ЮЛ. ДуДницын

ВЛ. Кронгауз Контрольные работы по геометрии

К учебнику Л.С. Атанасяна и др. «Геометрия. 10—11 классы»

класс

ЭКЗАМЕН

Учебно-методический комплект

Ю.П, Дудницын ВОЛ, Кронгауз

Контрольные работы по геометрии

К учебнику Лос. Атанасяна,

 В.Ф. Бутузова, с.Б. Кадомцева и др.

 «Геометрия, 10—11»  (М.: Просвещение)

 класс

Рекомендовано

Российской Академией Образования

ИзДание второе, стереотипное

Издательство «ЭКЗАМЕН» москвА 2009

уды-

ББК 74.262.22 я72 дм

Изображение учебного издания «Геометрия, 10—1 1: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, СБ. Кадомпев и др.]. — М.: Просвещение» приведено на обложке даннот издапИЯ исключительно в качестве иллюстративного материала (ст. 1274

          п. I части четвертой Гражданского кодекса Российской Федерации).

Дудницын, ЮЛ.

дм Контрольные работы по геометрии: 10 класс: к учебнику Л.С. Атанасяна, ВО. Бутузова, СБ. Кадомцева и др. «Гес метрия, 10—1 1» / Ю.П. Дудницын, В.Л. Кронгауз. 2-е изд., стереотип. — М.: Издательство «Экзамен», 200. 62, [2] с. (Серия «Учебно-методический комплект»)

(SB.N 978-5-37742207-7

Пособие предназначено учителям математики старших классов. которые ведут преподавание курса геометрии по учебнику Л.С. Атанасяна «Геометрия, 10—1 1» издательства «Просвещение».

В пособии приведены тематичестй план и комплект контрольны.х работ на весь учебный год. Все работы даются в четырех равноценных вариантах, к которым приведены отвеян.

В разделе «К учителю» даны подробные рекомендации по оцениванию качества выполнения контрольных работ и по эффективному использованию материалов раздела «Задания к темамчесшм зачетам», включающего основные теоремы курса и зада^ки к (№новным темам курса.

удк

ББК 74.262.22 „72

Формат 84х108.32. Гарнитура «Таймс». Бумага газетная.

Уч.-изд. л. 1,36. Усл. веч. л. 3,36. Тираж 7 000 экз. Заказ № 6148<2)

ISBN 978-5-37'-0220'-7 С щ•дницын. Ю.П., Кронгауз В.Л., 2009

С Издательство «ЭКЗАМЕН», 2009

                             Содержание

 К учителю

1. Материалы к учебнику «Геометрия 10 — 11»

Л.С. Атанасяна и др

Примерное поурочное планирование

Тематика контрольных работ

Контрольная работа № 1

Контрольная работа № 2. Контрольная работа № З

Контрольная работа № 4. Контрольная работа № 5. Контрольная работа № 6.

Ответы к контрольным работам

П. Задания к тематическим зачетам

1.         Вопросы (формулировки определений).......................,... З

2.         Теоремы (формулировки и краткие доказательства) З. Задачи

1. Аксиомы стереометрии ......................... ..

2. Параллельность прямых в пространстве З. Параллельность прямой и плоскости

4.     Параллельность плоскостей....................... ...е... .

5.     Перпендикуляр и наклонные

6.     Свойства точки, равноудаленной от вершин многоугольника Содержание

7.     Перпендикулярность прямой и плоскости ...................46

8.     Свойства точки, равноудаленной от сторон многоугольника.............,............ . .

9.     Угол межш прямой и плоскостью................................5О

10. Перпендикулярность плоскостей52

1 1. Угол между плоскостями54

12. Декартовы координаты в пространстве.....................,56 •

      Ответы.................................... . . .           . . ..........................57

К учителю

Уважаемые коллеги!

Предлагаемое пособие содержит материалы, которые, как показывает многолетний опыт, целесообразно иметь учителю, ведущему обучение десятиклассников по учебнику «Геометрия 10 — 1 1» Л.С. Атанасяна и др. Прежде всего — это поурочное планирование изучения материала, соответствующее учебному плану, по которому работает конкретная школа. Вторая проблема, возникающая перед молодыми учителями, — это осуществление контроля за уровнем знаний десятиклассников. Поэтому мы предлагаем в пособии комплект контрольных работ на весь учебный год. Их содержание полностью соответствует требованиям обязательной подготовки десятиклассников, которые предусмотрены в образовательных стандартах по математике. В контрольных работах реализуются научная и методическая концепции указанного выше учебника.

Авторы пособия предлагают два варианта поурочного планирования к учебнику. Первый — «Вариант А». Он рассчитан на 2 учебных часа в неделю. Его использует большинство средних школ с учебным планом, предусматривающим 5 или 6 учебных часов в неделю на изучение курсов крометрии и алгебры и начал анализа. Второй — «Вариант Б». Он предназначен для тех школ, в которых предусматривается изучение курса математики на базовом уровне (при последовательном рассмотрении разделов из . учебников

«Геометрия 10 — 1» и «Алгебра и начала анализа 10 - I и выделяются 3 или 4 часа в неделю. В пособии мы предлагаем «Вариант Б», рассчитанный на 1,5 часа в неделю.

После поурочного планирования в материалах к каждому учебнику приводится таблица с указанием тематики контрольных работ и временем, выделяемым на проведение каждой из них.

Далее предлагается полный комплект контрольных работ, в котором каждая работа приведена в 4 равноценных по трудности вариантах.

Первая часть каждой работы, отмеченная значком А, содержит материал, соответствующий базовому уровню подготовки десятиклассников по геометрии. Все ученики должны уметь верно выполнять задания этой части. Здесь проверяется усвоение минимального содержания определенной темы, без которого ученик не может успешно усваивать следующие разделы курса геометрии. Например, в первых заданиях контрольных работ № 1 и № 2 проверяется умение десятиклассников правильно изображать простейшие фигуры в пространстве, отражать на чертеже их взаимосвязи, указанные в условии задачи. Вторым шагом выполнения этих заданий является установление соответствующих свойств элементов построенного чертежа и обоснование (доказательство) их логическим путем, ссылкой на нужные элементы теории.

Вторая часть контрольной работ обозначена значком Она состоит из более сложных заданий, выполнение их проводится; как правило, в 2 — 4 этапа. Подобные задания подробно рассматриваются в учебнике и отрабатываются в классе под руководством учителя. Для их выполнения не требуется дополнительных знаний, выходящих за пределы программы. Этот материал должен быть хорошо знаком десятиклассникам.

6

учителю

Последняя часть контрольной работы выделена значком • . Эти задания позволяют ученикам проявить высокий уровень знаний, логического мышления, интерес к предмету, способность применить знания в нестандартной ситуации.

Однако и эти задания не предполагают знания какихлибо дополнительных разделов геометрии. Они так же, как и все wra.JIbHbre, проверяют уровень владения программным материалом.

Офащаем внимание учителя на большое число заданий во многих контрольных работах. Десятиклассники успешно справляются с ними, если учитель не увлекаися требованиями шасьменного оформления всех рассуждений, т. е. не требует так «сочинений на геоме№ическую тему». Навыки грамотного, последоварльного обоснования соответствующих выводов форирукпся постепенно тишь к началу•или середине обучения геометрии в 1 классе. В первом полугодии обучения в 10 классе основное внимание необходимо уделить формированию умения выполнять грамотно чертеж, который условию задачи и является наглядным изображением соотношений между фигурами. Наприер, в контрольной рботе № 1 при вьшолнении заряия 2 ученик дояжен .№ть ответ (оиосложный) и бтательно изобразить требуемую конфигурацию. Только в этом случае задание считвтся выполненным полностью.

