Конспект_Обратная функция

Раздел долгосрочного плана: 10.3A Обратная функция

Школа:

Дата:

ФИО учителя:

Класс:10

Количество присутствующих:

отсутствующих:

Тема урока

Обратная функция. Правила нахождения обратной функции

Цели обучения, которые достигаются на данном уроке (ссылка на учебную программу)

МН10.7 понимает условие существования обратной функции;

МН10.8 понимает определение обратной функции;

МН10.9 находит функцию, обратную заданной;

МН10.10 знает особенность расположения графиков взаимно обратных функций.

Цели урока

Знакомство с понятием «обратная функция», условием её существования, правилами её нахождения и особенностями графиков.

Критерии успеха

Ученик достиг цели, если:

- понимает что такое обратная функция;

- определяет, обратима ли функция;

- находит функцию, обратную данной, используя правила её нахождения;

- знает особенности графиков взаимообратных функций.

Языковые цели

Учащиеся умеют спрашивать об уточнении терминов, концепций и операций, которые они не понимают.

Предметная лексика и терминология:

·      Обратная/простая/квадратичная/тригонометрическая положительная/отрицательная функция;

·      таблица значений, кривая, график функции, графическое положение осей х/у, скобки;

·      полуплоскости/четверти, симметрия/симметричный;

·      вертикальные/горизонтальные асимптоты;

·      секанс, косеканс, котангенс;

·      гипербола, область определения

Серия полезных фраз для диалога/письма:

·       Вы не могли бы снова это объяснить, пожалуйста?

·       Вы не покажете мне снова?

·       Почему ты делаешь/сделал это?

·       Как ты это делаешь/сделал?

·       Как ты получил тот ответ?

·       Я не услышал/понял объяснение.

·       Что значит х?

·       Какой первый/следующий/последний шаг?

·       Каков может быть результат?

·       Какая разница между х и у?

Привитие ценностей

Академическая честность, ответственное отношение к своим обязанностям в коллективе, терпимое отношение к мнению коллектива, толерантность.

Знание и понимание ГГ: устойчивое развитие, социальная справедливость и равенство.

Ценности ГГ: целенаправленное участие и вовлеченность.

Навыки ГГ: критическое и творческое мышление, уверенность в себе и навыки рефлексии, общение.

Межпредметные связи

Биология, физика, химия, экономика, статистика.

Навыки использования ИКТ

Использование возможностей интерактивной доски, прикладных программ для построения графиков взаимообратных функций.

Предварительные знания

Свойства функций: область определения, область значений, монотонность, симметричность графиков.

Ход урока

Запланиро-ванные этапы урока

Запланированная деятельность на уроке

Ресурсы

Начало урока

5 мин

Повторение

Учитель:

– Что такое «функция», «функциональная зависимость»?

– Какие функции называются монотонными?

– Какие виды монотонности функций существуют?

– Что такое область определения функции? Приведите примеры.

– Что такое область значений функции? Приведите примеры.

Совместное определение целей урока.

Середина урока

25 мин

33 мин

15 мин

Изучение нового материала

В европейских и американских учебниках функцию принято записывать в виде упорядоченных пар, состоящих из значений аргумента и соответствующего ему значения функции, например:

f(x)=x+4 : {(1; 5), (2; 6), (3; 7), (4; 8)}.

Если поменять местами абсциссу и ординату в каждой упорядоченной паре, то мы получим обратную функцию, которая обозначается следующим образом:  (это не значит, что мы будем находить ): =x–4: {(5; 1), (6; 2), (7; 3), (8;3)}.

Обратите внимание, что область определения функции f(x)является областью значений функции  и наоборот. Кроме того, выполняется следующее тождество:

Таким образом:

Пример 1: Найдите функцию, обратную функции f(x)=4x, проверьте, выполняются ли тождества  и.

Пример 2: Найдите функцию, обратную функции f(x)=x–6, проверьте, выполняются ли тождества  и.

Таблица значений может помочь вам понять определение обратной функции:

В таблице слева каждое значение функции на 6 меньше соответствующего значения аргумента, а в таблице справа – на 6 больше.

Определение: Заданы две функции fи g.

Если f(g(x))=xдля каждого значения xиз области определения функции gи g(f(x))=xдля каждого значения xиз области определения функцииf, то функцияgявляется обратной для функции f, обозначается следующим образом:.

Таким образом,и.Область определения функции fявляется областью значений функциии область значений функции fявляется областью определения функции .

Функции fи gназывают взаимообратными функциями.

Пример 3: Покажите, что функции взаимообратныи.

Пример 4: Какая из функций является обратной для функции ?

