следует, что индуктивность L зависит от геометрии контура (т. е. его формы и размеров) и от магнитных свойств (от ) окружающей контур среды.  Если   контур   жесткий   и   поблизости   от   него   нет   ферромагнетиков, индуктивность L будет постоянной величиной.  За   единицу   индуктивности   в   СИ   принимается   индуктивность   такого проводника, у которого при силе тока в нем в 1 А возникает полный поток Ф, равный 1 Вб. Эту единицу называют генри (Гн). Вычислим   индуктивность   соленоида.   Возьмем   соленоид   такой   длины, чтобы его можно было практически считать бесконечным. При протекании по нему   тока  I  внутри   соленоида   возбуждается   однородное   поле,   магнитная . Поток через каждый из витков будет BS, а индукция которого равна  B 0 nI полный магнитный поток, сцепленный с соленоидом, равен   NBS  nlBS 0 n 2 lSI , где l – длина соленоида (которая предполагается очень большой), S – площадь поперечного сечения, n – число витков на единицу длины (произведение nl дает полное число витков N).  Тогда для индуктивности очень длинного соленоида получим следующее выражение:  L   0 2 lSn   0 2 Vn ,  где V = lS – объем соленоида. Заменив n через N/l получим  L 0 . 2 N l S При изменениях силы тока в контуре возникает ЭДС самоиндукции  Es  , равная 59 Es    d dt  d   LI dt     L dI dt  I dL dt    . Если  L  при   изменениях   силы   тока   остается   постоянной   (что,   как   уже отмечалось, возможно лишь при отсутствии ферромагнетиков), выражение для Es  имеет вид Es  L . dI dt Данное соотношение дает возможность определить индуктивность  L  как коэффициент   пропорциональности   между   скоростью   изменения   силы   тока   в контуре   и   возникающей   вследствие   этого   ЭДС   самоиндукции.   Однако   такое определение правильно лишь в случае, когда L = const. В этом случае изменение силы   тока   со   скоростью   1   А/сек   в   проводнике   с  L  =   1   Гн   приводит   к возникновению Es = 1 В. Остановимся на интересном примере, иллюстрирующем явление самоиндукции. 8.2. Ток при замыкании и размыкании цепи. По правилу Ленца дополнительные токи, возникающие проводниках   вследствие   самоиндукции,   всегда   направлены так, чтобы воспрепятствовать изменениям тока, текущего в цепи.   Это   приводит   к   тому,   что   установление   тока   при   замыкании   цепи   и убывание тока при размыкании цепи происходит не мгновенно, а постепенно.  в Найдем сначала характер изменения тока при размыкании цепи. Пусть в цепь   с   не   зависящей   от  I  индуктивностью  L  и   сопротивлением  R  включен источник  I0 = E / R (сопротивление источника тока считаем пренебрежимо малым). В момент времени t = 0 отключим источник тока, замкнув одновременно цепь накоротко переключателем П. Как только сила тока в цепи станет убывать, возникнет   ЭДС   самоиндукции.   Следовательно,   после   отключения   источника ЭДС   сила   тока   в   цепи   будет   в   соответствию   с   законом   Ома   удовлетворять уравнению 60 IR = Es  L . dI dt Перепишем это выражение следующим образом: . dI dt R  I L 0 Решение   этого   уравнения имеет вид , R L t  0 eI I где  I  0I  в момент времени  . t  0t Итак, после отключения источника ЭДС сила тока в цепи не обращается мгновенно   в   нуль,   а   убывает   по   экспоненциальному   закону   и  чем   больше , т. е. чем больше сопротивление цепи и меньше ее индуктивность, отношение  R L тем быстрее происходит убывание тока. Теперь   рассмотрим   случай   замыкания   цепи.   После   подключения   к источнику тока, до тех пор, пока сила тока не примет установившегося значения I0 = E / R, в цепи кроме ЭДС  E  будет действовать ЭДС Es  самоиндукции.  Следовательно, в соответствии с законом Ома можно написать, что IR = E +Es = E  . L dI dt Преобразуем   это уравнение к следующему виду:  E / L.  dI dt R  I L Решение этого уравнения имеет вид 61 I  I R L t  e    10  ,    где  0I  в момент времени  . t  0t Итак,   при   включении   источника   ЭДС   сила   тока   в   цепи   не   возрастает ,   а   растет   по   экспоненциальному   закону   и  чем мгновенно   до   значения   I  0I больше   отношение   R L ,   т.   е.   