Следует обратить внимание и на то, что требования, связанные с Основаниями (доказательствами) тех или иных фактов, если они выполняются в несколько этапов, вынесены в ряде контрольных работ в самый конец, т. е. в часть, отмеченную . Этим авторы еще раз подчеркивают, что наличие умения проводить рассуждения дедуктивным методом свидетельствует о высоком уровне развития десятиклассника, о высоком качестве его знатй.

При верном выполнении всех заданий контрольной работы выставляем отметку «5». Если десятиклассники успешно справились со всеми заданиями первой и второй частей работы, а к выполнению последней не приступали или допустили ошибку, которая не привела к принципиально неверному решению, выставляем отметку «4». За безошибочное выполнение всех заданий первой части контрольной работы, даже при наличии ошибок в решениях заданий второй и третьей частей или отсутствии этих решений, выставляем отметку «З» или «зачет», которые свидетельствуют, что обязательное минимальное содержание данной темы курса десятиклассник усвоил. Еще раз подчеркнем, что любая из перечисленных отметок может быть выставлена при условии верного выполнения всех заданий первой части работы.

Десятиклассникам, которые допускают ошибки при выполнении заданий первой части работы и не получают отметку «3» или «зачет», учитель может дать возможность после выполнения работы над допущенными ошибками вторично выполнить задание, аналогичное тому, где допущена ошибка. Для этого удобно использовать соответствующие задания других трех вариантов контрольной работы. При таком подходе ученики более ответственно относятся к выполнению работы над ошибками, и она становится более целенаправленной.

В классах, где изучается предмет «Математика» на базовом уровне и выделено в .неделю З — 4 учебных часа, целесообразно сократить объем большинства контрольных работ, исключив задание, отмеченное знаком • .

Предложенная Вам система выставления отметок за выполнение контрольной работы значительно повышает информативность каждой отметки. Они более точно и определенно характеризуют уровень усвоения основных порций материала по теме каждым учеником. Содержание контрольных работ и

8

учителю

система оценивания их выполнения десятиклассниками обеспечивают благоприятную в психологическом отношении обстаноЁку во время проведения работ.

Заключительная часть пособия «Задания к тематическим зачетам» адресована учителям,. которые в своей практике успешно применяют систему зачетов в дополнение к контрольным работам для поэтапного определения уровня знаний школьников, интенсификации и повышения эффективности их занятий. Эта часть . пособия содержит три раздела: «Вопросы», «Теоремы» и «Задачи». Эти материалы используются для составления индивидуальных карточек к зачетам по основным темам программы. Первые два раздела содержат названия отдельных элементов теоретического материала. Первая группа «Вопросы (формулировки, примеры предлагается ученику, чтобы он только сформулировал соответствующее определение, свойство или привел конкретный пример, их иллюстрирующий. Вторая . группа «Теоремы» содержит перечень основных теорем, содержащихся в курсе Задание из этой группы предлагается десятикласснику для того, чтобы он воспроизвел необходимый чертеж и полное доказательство этого утверждения. Третий раздел содержит 104 задачи, которые сгруппированы по двенадцати основным темам курса.

Используя предложенные материалы, учитель имеет возможность подготовить для проведения зачета по конкретной теме необходимое количество индивищальных карточек, на которых записаны задания для каждого ученика. Форму проведения зачета (устно или письменно) определяет в каждом конкретном случае учитель. Видимо, и место зачетов в учебном процессе может быть различным в зависимости от объема темы, ее значимости во всем курсе геометрии. Многие учите— ля охотно используют зачеты, так как с -их помощью проверя-

ется формальное усвоение теории: знание формулировок определений, теорем и свойств, умение воспроизводить несложные доказательства теорем. Однако напоминаем, что в настоящее время по-прежнему основной формой контроля за уровнем знаний десятиклассников в течение всего учебного года является проведение тематических и итоговых контрольных работ.

Авторы

МАТЕРИАЛЫ УЧЕБНИКУ

«ГЕОМЕТРИЯ 10 -11» Л.С, АТАНАСЯНА И др.

Примерное поурочное планирование

       Вариант А (2 ч в неделю, всего 68 ч)         

Вариант Б (1,5 ч в неделю, всего 51 ч)

Разделы, названия которых подчеркнуты, можно не рассматривать при использовании варианта Б поурочного планировжия• (изучение геометрии на базовом уровне).

Материалы к учебнику «Геометрия 10 — 11 кл.»

12

Примерное поурочное планирование

13

Ма—иалы к учебнику «Геокрия 10 — 11 м.»

Тематика контрольных работ

Тематика контрольных работ

(5

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ

Контрольная работа № 1

Вариант 1

А 1. Даны прямая а и точка  не лежит на этой прямой. Через точку К проведены прямые т и l, пересекающие прямую а. Докажите, что прямые а, т и I лежат в одной плоскости.

 2. а) Можно ли провести через середину стороны треугольника прямую, которая не имеет общих точек с другой его стороной?

 б) Поясните ответ.       

Вариант 2

А 1 Прямая т пересекает лучи АД АС и AD в точках К, Р и Т. Докажите, что точки А, К, Р и Т лежат в одной плоско сти.

 2. а) Можно ли провести через точку пересечения диагоналей прямоугольника прямую, которая не имеет с его сторонами общих точек?

б) Поясните ответ.

16

                                                           Контрольная                  1

Точки М, 1” и Р лежат на прямой а. Точка А не лежит на этой прямой. Докажите, что точки А, М, N и Р расположены в одной плоскости.

 2. а) Можно ли провести через середину медианы треугольника прямую, которая не имеет общих точек с его сторонами?

 б) Пояснитеответ.

Вариант 4

А 1. Прямые К и I пересекаются в точке О. Прямая а пересекает их в точках Ми Р, а прямая Ь — в точках С и D. Докажите, что прямые а и Ь лежат в одной плоскости.

 2. а) Можно ли провести через середину диагонали квадрата прямую, которая не имеет общих точек с его сторонами?

      б) Поясните ответ

24148

2

А 1. Основание AD трапеции ABCD лежит в плоскости а . Вершина С не лежит в этой плоскости. Через середины боковых сторон трапеции проведена прямая т. Докажите, что прямая т параллельна плоскости а .

      2. Дан треугольник МРК. Плоскость, параллельная прямой МК, пересекает сторону МР в точке Ml, а сторону РК— в точке kl. Вычислите длину отрезка Mlkl, если МК = 27 см,

      З. Точка О не лежит в плоскости параллелограмма ABCD. Как расположены прямые АВ и р, проходящие через середины отрезков ОС и ОТ Найдите угол между прямыми р и ВС, если ZBAD = ВС .

Вариант 2

А 1. Вершины В и С треугольника АВС лежат в плоскости р . Вершина А ей не гринадлежит. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков АВ и АС, параллельна плоскости р .

 2. Дан треугольник АВС. Плоскость, параллельная прямой АС. пересекает сторону АВ в точке А], а сторону ВС — в гочке С]. Вычислите длину отрезка ВЦ, если СС] = 20 см,

      3. Точка О не принадлежит плоскости равнобедренной трапеции КМРТ (КТ МР). Как расположены прямые, одна из которых содержит среднюю линию трапеции, а другая — середины отрезков ОМ и ОР? Найдите угол между прямой МК и прямой, содержащей середины отрезков ОМ и ОР, если ZMPT = 1 10⁰ .

18

2

Точка М не принадлежит плоскости прямоугольника ABCD. Прямая а проходчит через точку М и параллельна прямой АС. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков МА и МС, параллельна плоскости прямоугольника.

 2. Дан треугольник СКР. Плоскость, параллельная прямой РК, пересекает сторону СР в точке Е, а сторону КС — в точке Е. Вычислите длину отрезка РК, если EF = 14 дм,

      3. Точка А не лежит в плоскости ромба ВОЕ. Как расположены прямая BD и прямая т, которая проходит через середины отрезков АВ и АС? Найдите угол между прямыми т и Т), если ZCDE = 120 ⁰ .