или?

Т.о. функция hявляется обратной для функции f.

Графики функцииf(х)и её обратной функции связаны друг с другом вследующим образом. Если точка (a; b)лежит на графикеf(х), то точка(b; a)должна лежать на графике и наоборот. Это означает, что график являетсясимметричным относительно прямой у=х.

Пример 5: Убедитесь в том, что функции из примера 3 являются взаимообратными аналитически и графически.

Рассмотрим функцию f(х)=х², зададим её с помощью таблицы значений, затем поменяем местами значения аргумента и значения функции:

Вторая таблица не задаёт функцию, т.к. одному и тому же значению аргумента (х=4) соответствует два различных значения функции, это противоречит определению функции.Т.о. для того, чтобы функция имела обратную функцию, она должна быть монотонна (т.е. строго убывающей или строго возрастающей).

Теорема: Если функция f(х) монотонна на всей свой области определения, то она обратима (имеет обратную функцию).

Это легко проверить на графике функции («тест горизонтальной прямой»). Необходимо провести прямую, параллельную оси абсцисс, если она пересекает график функции не более, чем в одной точке, тогда функция является монотонной, а значит и обратимой (это условие должно выполняться для каждой прямой, параллельной оси абсцисс).

Пример 6: Определите, является ли функция обратимой.

Правила нахождения обратной функции

1.по графику определитьс помощью «теста горизонтальной прямой» является ли функция монотонной.

2. В уравнении f(х) заменитьf(х) на у.

3. В полученном уравнении заменить х на у, а у на х и выразить у.

4. В новом уравнении заменить у на .

5. Убедиться, что функции f(х) и  взаимообратны. Т.е. область определения функции fявляется областью значений функциии область значений функции fявляется областью определения функции  ии.

Если функция не является обратимой на всей свой области определения, то можно разбить её область определения на части, где она будет строго монотонна и искать обратную функцию для каждого из этих интервалов.

Пример 7: Найдите функцию, обратную функции

Пример 8: Найдите, функцию, обратную функции у=х³–4, постройте графики этих функций в одной координатной плоскости.

Пример 9: Найдите, функцию, обратную функции у=, постройте графики этих функций в одной координатной плоскости.

Закрепление изученного материала

1. Найдите обратную функцию

2. Определите, являются ли функции взаимообратными

3. Постройте график обратной функции

ФО (цель МН10.9)

Виртуальные ресурсы из

Учебного плана«Математика, 10 класс, Версия 3 Июль 2015»:

http://www.mathsisFun.com/sets/Function-reciprocal.html,

http://www.waldomaths.com/Recip1NLW.jsp,

http://www.bbc.co.uk/schools/gcsebitesize/maths/algebra/Furthergraphhirev2.shtml

Конец урока

2 мин

Рефлексия:

Домашнее задание:

1. Найдите обратную функцию

2. Определите, являются ли функции взаимообратными

3.Постройте график обратной функции

Дифференциация – каким образом Вы планируете оказать больше поддержки? Какие задачи Вы планируете поставить перед более способными учащимися?

Оценивание – как Вы планируете проверить уровень усвоения материала учащимися?

Здоровье и соблюдение техники безопас-ности

Дифференциация может быть выражена в подборе заданий, в ожидаемом результате от конкретного ученика, в оказании индивидуальной поддержки учащемуся, в подборе учебного материала и ресурсов с учетом индивидуальных способностей учащихся (Теория множественного интеллекта по Гарднеру).

Дифференциация может быть использована на любом этапе урока с учетом рационального использования времени.

Используйте данный раздел для записи методов, которые Вы будете использовать для оценивания того, чему учащиеся научились во время урока.

Здоровьесберегающие технологии.

Используемые физминутки и активные виды деятельности.

Пункты, применяемые из Правил техники безопасности на данном уроке.

Рефлексия по уроку

Были ли цели урока/цели обучения реалистичными?

Все ли учащиеся достигли ЦО?

Если нет, то почему?

Правильно ли проведена дифференциация на уроке?

Выдержаны ли были временные этапы урока?

Какие отступления были от плана урока и почему?

Используйте данный раздел для размышлений об уроке. Ответьте на самые важные вопросы о Вашем уроке из левой колонки. 

Общая оценка

Какие два аспекта урока прошли хорошо (подумайте как о преподавании, так и об обучении)?

1:

2:

Что могло бы способствовать улучшению урока (подумайте как о преподавании, так и об обучении)?

1:

2:

Что я выявил(а) за время урока о классе или достижениях/трудностях отдельных учеников, на что необходимо обратить внимание на последующих уроках?