чем   больше   сопротивление   цепи   и   меньше   ее индуктивность, тем круче происходит нарастание тока. Из сказанного следует важный практический вывод: контур, содержащий индуктивность,   нельзя   резко   размыкать.   Если   он   рассчитан   на   рабочее напряжение E, то при резком размыкании возникающие в нем большие Es могут привести к пробою изоляции и порче электроприборов. Сопротивление в такой контур   надо   вводить   постепенно,  с   тем   чтобы  Es  не   превысила   дозволенных значений. Опасным может быть и резкое включение  E, что может вызвать на отдельных участках контура недопустимо большие Es. Вопросы для самоконтроля: 1. В чем состоит явление самоиндукции?  2. Что называется индуктивностью проводящего контура?  3. От чего зависят индуктивность проводящего контура и каков ее  физический смысл? 4. Напишите выражение для ЭДС самоиндукции.  5. Приведите пример, иллюстрирующий явление самоиндукции. Лекция № 9. Энергия магнитного поля Цель:  определить   энергию   различных   магнитных   систем,   определить энергию и плотность энергии магнитного поля. Основные понятия: Однородное   магнитное   поле  –  поле,   в   котором   магнитная   индукция 62 одинакова по модулю и направлению в любой точке пространства. Плотность   энергии   магнитного   поля  –   количество   энергии приходящееся на единицу объема, заполняемого полем. Взаимная индукция – возникновение ЭДС индукции в одном проводнике  вследствие изменения силы тока в другом проводнике или вследствие изменения взаимного расположения проводников. Взаимная индуктивность – физическая величина, характеризующая  магнитную связь электрических контуров и равная отношению потока  магнитной индукции, пронизывающего площадь, ограниченную первым  контуром, к силе тока во втором контуре, создающем этот поток индукции. Рассмотрим цепь, изображенную на рисунке. Сначала замкнем соленоид L на батарею  E  ; в нем установится ток  I, который обусловит магнитное поле, сцепленное   с   витками   соленоида.   Если,   отключив соленоид   от   батареи,   замкнуть   его   через сопротивление  R,   то   в   образовавшейся   цепи   будет некоторое   время   течь   постепенно   убывающий   ток, подчиняющийся закону Ома для полной цепи  I = Es /R  где  Es    –  ЭДС самоиндукции (предполагаем, L dI dt что   проводники   с   током   находятся   в   неферромагнитной   однородной   и изотропной среде, сопротивлением соленоида пренебрегаем). Таким образом Es = IR. Умножим обе части данного выражения на Idt: Es Idt = I2Rdt. Правая   часть   равенства   представляет   собой   количество   теплоты, выделяемое в проводнике при протекании в нем тока. Левая часть данного равенства представляет собой работу, совершаемую током за время dt, обусловленную индукционными явлениями, и равную . dA  L dI dt Idt  LIdI 63 Проинтегрировав   это   выражение   по  I  в   пределах   от   первоначального значения I до нуля, получим работу, совершаемую в цепи за все время, в течение которого происходит исчезновение магнитного поля: A   LIdI 0 I .  2 LI 2 Данная работа идет на приращение внутренней энергии проводников, т. е. на   их   нагревание.   Совершение   этой   работы   сопровождается   исчезновением магнитного поля, которое первоначально существовало в окружающем соленоид пространстве.   Поскольку   никаких   других   изменений   в   окружающих электрическую цепь телах не происходит, остается заключить, что магнитное поле является носителем энергии, за счет которой и совершается данная работа. Таким образом, мы приходим к выводу, что проводник с индуктивностью L, по которому течет ток I, обладает энергией , W  2LI 2 которая локализована в возбуждаемом током магнитном поле. Выразим энергию магнитного поля через величины, характеризующие само поле. В случае бесконечного соленоида L 0 2 Vn ,  , B 0 nI откуда . I  B 0 n Подставляя   эти   значения  L  и  I  в   выражение   для   энергии   и   производя преобразования, получим W  2 B  2 0 V  2  H 0 2 V с учетом того, что  B 0 H , . Магнитное поле бесконечно длинного соленоида однородно и отлично от 64 нуля только внутри соленоида. Следовательно, энергия заключена в пределах соленоида и распределена по его объему с постоянной плотностью w, которую можно получить, разделив W на V. Произведя это