Вариант 4

А 1. Отрезок МР расположен в плоскости ос. Точка К не лежит в ней. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков АМ и АР, параллельна плоскости а.

 2. Дан треугольник EFT. Плоскость, параллельная прямой FT, пересекает сторону EF в точке D, а сторону ЕТ — в точке С. Вычислите длину отрезка CD, если FT = 24 дм,

      3. Точка М не лежит в плоскости квадрата ABCD. Как расположены прямая АС и прямая, проходящая через середины отрезков МА и МТ Найдите угол между этими прямыми.

19

З

А 1. Через точку К, лежащую между параллельными плоскостями ос и р, проведены прямые а и Ь. Первая прямая пересекает плоскости ос и в точках А) и В] соответственно, вторая — в точках „42 и В2. Вычислите длину отрезка КВ2, если AlA2 : В)В2 = З : 5, А2В2 = 16 см.

 2. Дан параллелепипед ABCDAlBIClDl. Постройте сечение этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через середину ребра АВ и параллельной плоскости АСС].

      3. Верно ли утвер*дение, что прямая, лежащая в одной из параллельных плоскостей, параллельна другой плоскости? (Ответ обоснуйте).

 Вариант 2

А •l. Луч КМ пересекает параллельные плоскости ос и р в точках Ml и М, а луч КР — в точках Ри и Р2 соответственно. Вычислите длину отрезка MlM2, если КМ] = 8 см, МС 1 : М2Р2 = 4 : 9.

 2. Дан тетраэдр ABCD. Точка М — середина ребра DC, точка К — середина ребра АД Постройте сечение тетраэдра плоскостью, содержащей точку К и параллельной плоскости АМВ.

      З. Прямые а и Ь расположены соответственно в параллельных плоскостях ое и р. Верно ли, что эти прямые не . имеют общих точек? (Ответ обоснуйте).

З

Через точку D, лежащую между параллельными плоскостями ос и р, проведены прямые т и К. Прямая т пересека ет плоскости ос и в точках м М2 соответственно, а прямая К — в точках kl и К2 соответственно. Вычислите длину отрезка Тб, если MlM2 = 20 дм, Mikl : М2К2 = З : 7.

 2. Дан параллелепипед 1VWPQMlNlPlQ1. Постройте сечение дараллелепипеда плоскостью, проходящей через середину ребра ЛТ и параллельной плоскости QNNI.

 3. В одной из параллельных плоскостей проведена прямая. Верно ли, что она параллельна второй плоскости? (Ответ обоснуйте).

Вариант 4

А 1. Луч АВ пересекает параллельные плоскости ос и р в точках Bl и В2 соответственно, а луч АС пересекает их в точках Cl и (72 соответственно. Вычислите длину отрезка се, если щ = 9 дм, ВО : ВО : 5.

 2. Дан тетраэдр МКРТ. Точка А — середина ребра МР, точка В — середина ребра РТ. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, содержащей точки А, В и параллельной плоскости МКТ.

•                                                                                                 3. Плоскости ос и р параллельны. Прямая т лежит в плоскости ос, а прямая К — в плоскости р. Верно ли, что прямые т и К не пересекаются? (Ответ обоснуйте).

•                                                                                                 4

А 1. Через середину М стороны AD квадрата ABCD проведен к его плоскости перпендикуляр МК, равный 6$ см. Сторона квадрата равна 12 см. Вычислите:

а) расстояние от точки К до прямой ВС;

б) площади треугольника АКВ и его проекции на плоскость квадрата;

 в) расстояние между прямыми АК и ВС.

•                                                                                                 2. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDAlBlClDl. АС = 13 см, DC = 5 см, АА, = 12$ см. Вычислите градусную меру двугранного угла ADCA l.

Вариант 2

А 1. Через середину Е гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС проведен к его плоскости перпендикуляр ЕМ, равный 4$ см. АВ = ВС = 16 см, ZC = 90⁰ . Вычислите:

а) расстояние от точки М до прямой АС;

б) площади треугольника АСМ и его проекции на плоскость данного треугольника;

 в) расстояние меж».' прямыми [ми ВС.

 2. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDAlBlClDl, основание которого квадрат. АС = 66 см, АД = 43 см. Вычислите градусную меру двугранного угла BlADB.

4

В прямоугольнике ABCD AD = 10 см, АВ = 12 см. Через середину К стороны ВС проведен перпендикуляр МК к его плоскости, равный 5 см. Вычислите:

а) расстояние от точки М до прямой АО,

б) площади треугольника АМВ и его проекции на плоскость данного прямоугольника;

 в) расстояние между прямыми ВМИ АД

•     2. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDAlBlClDl АС = 10 дм, DC = 6 дм, Ц =8di дм. Вычислите градусную меру двугранного угла DABDl.

Вариант 4

А 1. Через точку пересечения диагоналей квадрата MNPQ (точку О) проведен перпендикуляр 0D к его плоскости. 0D = 8 см, ЛО = 12 см. Вычислите:

      а) расстояние от точки D до грямой NP;    

 б) площади треугольника MDN и его проекции на плосквацрата;

 в) расстояние между прямыми 0D и ЛО.

•     2. Основанием прямоугольного параллелепипеда ABCDAlBlCIDl является квадрат, диагональ  равна дм. Диагональ боковой грани IEFJIJIenemmvxa равна 86 дм. Вычислите градусную меру двугранного угла ДАТ).

5

А 1. призмы ABCDAlBIClDl 10 Сторона ее основания — 12 см. Вычислите периметр сечения призмы плоскостью, содержащей прямую АВ и середину ребра СС].

2. Высота правильной треугольной пирамиды равна 6 см. Радиус окружности, описанной около ее основания, 46. Вычислите:

 а) длину бокового ребра пирамиды;

•     б) площадь боковой поверхности пирамиды.

З. Основание пирамћды MABCD — квадрат, сторона которого равна 12 см. Боковое ребро ЛО перпендикулярно плоскости основания пирамиды. Угол между плоскостями основания и грани ЛИВ равен 30⁰ . Вычислите:

а) расстояние от вершины пирамиды до прямой АС;

б) площадь полной поверхности пирамиды.

Вариант 2

А 1. Высота правильной призмы КМРК\МIР1 равна 15 см. Сторона ее основания— 8$ см. Вычислите периметр сечения призмы плоскостью, содержащей прямую PPl и середину ребра КМ.

2.      Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 8 см, сторона ее основания — 12 см. Вычислите:

а) длину бокового ребра пирамиды;

 б) площадь боковой поверхности пирамиды.            

3.      Ребро ЛИ пирамиды МОС перпен{икулярно плоскости ее основания. АВ = ВС = 18 см, ZBAC = 90⁰ . Угол между плоскостями основания и грани МВС равен 45⁰. Вычислите:

а) расстояние от вершины пирамиды до прямой ВС;

 б) площадь полной поверхности пирамиды.

5

призмы ABCDAiBIClD1 16 Сторона ее основания — 15 см. Вычислите периметр сечения призмы плоскостью, содержащей прямую AlBl и середину ребра Щ.

2. Высота правильной треугольной пирамиды равна 8 см. Радиус окружности, описанной около ее основания 8$ см. Вычислите:

а) длину бокового ребра пирамиды;

 б) площадь боковой поверхности пирамиды.

З. Основанием •пирамиды MkPNT является квадрат, сторона которого равна 24 см. Боковое ребро МК перпендикулярно плоскости основания пирамиды. М-ол между плоскостями основания и грани МТ равен 45 ⁰. Вычислите.

а) расстояние от вершины пирамиды до прямой РТ;

 б) площадь полной поверхности пирамиды.

Вариант 4

А 1. Высота правильной призмы MPk.MlPIkl равна 12 см. Сторона ее основания — 6$ см. Вычислите периметр сечения призмы плоскостью, содержащей прямую PPl и середину ребра МК.

2. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 16 см. Сторона ее основания — 24 см. Вычислите:

а) длину бокового ребра пирамиды,

• б) площадь боковой поверхности пирамиды.

 3. Ребро МС пирамиды MABCD перпендикулярно плоскости ее основания. АС = 15 см, ВС = 20 см, ZACB = 90⁰ Угол между плоскостями основания и грани МАВ равен 60⁰ Вычислите:

а) расстояние от вершины пирамиды до прямой АВ;

 б) площадь полной поверхности пирамиды.

6

1.                  треугольной пирамиды 6 Сторона ее основания — 8$ см. Вычислите длину ребра этой пирамиды.

2.                  В прямоугольном параллелепипеде ABCDAlBlC.IDl проведено сечение плоскостью, содержащей прямую ВИ) и вершину Cl. Угол между плоскостями сечения и основания равен 60⁰ . АВ = 8 см, ВС = 6 см. Вычислите площадь сечения.

 З. Через центр О квадрата ABCD проведен к его плоскости перпендикуляр КО. Угол между прямой КС и плоскостью квадрата равен 60⁰. АВ = 18 см. Вычислите угол между

плоскостями:

а) АКС и ТО; 6) АВС и ВКС.

Вариант 2

1.                  Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 16 см. Сторона основания пирамиды — 24 см. Вычислите расстояние от вершины пирамиды до:

а) сторон основания;

б) до вершин основания.

2.                  Сторона основания правильной треугольной призмы MPkMlPlkl равна 12 см. Вычислите площадь сечения призмы плоскостью МРК, если угол между плоскостями сечения и основания равен 45 ⁰ .

3.                  Через вершину D тупого угла ромба ABCD проведен к его плоскости перпендикуляр DM, равный 9,6 дм. Диагонали ромба равны 12 дм и 16 дм. Вычислите величину уг-

ла между плоскостями:

а) АВС и №юс•, 6) АВС и СВМ.

6

треугольной пирамиды равна 12 м. Радиус окружности, вписанной в основание пирамиды, равен 5' см. Вычислите расстояние от вершины пирамиды до сторон ее основания.

2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDAtBIC D проведено сечение плоскостью, содержащей прямую АС и вершину D1. Угол между плоскостями сечения и основания равен 45 ⁰ . Стороны основания параллелепипеда равны 12 щи и 16 дМ. Вычислите площадь сечения.

З. Через катет равнобедренного прямогольного треугольника проведама плоскость а- . Угол между плоскостями треугольника и ос равен 60 ⁰ . Вычислите длины проекций сторон .aarworo трчгольника на плоскость ос , если длина катета данного. треугольника равна О дм.

Вариант 4

1. Основанием четырехугольной пирамиды является прямоугольник, стороны которого равны 8 дм и 4$ дм. Боковые ребра иирамиды равны 10 дм. Выислите длину высоты данной пирамиды.

2. Сторона основания правильной треугольной призмы DCEDlClEr равна 10 дм. Вычислите площадь сечения призмы плоскостью DCE, если угол между плоскостями сечения и основания равен 30 ⁰ .

3. Сторона АС правильного треугольника АВС лежит в плоскости а . Угол между плоскостями треугольника и ос равен 60⁰ . м. Вычислите:

а) расстояние сг точки В до плоскости а ;

б) площадь проекции треугольника АВС на плоскость ос

              Ответы контрольным работам       

Контрольная работа № 1

       Вариант 1                                    Вариант 2

       2. а) Можно.                                  2. а) Можно.       

       Вариант З                                    Вариант 4

       2. а) Можно.                                 2. а) Можно.

Контрольная работа .N2 2

                           Контрольная работа № З          

       Вариант 1                                    Вариант 2

       1. 10 см. 3. Верно.                        1. 10 см. 3. Верно.

        Вариат З                                      Вариант 4

       1. 14 дм. 3. Верно.                        1. 6 дм. 3. Верно.

Контрольная работа № 4

Вариант 1

                                                                                     ² 36 см);         в) 12 см.

       1. а)           см; 6) 72 см,

28

Ответы к контрольным работам

2 а) 12 см; Вариант З

1. а) 13 см;

Вариант 4

1.  а) 10 см;

Вариант 1

1..50 см.

Контрольная работа 5

2.  а)     см; б)   см².

    З. а)              см; б) 4320+6) см².

Вариант 2

1. 54 см.

З. а) 18 см; 6) 162(l +2“) см².

Вариант З

    1. 64 см.         2. а) 16 см; 6) 14447 см².      

з. а) 1246 см, 6) 576(2+di) см².

Вариант 4

    1. 42 см.          2. а) «П см;              см².

З. а) 24 см; 6) 30(5+ 7$) см².

Ответы контрольным работам

Контрольная работа N2 6

Вариант 1

²

1. 10 см;       2. 50 см•,

Вариант 2

1. аро см; б) 4457 см;

Вариант З

²

1. 13 м; 2.              см•,

Вариант 4

1. 8 дм; 2. 12,5 дм²;

3. а) 90⁰ ; б) arctgd6 .

       2. 100,6          З. а) 90 ⁰ ; 6) 45 ⁰ .

З. 5 дм; 10 дм; 5$ дм.

З. а)9м•, 6) 186 м² .

зо

И. ЗАДАНИЯ К ТЕМАТИЧЕСКИМ ЗАЧЕТАМ

1. Вопросы (формулировки определений)

1.                   Аксиомы стереометрии.

2.                   Способы задания плоскости.

3.                   Параллельность прямых в пространстве.

4.                   Свойства параллельного проектирования.

5.                   Скрещивающиеся прямые. Угол между скрещивающимися прямыми.

6.                   Скрещивающиеся прямые. Расстояние между скрещивающимися прямыми.

7.                   Параллельность прямой и плоскости.

8.                   Угол между прямой и плоскостью.

9.                   Пфаллельность плоскостей.

1 О. Свойства параллельных плоскостей.

11. Угол между плоскостями.

12. Площадь ортогональной многоугольника.

З. Перпендикуляр и наклонная к плоскости.

14. Свойства перпендикулярных прямой и плоскости

15. Перпендикулярность прямых в пространстве.

 16. Перпендикулярность прямой и плоскости.

17.               Перпендикулярность плоскостей.

18.               Расстояние между двумя точками, заданными координатами этих точек.

19.               Координаты середины отрезка.

20.               Параллельный перенос в пространстве и его свойства.

21.               Подобие пространственных фигур и его свойства.

22.               Векторы в пространстве. Действия над векторами в пространстве.

2. Теоремы (формулировки и краткие доказательства)

1.      Существование и единственность плоскости, проходящей через данную прямую и данную точку.

2.      Теорема о прямой, имеющей с плоскостью две общие точки.

3.      Существование и единственность плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой.

4.      Существование и единственность прямой, параллельной данной прямой и проходящей через данную точку.

5.      Признак параллельности двух прямых в пространстве.

6    Признак параллельности прямой и плоскости.

7   

8.      Существование плоскости, параллельной данной шюскости.

9.      Теорема о прямых пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью.

10.  Теорема об отрезках параллельных прямых, заключенных между двумя параллельными плоскостями.

1 1. Признак перпендикулярности двух прямых в пространстве.

12 Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

13.            Теорема о плоскости, перпендикулярной одной из двух параллельных прямых.

14.            Теорема о двух прямых, перепекщикулярных плоскости.

15.            Теорема о трех перпендикулярах.

16.            Признак перпендикулярности плоскостей.

                                                 Задачи. Аксиомы стереометрии

З. Задачи

1. Аксиомы стереометрии

 1. В пересекающихся плоскостях ос и р взяты соответственно точки А и В, которые не лежат на линии их пересечения — прямой с. Точка М лежит на прямой с.

1) Постройте линию пересечения плоскостей:

а) ос и ЛИВ;

б) р и ШВ.

2) Найдите общую точку плоскостей ос, р и АВМ.

З. Через сторону АВ ромба АВО проведена плоскость ос. Точки Е, — середины сторон AD и DC.