деление, получим  . w  2 B  2 0  2  H 0 2  BH 2 Полученное   выражение   для   плотности   энергии   магнитного   поля   имеет вид, аналогичный выражению для плотности энергии электрического поля, с тем лишь отличием, что электрические величины в нем заменены соответствующими магнитными. Если магнитное поле неоднородно, то его можно разбить на бесконечно малые   элементы   объема  dV,   в   каждом   из   которых   поле   можно   считать однородным. Энергия, заключенная в элементе объема  dV, есть  wdV. Полная энергия любого магнитного поля равна  ,   W  wdV V где   интегрирование   распространяется   на   весь   объем  V,   занятый   магнитным полем. Найдем теперь энергию магнитного поля, создаваемого двумя контурами 1 и 2, расположенными друг относительно друга   не   очень   далеко.   Если   в   первом контуре течет ток силы I1, он создает через другой контур пропорциональный I1 поток IL 21 2 1 (поле,   создающее   этот   поток,   изображено на рисунке сплошными линиями).  При изменениях тока I1 во втором контуре индуцируется ЭДС Ei2   L 21 dI 1 dt Аналогично, при протекании во втором контуре тока силы  I2  возникает связанный с первым контуром поток    IL 12 1 2 65 (поле, создающее этот поток, изображено пунктирными линиями).  При изменениях тока I2 в контуре 1 индуцируется ЭДС Ei1   L 12 dI 2 dt Контуры 1 и 2 называются связанными, а явление возникновения ЭДС в одном из контуров при изменениях силы тока в другом называется взаимной индукцией.  Коэффициенты   пропорциональности  L12  и  L21  называются   взаимной индуктивностью (или коэффициентом взаимной индукции) контуров.  Эти коэффициенты всегда равны друг другу:  L12 = L21.  Взаимная   индуктивность  L12  зависит   от   формы,   размеров   и   взаимного расположения   контуров,   а   также   от   магнитной   проницаемости,   окружающей контуры среды. Измеряется L12 в тех же единицах, что и индуктивность L.  Вычислим   энергию   магнитного   поля,   создаваемого   обоими   контурами. Если   ток   течет   только   в   одном   из   контуров,   например   в   первом,   энергия магнитного поля равна , W  1 2 LI 1 2 а плотность энергии –  , w 1  2 1  H 0 2 где H1 – напряженность поля, создаваемого током I1. Аналогично, если ток течет только во втором контуре, энергия поля равна  , W  2 2 LI 2 2 а ее плотность   H 0 2 w 1  2 1 где Н2 – напряженность поля, создаваемого током I2. 66 В   случае,   когда   ток   в   обоих   контурах   одновременно   отличен   от   нуля, напряженность   поля   в   любой   точке   будет   согласно   принципу   суперпозиции равна     1 HHH  ,  2 так что, вообще говоря,  . 2 H  H 2 1  H 2 2 Отсюда следует, что  ,   1 www 2 и полная совместная энергия контуров W не равна сумме энергий W1 и W2. Можно показать, что выражение для энергии  W  магнитного поля имеет вид: W  2 LI 1 2  2 LI 2 2  IIL 12 21 2  IIL 12 21 2 , где первое и второе слагаемое в правой части представляют собой собственные энергии   токов,   а   третье   и   четвертое   слагаемые   –   так   называемые   взаимные энергии токов. В   общем   случае,   для   энергии  N  связанных   друг   с   другом   контуров получается аналогичное выражение  , W  N 1  ,2 ki IIL ki ik  1 где   L  ik L ki   –   взаимная   индуктивность  i­ro   и  k­ro   контуров,   a     – L  ii L i индуктивность i­ro контура. Вопросы для самоконтроля: 1. Приведите выражение для объемной плотности энергии магнитного  поля.  2. Как распределена энергия магнитного поля соленоида в пространстве? 3. В чем состоит явление взаимной индукции?  4. Напишите выражения для ЭДС взаимной индукции.  67 5. Что называется взаимной индуктивностью двух контуров? От чего она  зависит и каков ее физический смысл?  68 ЛИТЕРАТУРА 1. Бутиков Е. И., Кондратьев А. С. Физика для углубленного изучения, т. 2.  Электродинамика. Оптика. М., 2004 г. 2. Васильев А. Э. Курс общей физики. Электричество и магнетизм. СПб.,  2003 г. 3. Гершензон Е. М., Малов Н. Н., Мансуров А. Н. Электродинамика. М., 2002 г. 4. Калашников С. Г. Электричество. М., 2003 г. 5. Огурцов А. Н. Лекции по физике. Электричество. М., 2004 г. 6. Ревинская О.Г., Кравченко Н. С. Электростатическое  поле. Томск, 2014 г. 7. Дмитриева В. Ф. Физика. М., 2005 г. 69