1)     Постройте точку М — точку пересечения прямой EF и плоскости а.

2)     Вычислите расстояние от этой точки до точек А и В, есяи ВС = 12 см.

4. Через боковую сторону АВ трапеции АВО проведена плоскость ос.

1)     Пбстройте точку М — точку пересечения прямой DC и плоскости ос.

2)     Вычислите расстояние от этой точки до точек А и D, ес= 2 см, ВС = 6 см, АВ = 4 см, DC- 5 см.

S Дан куб ABCDAIBlClDl. Точка К лежит на ребре ВТ. Постройте:

1)  точку пересечения прямой А с плоскостью АВС;      

2)  точку пересечения прямой Clk с плоскостью АВС;

З) прямую, по которой пересекаются шоскости АВС и AlkCl.

6. Пршая с является линией пересечения плоскостей ос и

р. В плоскости а проведена прямая а, пересекающая с. В плоскости р взята точка В, не лежащая на прямой с.

1)      Постройте линию пересечения плоскости р с плоскостью, в которой лежат прямая а и точка В.

2)      Найдите общую точку плоскостей а, р и плоскости, в которой лежат прямая а и точка В.

7.      Вершины А, В и точка пересечения диагоналей паралле„мраммаАВС1) лежат в плоскости а, Лежат ли в этой плоскости вершины С и Т

8.      Верно ли, что любая прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей параллелограмма, имеет хотя бы одну общую точку с его стороной?

прямых в пространстве

2. Параллельность прямых в пространстве

9. Точка В отрезка АВ лежит в плоскости ос.

Через точку А проведена прямая, пересекающая плоскость ос в точке „41. Через середину отрезка АВ (точку С) проведена прямая с, параллельная АА l.

1) Постройте точку пересечения прямой с и плоскости а (Ц). 2) Вычислите CCl, если АА = 22 см.

10. Отрезок АВ не -таеет общих точек с плоскостью а. Через его концы проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость ос в точках Аи и ви. Точка К — середина отрезка АВ

1)     Постройте точку переречения плоскости ос и прямой, которая проходит через точку К и параллельна прямой АА 1.

2)     Вычислите длину отрезка kkl, если AAl = 10 см, ВВ] — 6 см.

11. Точка А луча АВ лежит в плоскости ш.

Через точки В и С этого луча (С лежит между А и В) проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость ос в точках Cl И В1

1)                       Лежат ли точки А, Ви и Cl на одной прямой?

2)                       Вычислите АД и АС], если АС = 6 см, СВ = 4 см, СД = 10 см.

12. Концы отрезка АВ лежат по разные стороны относительно плоскости ш. Через точки А, В и середину отрезка АВ (точку М) проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость ос ^ев точках 4, BI и М. Вычислите ММ, если АА, = 6 см, ВВИ = 4 см.

13. Точка К расположена вне плоскости треугольника АВС, Е и F— середины отрезков КА и КС.

1) Докажите, что отрезок EF равен и параллелен средней линии треугольника АВС (ЛО). М и Р — середины сторон ВА и ВС. 2) Как расположены прямые ЕМ и FP?

14. Прямые а и Ь параллельны. Докажите, что пересекаюище их прямые лежат в одной плоскости.

15.. Точка К не лежит в плоскости трапеции ABCD Через середины отрезков КА и КВ проведена прямая EF (АВ CD).

1)  Докажите, что прямые EF и. DC параллельны.

2)  Определите вид четырехугольника DCFE, если АВ : DC =

16. Квадрат ABCD и равнобедренный треугольнк•ж КВС (КВ = ВС) лежат в разных плоскостях: М и Р — середины отрезков ВК и СК.

1) Определите вид четырехугольника ЛОТ.

2) Вычислите его площадь, если АВ = 12 см, МА = PD = 5'см. прямой и плоскости

             З. Параллельность прямой и плоскости

17. Отрезок КМ, равный 10 см, параллелен плоскости ос. Через его концы проведены параллельные прямые, пересекающие ос в точках К] и М.

1)  Как расположены прямые КМ и КIМ1?

2)  Вы^ктслите расстояние между точками К1 и М.

З) Вычислите площадь четырехугольника КММIК1, если КК, = 8 см, ZkMMt = 30⁰ .

18, Отрезок АВ параллелен плоскости п. Через его концы проведены параллельные прямые. Пртиая, проходящая через точку В, пересекает плоскость в точке Ц.

1)     Постройте точку пересечения второй прямой с плоскостью ос (точку А).

2)     Вычислите. периметр четырехугольника АВВ| А, если АВ : : 2, АВ-ВВ] -9 см.

19. Через точку К стороны АС треугольника АВС проведена плоскость ос, параллельная прямой АВ.

1)     Постройте точку пересечения плоскости ос и стороны ВС (точку М).

2)     Вычислите длину отрезка КМ, если КМ+ АВ = 26 см, СК: КА = 4 : 5.

20. В плоскости ос, пересекающейся с плоскостью р по прямой с, проведена прямая а, параллельная с. В плоскости р проведена прямая Ь, пересекающая прямую с.

1)  Могут ли прямые а и Ь иметь общие точки?

2)  Докажите, что а и Ь — скрещивающиеся прямые.

21. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости. К и М— середины трезков BD и СР.

1)      Икот ли общие точки пржая КМ и шюскость, в которой лежат точки А, В и С?

2)      Вычислите периметр трфольника АКМ, если ние между каждой парой данных точек равно 8 см.

22. дан куб АВСТДСД .

1)     Постройте отрезок, являющийся пересечением грани АВВ:А1 и илоскости ос, в которой лежат прямая СС 1 и точка К — середина АВ.

2)     Постройте сечение куба плоскостью ос.

3)     Вычислите периметр построенного сечения, если ребро куба равно 20 см.

23.   Прямая а параллельна плоскости ос. Верно ли утверждение, что любая прямая плоскости ос параллельна прямой а?

24.   Верно ли утверждение, что две прямые, параллельные одной плоскости, параллельны?

плоскостей

4. Параллельность плоскостей

25. Через точку О,  между параллельными плоскостями а и р, проведены две прямые, которые пересекают плоскости в точках А и А, В и В].

1) Как расположены прямые АВ и АД? (Ответ поясните.) 2) Вычислите длину отрезка АД, если

26. Два луча с началом в точке А пересекают одну из параллельных плоскостей в точках А, Вт, а другую — в точках 242, щ.

1) Как расположены прямые „41Bl и А2В2? (Ответ поясните.)

2) Вычислите АД, если АД = 4 см, А2В2 = 16 см, ВIВ2 = 15 см.

27. Плоскости (х и р параллельны. Через точки А и В плоскости ос проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость р в точках AI и В1.

1)     Определите вид четырехугольника АВВIА1.

2)     Вычислите периметр четырехугольника АВИА 1, если АВ= 10 см, АА] = 8 см.

28. Через точки В1 и В2 стороны АВ равностороннего треугольника АВС проведены плоскости а и р, параллельные прямой ВС.

1)     На какие фигуры делится этот треугольник плоскостями

2)     Вычислите периметры этих фигур, если АС = 8 см и щ = в:В2 = ВВ.

29.                     Плоскость ос параллельна плоскости равностороннего треугольника АВС Через его вершины проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость ос в точках А, В], С]. Выч: литр периметр и площадь треугольника AlBlCl, если АВ = 6 с„г. 59

30.                     Точки А. В. С и D не лежат в одной плоскости.

К, М, Р — середины отрезков АВ, АС, AD.

1) Докажите, что плоскости DBC и КИР параллельны. 2) Вычислите периметр треугольника КИР, если = 12 см, 8 см, 6 см.

31.                    Плоскости ос и р параллельны. Верно ли, что любая прямая плоскости ос параллельна плоскости Р? (Ответ поясните.)

32.                    Ребро куба АВСТДСД равно 24 см.

Точка К — середина ребра ВЦ. Через К проведена плоскость ос, параллельная плоскости ВС]А1.

1)      Постройте отрезок, который лежит в плоскости и в грани АВВ!А 1 .

2)      Постройте сечение куба плоскостью ос. 3) Вычислите площадь сечения.

33.  дан куб АВСТIВСР1. Точка К— середина ребра АВ. Постройте сечение куба плоскостью, которая содержит точку К и параллельна плоскости ВВО .

34.  Верно ли, что две плоскости, параллельные одной прямой, параллельны?

Перпендикуляр и наклонные

5. Перпендикуляр и наклонные

35.   Из точки К проведены к плоскости перпендикуляр КО и наклонные КА и КВ. Длины наклонных соответственно равны 13 см и 20 см. Проекция наклонной АК равна 5 см. Вычислите длину проекции наклонной КВ.

36.   Из точки М проведены к плоскости наклонные ЛИ, МВ и перпендикуляр МО.

1)  Постройте проекции наклонных.

2)  Вычислите длины проекций, если Z АМО = 60⁰, Z ВМО =

37, К плоскости квадрата ABCD проведен перпендикуляр DM, равный 12 см. Сторона квадрата равна 5 см. Вычислите длины:

1) проекций наклонных МА, МС, МВ; 2) длины наклонных.

38, В одной из пересекающихся плоскостей (Р) расположены точки А и В. Проекцией точки А на вторую плоскость (а) является точка А 1 .

1 ) Постройте проекцию точки В на плоскость а.

2) Вычислите расстояние от середины отрезка АВ до плоскости ос, если А и В удалены нее на 12 см и 8 см.

39. Через середину О гипотенузы прямоугольного треугольника АВС проведен к его плоскости перпендикуляр КО 1) Докажите, что наклонные КА, КВ и КС равны.

2) Вычислите длины проекций этих наклонных на плоскость треугольника, если АС = ВС = а.

41

40.   Из точки М проведены к плоскости ос наклонные МА и МВ, равные 10 см и 17 см. Вычислите расстояние от точки М до плоскости ос, если длины проекций пропорциональны числам

41.   Из точки М проведены к плоскости ос наклонные ЛИ. МВ и перпендикуляр МС, равный а. Угол между каждой наклонной и перпендикуляром равен 45 ⁰. Вычислите:

1)                       площадь треугольника АВС, еёли проекции наклонных перпендикулярны;

2)                       угол между наклонными.      

42. Через точку пересечения диагоналей ромба ABCD проведен к его плоскости перпендикуляр МО длиной 12 см. Диагонали ромба равны 18 см и 10 см. Вычислите:

1 ) длины наклонных МА, МВ, МС и МО,

2) расстояния между основаниями этих наклонных.

43. Отрезок АВ, равный 12 см, не имеет общих точек с плоскостью ос. Его концы удалены от плоскости на 20 см и 14 см.

1)      Лежат ли в одной плоскости отрезок АВ и его проекция на плоскость ос?

2)      Вычислите периметр и углы четырехугольника, вершинами которого являются точки А, В и их проекции на плоскость а.

44. Вершины А и D ромба ABCD лежат в плоскости ос. Расстояние от вершины В до этой плоскости равно 5 см.

1)      Определите вид четырехугольника, вершинами которого являются точки В, С и их проекции на плоскость 6.

2)      Вычислите периметр этого четырехугольника, если угол между стороной АВ и ее проекцией равен 30 ⁰ .

Перпенмчпяр и наклонные

45. К плоскости прямоугольного треугольника АВС прове„цены перпендикуляр МВ и наклонные МА, МС. МА = 2а, МВ = а, ZACB = 90 ⁰, АС = ВС.

1)                  Вычислите угол между наклонной МА и ее проекцией на плоскость треугольника АВС

2)                  Вычислите длины наклонной МС и ее проекции.

3)                  Докажите, что треугольник АМС— прямоугольный.

43

6. Свойства точки, равноудаленной от вершин многоугольника

46.Точка М удалена от каждой вершины квадрата на

•*lO дм. Вычислите расстояние от точки М до плоскости квацрата, если его сторона равна дм.

47.Точка М одинаково удалена от всех вершин правильного треугольника АВС и удалена от его плоскости на 6 см. Вычислите расстояние от точки М до вершин треугольника, если его сторона равна 8$ см.

48.Точка, равноудаленная от всех вершин прямоугольника, находится на расстоянии 8 см от его ПЛОСКОСТИ. Вычислите расстояние от этой точки до вершин прямоугольника, если его меньшая сторона равна 8 см, а диагональ образует с большей стороной угол в 30 ⁰.

49.Точка М удалена от каждой вершины остроугольного треугольника АВС на 17 см. Вычислите расстояние от точки М до плоскости треугольника, если Z ВАС = 30 ⁰, ВС = 8 см.

50, Точка Р равноудалена от всех вершин треугольника, стороны которого равны 6 см, 6 см и 8 см. Расстояние от точки Р до плоскости треугольника равно 2•ЈЙ см. Вычислите расстояние от точки Р до вершин треугольника.

51. Расстояние от точки М, равноудаленнбй от всех вершин правильного шестиугольника ABCDEF, до его плоскости равно а. АВ = а. Вычислите:

1)                      расстояние от точки М до вершин шестиугольника;

2)                      угол, образованный наклонной МВ и ее проекцией на плоскость шестиугольника.

44

Задачи. Точка, равноудаленная от вершин многоугольника

52. Ребро куба ABCDAlBlClDl равно 16 см. -Найдите точку основания AlBlClDI, равноудаленную от вершин А, В, С и D Найдите расстояние от этой точки до указанных вершин.

 53.- Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 120 ⁰, боковая сторона — 10 см. Вне плоскости треугольника дана точка, удаленная от всех его вершин на 26 см. Вычислите расстояние от этой точки до плоскости треугольника.

7. Перпендикулярность прямой и плоскости

54. В прямоугольном треугольнике АВС (Z С = 90⁰) точки F и Е середины сторон АВ и АС. Через точку Е проведен перпендикуляр МЕ к плоскости этого треугольника. Докажите, что:

1)  МЕШ АС;

2)  мс = ш.

55.   Через некоторую точку О высоты AD равнобедренного треугольника АВС (АВ = АС) проведен к его плоскости перпендикуляр ОК. Докажите, что прямая ВС перпендикулярна прямой DP, где Р — произвольная точка отрезка АК.

56.   К плоскости правильного шестиугольника ABCDEF проведен перпендикуляр DM Докажите перпендикулярность прямых:

1) АВ И МВ;  2) Ал^г и МЕ.

57.  Отрезок АМ, равный 12 см, перпендикулярен плоскости треугольника АВС Вычислите расстояние от точки М до прямой ВС, если АВ = АС = 20 см, ВС = 24 см.

58.  К плоскости прямоугольника ABCD, площадь которого равна 180 см² , проведен перпендикуляр. О. Вычислите расстояния от точки К до сторон прямоугольника, если О = 12 см, вс = 20 см.

59.  К плоскости прюлоугольного треугольника АВС (ZC = 90⁰) проведен перпендикуляр РВ. РА = 13 см, ZABC = 30 ⁰ , АС = 5 см. Вычислите расстояние от точки Р до:

1)  прямой АС;

2)  плоскости треугольника АВС'.

Задачи. Перпендикулярность прямой и плоскости

60.   К плоскости квадрата ABCD проведен перпендикуляр ВМ, равный 4 дм. АВ = 2 дм. Вычислите расстояния от точки М до сторон и диагоналей квадрата.

61.   Катеты прямоугольного треутльника равны 12 см и 16 см. Через середину гипотенузы проведен перпендикуляр к его плоскости, равный 6 см. Вычислите расстояния от концов перпендикуляра до катетов и вершины прямого угла треугольника.

62.   Через сторону АВ квадрата ABCD, равную 2а, проведена плоскость ос. Расстояние от прямой DC до этой плоскости равно а.

1)     Постройте проекцию стороны DC данного квадрата на плоскость а;

2)     Найдите расстояние между прямой АВ и проекцией прямой DC на плоскость

63. Через катет ВС, равный а, прямоугольного треугольника АВС (Z С = 90 ⁰, Z В = 45 ⁰) проведена плоскость ос. Вершина А удалена от нее на расстояние Ь. Вычислите:

1)                       длину проекции гипотенузы на плоскость ос,

2)                       расстояние от проекции точки А на плоскость ос до прямой ВС.

64.   К плоскости треугольника АВС проведен перпендикуляр АД равный 5 см. АВ = 13 см, ВС = 14 см, АС = 1.5 см. Вычислите расстояние от точки D до стороны ВС.

65.   К плоскости ромба ABCD, в котором Z А = 45 ⁰, АВ = = 8 см, проведен перпендикуляр МС, равный 7 см. Вычислите расстояния от точки М дб сторон ромба.

8. Свойства точки, равноудаленной от сторон многоугольника

66. Точка М одинаково удалена от всех сторон квадрата ABCD. Расстояние от точки М до его плоскости равно 16 см,

АВ = 24 см. Вычислите расстояние от точки М до:

1)   сторон квадрата;

2)   вершин квадрата.

67. Точка К удалена от к{ждой стороны правильного треугольника на 30 см, а от его плоскости — на 18 см. Вычислите длину:

1) радиуса окружности, вписанной в данный треугольник; 2) стороны треугольника.

68.  Точка М одинаково удалена от сторон • правильного шестиугольника, сторона которого равна 6 см. Расстояние от точки М до плоскости шестиугольника равно 34? см. Вычислите расстояние от точки М до каждой стороны шестиугольника.

69.  Точка М удалена от каждой стороны ромба на 20 см. Вычислите расстояние от точки М до плоскости ромба, если его диагонали равны 30 см и 40 см.

70.  Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10 см, а основание — 12 см. Точка М удалена от каждой его стороны на 5 см. Вычислите:

1) расстояние от точки М до плоскости треугольника; 2) площадь круга, вписанного в треугольник.

48

Задачи. Точка, равноудаленная от сторон многоугольника

 71, Точка, одинаково удаленная от всех сторон равнобокой трапеции, находится на расстоянии 3 см от ее плоскости. Вычислите расстояние от. этой точки до сторон трапеции, если ее периметр равен 48 см, а острый угол 60 ⁰ .

72. Стороны треугольника равны 7 см, 24 см и 25 см. Точка М удалена от каждой его стороны на 5 см. Вычислите расстояние от точки М до плоскости этого треугольника.

9. Угол между ирямой и плоскостью

73.  К плоскости и •кроведам.ы намокные МА, МВ и перпендикуляр МО. Углы между МВ, МА и плоскостью ос равны соответственно 30⁰ и 45 ⁰ , МО = 15 см. Вычислите длины наионной Ш и проекции наклонной МВ.

74.  Через середину гипотенузы прямоугольного треугояъника АВС проведен к его плоскости перпендикуляр КО, равный 8,5 см. ВС = 8 см, АС = 15 см. Вычислите углы между плоскостьютреугольника и наклонными КА, КВ, КС.

75.  Через вершину тупого угла ромба ABCD проведен к его плоскости перпендикуляр Л, равный а. АВ = а, Z А= 60⁰ .

Вычислите:

1) углы между плоскостью ромба и прямыми АК, ВК, СК; -2) угол между прямой АС и плоскостью DkB.

76. К плоскости прямоугольника ABCD проведен перпендикуляр ВК, равный а. АВ = а, AD = аф . Вычислите угол между прямой Ю) и плоскостью:

1)  прямоугольника;

2)  треугольника ВКС.

77. Точка М одинаково удалена от вершин равностороннего треугольника АВС, сторона которого равна а. Расстояние от точки М до плоскости треугольника равно а. Вычислите угол между:

1)                       прямой МА и плоскостью треугольника АВС;

2)                       прямой МЕ (Е — середина ВС) и плоскостью треугольника АВС

Угол между прямой и

78.   Катет ВС прямоугольного треугольника АВС лежит в плоскости ос. Вершина А удалена от нее на 26 дм. ВС = АС = = 4 дм. Вычислите угол между .плоскостью ос и прямой:

79.   Через сторону АВ прямоугольника ABCD проведена плоскость а. Сторона CD удалена от этой плоскости на 3 см, СВ = 6 см, DC = 8 см. Вычислите:

1 ) угол между прямой Т и плоскостью ос,

2) синус угла межд^у прямой BD и шлоскостью ос.

10. Перпендикулярность

80. Плоскости ос и р перпендикулярны. Плоскость у, перпендикулярная их линии пересечения, пересекает ее в точке С. На линиях пересечения плоскости у с ос и р расположены точки А и В. АС = 9 см, ВС = 96 см. Вычислите:

1)  длину отрезка АВ;

2)  углы между прямой АВ и плоскостями ос и р.

81.  Концы отрезка АВ,• равного 25 см, расположены в перпендикулярных плоскостях и удалены от линии их пересечения соответственно на 15 см и 7 см. Вычислите длины проекций отрезка АВ на данные плоскости.

82.  Плоскости квадратов ABCD и АВКМ перпендикулярны. МК = а. Найдите расстояние между точками:

1) дим,ки е, 2) дик.

83. Течка А удалена от двух перпендикулярных плоскостей на а и . Найдите расстояние:

1)  от точки А до линии пересечения плоскостей;

2)  между проекциями точки А на данные плоскости.

84. Шюскости прямоугольных треугольников АВС и АВК перпендикулярны. АВ = 6 см, АК = 8 см, ИВК = ЛВС = 90 ⁰, ZBAC = 450.

Вычислите расстояние между:

1)  точками К и С;

2)  прямыми ВК и АС.

85. Концы отрезка КМ лежат в перпендикулярных плоскостях ос и р. Углы между прямой КМ и плоскостями и р рав• Перпендикулярность

ны соответственно 30⁰ и 45 ⁰ . Точка К удалена от линии пересечения плоскостей на 36 см. Вычислите:

1 ) длину отрезка КМ;

2) длины проекций отрезка КМ на плоскости ос и р;

З) расстояния от середины отрезка КМ до плоскостей

86, Плоскости прямоугольника ABCD и равнобедренного треугольника АВК перпендикулярны. АК = КВ = 10 см, АВ = ' см, AD = 8 см. Вычислите расстояние от точки К до: 1) середины стороны DC прямоугольника; 2) плоскости прямоугольника.

11. Угол между плоскостями

87, Угол между плоскостями ос и р равен 60 ⁰ . Точка А, лежащая в плоскости ос, удалена от р на 12 см. Вычислите расстояние:

1)                       от точки А до линии пересечения плоскостей;

2)                       от проекции точки А на плоскость р до линии пересечения плоскостей.

88. Через вершину квадрата ABCD проведен к его плоскости перпендикуляр Л, равный 10 см. Угол между плоскостями АВС и КВС равен 45 ⁰ . Вычислите площадь:

1 ) квадрата АВСО,

2) треугольника ВСК

89.  Через вершину острого угла прямоугольного треугольника АВС проведен перпендикуляр AD к его плоскости. AD — 6 см, ZACB = 90⁰ , ZABC = 30⁰ Угол между плоскостями BCD и АВС равен 60⁰ Вычислите: 1) угол между плоскостями BAD и САД 2) длины наклонных DC и DB.

90.  Сторона АС правильного треугольника АВС лежит в плоскости а. Угол между плоскостями треугольника и ос равен

60 ⁰ АС- 12 см.

Вычислите:

     1) расстояние от точки В до плоскости ос,

2) длину проекции высоты BD треугольника на плоскость ос.

91.   Сторона АВ квадрата ABCD лежит в плоскости ос. Прямая DC удалена от этой плоскости на 18 см. ВС — 36 см. ВыЧИСЛИТе•

1)  угол между плоскостью квадрата и плоскостью а;

2)  площадь проекции квадрата ABCD на плоскость а.

Задачи. Угол мечу плоскостями

92.   Через центр.О квадрата АВО проведен к его плоскости перпендйкуляр КО. Угол между прямой КС и плоскостью квадрата равен 60⁰ . АВ = 18 см. Вычислите угол меЧ'•плоскостями:

1) АКС и ЛВ•, 2) АВС и вкс.

93, Плоскости равносторонних треугольников АВС и ABD перпендикулярны. Вычислите угол между: 1 ) прямой DC и плоскостью АВС; 2) плоскостями ADC и BDC.

²

94. 

95.  В треугольнике АВС длины сторон равны 13 см, 14 см и 15 см. Через сторону АВ проведена плоскость ос под углом 45 ⁰ к плоскости треугольника АВС Вычислите площадь ортогональной проекции этого треугольника на плоскость а.

96.  Плоскости двух треугольников АВС и АВС\ образуют угол в 60⁰ . Отрезок СС! перпендикулярен плоскости треугольника АВС], углы А и В которого равны соответственно 30⁰ и 60⁰ , а сторона АС: равна 1 8 см. Вычислпе площадь треугольника АВС

Задания

12. Декартовы координаты в пространстве

 97. На оси Ох найдите точку, равноудаленную от точек

98.   Даны вершины параллелограмма АВСО.

А (—3; -6; —1), В (—1; 2; —3), С (З; 1; 1). Вычислите координаты четвертой вершины.

99.   Вершины треугольника АВС имеют координаты А (З;

1) Докажите, что треугольник АВС равнобедренный. 2) Вычислите координаты основания высоты AD.

100. Известны координаты вершин треугольника АВС:

1)  Вычислите длину его медианы CD.

2)  Является ли треугольник АВС прямоугольным?

101.                     Докажите, что параллелограмм ABCD является прямоугольником, если А (4; 2; 3), В (2; З; О), С (—1; З; 2). Вычислите его площадь.

102.                     Вершины треугольника имеют координаты: А (3; 1 ; 2). В (1; 2; —1), С (—2; 2; 1). Докажите, что этот треугольник прямоугольный. Вычислите его площадь.

103.                     Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в начале координат. А (—2; 2; —1), В (3; 4; 2).

1) Вычислите координаты других вершин параллелограмма. 2) Является ли этот параллелограмм прямоугольником?

104. Докажите, что четырехугольник ABCD является равнобокой трапецией, если А (—1; 2; -3), В (—5; 2; 1), С (—9; 6; 1), D (—9; 10; —3). Вычислите ее площадь.

ОТВЕТЫ

1. Аксиомы стереометрии

2. Нет.

з. ш = 6 см, мв = 18 см.

4. ЛИ = 2 см, ЛО = 2,5 см.

7. да

8. Нет.

2. Параллельность прямых в пространстве

9.                   = П см.

10.               = 8 см.

11.               1) да; 2) АС— см, АВ = 25 см.

12.               мм = см.        

15.                           Параллелограмм.

16.                           1) Трапеция; 2) 36 см ² .

З. Параллельность прямой и плоскости

17.                           кущ;

      2) см; 3) 40 см ² .             

     18.2) 42 см.         

19.2) 8 см.

20.   нет.

21.   1) нет; 2) 86+4 см.

                 п. 40 + 20$ см.       

23.  Нет.

24.  Нет.

4. Параллельность плоскостей

25.   1) АВ ll 4B,•,         2) зо см.

26.   1) ll 44; 2) 5 см.

27.   1) Параллелограмм; 2) 36 см.

28.   1) Треугольник и трапеции;

2) 8 см; 13— см; 18— см.

29. 18 см; 96

30.2) 13 см.

31. да.

32.3) пФ см².

34. Нет.

5. Перпендикуляр и наклонные

35.  16 см.

36.  166 см; 16 см.

37.  1) 5 см; 5 см; яб см;

2) 13 см; 13 см; „ТПсм.

              38. 10 см.         

39.

2

40.              8 см.

41.              1) —а² ; 2) 60⁰ .

42.              1) 15 см; 15 см; 13 см; 13 см; 2) см; см; мбсм.

43.              1) да; 2) 46+66 см; 120⁰ ; 60⁰; 90⁰; 90⁰

44.              1) Прямоугольник; 2) 30 см.

45.              1) 30⁰•, 2) мс-

                                    2                  2

6. Свойства точки, равноудаленной от вершин

многоугольника

46.                 8 дм

47.                 10 см.

48.                 8$2 см.

49.                 15 см.

50.                 3,83 см.

51.                 1) adi•, 2) 450.

52.                 см.

53.                 24 см.

7. Перпендикулярность прямой и плоскости

57.           20 см.

58.           СМ., 464 см.

59.           1) см; 2) 46 см.

60.           2$ дм; 2$ дм; 4 дм; 4 дм; 4 дм; дм.

61.           8 см; 6 см; 10 см; 10 см; 66 см; 46 см.

62,

63.             1) .љгз;., 2)

64.             13 см. 65, 9 см.

8, Свойства точки, равноудаленной от сторон многоугольника

66. 1) см; 2) «п см.

67. 1) 24 см; 2) 48$ см.

68. 9 см.

69. 16 см.

70. 1) 4 см; 2) 91 см² .

Т1, 6 см.

72. 4 см.

9. Угол между прямой и плоскостью

73.   см.

74.   45⁰ .

75.   1) 45 ^о ,. 45 ⁰; 45 ⁰ ; 2) 90⁰ .

76, 1) 30⁰; 2) 30⁰.

77. 1) 60⁰; 2) arctg (26) .

78, 1) 45 ⁰; 2) 30⁰.

79.  1) 30⁰; 2) 0,3.

Ответы

10. Перпендикулярность плоскостей

80.  1)   см; 2) 60⁰ ; 30⁰.

81.  20 см; 24 см.        

82.   2)аб

83.  1) 2а•, 2) 2а.

84.  1) 8 см; 2) см.

11, Угол между плоскостями

87. 1) см;      2) 445 см.

88. 1) 100 см ² ;

89. 1) 60⁰;      

94.                    дм?.

95.                    см ² .

96.                    1086 см ² .

12. Декартовы координаты в пространстве

97. (0,5; о; 0).

100•. 1) $ ; 2) нет.

182.

102.          182.

2

103.          1) (2; -2; 1); (-3;-4•, 2) Нет. 104. 24$.

Учебно-.иетоДическое .изДание

Дудницын Юрий Павлович

Кронгауз Валерий Лазаревич

 Контрольные работы по геометрии

К учебнику Л.С. Атанасяна,

ВО. Бутузова, СБ. Кадомцева и др.

                             «Геометрия, 10—11»

10 класс

                                   Издательство «ЭКЗАМЕН»

Гигиенический сертификат

№ 77.99.60.953№13269.11.07 от 13.11.2007 г.

Редактр И. М. Бокова

Корректор Г. М. Морозова

Дизайн обложки И.Р. Захаркина

                       Компьютерная верстка Н.Н. Балахонцева             

105066, Москва, ул. Нижняя Красносельская, д. 35, стр. 1. www.examen.biz

E-mail: по общим вопросам: [email protected]; по вопросам реализации: [email protected] тел./факс 641-00-30 (многтанальный)

Общероссийский классификатор прощкции ок 005-93, том 2; 953005 —книги, брокшфы, литераЂ•ра учебная

Текст опечатан с диапозитивов в ОАО «Владимирская книжная типография»

600000, г. Владимир, Октябрьский проспект, д. 7 Качество печати соответствует качеству предоставленных диапозитивов

По вопросам реализации обращаться по тел.: 641-00-30 (многоканальный).