Краткий теоретический курс по геометрии за 7-8 класс

УГЛЫ

1.      Теорема о вертикальных углах (уметь изображать).

Теорема: Вертикальные углы равны.

2.      Теорема о смежных углах (уметь изображать).

Теорема: Сумма смежных углов равна 180⁰.

3.      Углы, образованные при параллельных прямых и секущей:

4.      Внутренние накрест лежащие углы (уметь изображать).

Свойство: Если прямые параллельны, то в/н углы равны.

Признак параллельности: Если в/н углы равны, то прямые параллельны.

5.      Внутренние односторонние углы (уметь изображать).

Свойство: Если прямые параллельны, то в/о углы в сумме дают 180⁰.

Признак параллельности: Если в/о углы в сумме дают 180⁰, то прямые параллельны.

6.      Соответственные углы (уметь изображать).

Свойство: Если прямые параллельны, то соответственные углы равны.

Признак параллельности: Если соответственные углы равны, то прямые параллельны.

БИССЕКТРИСА, МЕДИАНА, ВЫСОТА

7.      Определение биссектрисы (уметь строить).

Биссектриса - луч, выходящий из вершины угла и делящий его пополам.

.

8.      Определение медианы (уметь строить).

Медиана – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны (делит противоположную сторону пополам)

9.      Определение высоты (уметь строить).

Высота – перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону (падает на противоположную сторону под прямым углом 90⁰).

РАВНОБЕДРЕННЫЙ И РАВНОСТОРОННИЙ ТРЕУГОЛЬНИК

10. Определение равнобедренного треугольника.

Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого две стороны равны.

11.  Свойство равнобедренного треугольника.

Теорема: У равнобедренного треугольника углы при основании равны.

12.  Обратная теорема для равнобедренного треугольника.

Теорема: Если два угла равны, то треугольник равнобедренный.

13.  Свойство медианы равнобедренного треугольника.

Теорема: Медиана в равнобедренном треугольнике является и биссектрисой, и высотой.

14.  Определение равностороннего треугольника.

Равносторонний треугольник – треугольник, у которого все стороны равны.

Свойство: Все углы равны по 60⁰ градусов.

ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ

15.  Первый признак равенства треугольников.

Теорема: Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Коротко: по двум сторонам и углу между ними.

16.  Второй признак равенства треугольников.

Теорема: Если сторона и два прилежащих угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Коротко: по одной стороне и двум прилежащим углам

17. Третий признак равенства треугольников.

Теорема: Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Коротко: По трем сторонам.

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ

18.  Определение параллельных прямых (уметь изображать).

Две прямые называются параллельными, если они не пересекаются.

19.  Теорема о параллельности прямых.

Теорема: Две прямые параллельные третьей прямой параллельны.

20.  Признак параллельности прямых.

Теорема: Если внутренние накрест лежащие углы равны, ИЛИ соответственные углы равны, ИЛИ сумма внутренних односторонних равна 180⁰, то прямые параллельны.

21.  Свойства углов, образованных при параллельных прямых и секущей.

Свойство углов: Если две прямые параллельны, то

·        соответственные углы равны;

·        внутренние накрест лежащие углы равны;

·        сумма внутренних односторонних равна 180⁰.

22.  Следствия параллельности прямых

·        Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.

·        Если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА

22.  Сумма углов треугольника

 Сумма углов треугольника равна 180⁰.

23.  Внешний угол треугольника. Теорема о внешнем угле треугольника.

Внешний угол треугольника – это угол, смежный с внутренним углом треугольника.

Теорема: Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним.

ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

24.  Прямоугольный треугольник (гипотенуза, катеты).

Треугольник, у которого один угол прямой называется прямоугольным.

Сторона, лежащая напротив угла 30⁰, называется гипотенузой, две другие стороны называются катетами.

25.  Сумма острых углов прямоугольного треугольника.

 Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90⁰.

26.  Теорема о стороне прямоугольного треугольника, лежащем напротив угла 30⁰.

Катет, лежащий напротив угла 30⁰, равен половине гипотенузы.

8 КЛАСС

ПАРАЛЛЕЛОГРАММ

27.  Параллелограмм

 Четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны.

28.  Свойства параллелограмма:

·        Противоположные стороны равны;

·        Противоположные углы равны;

·        Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

29.  Признаки параллелограмма:

·        если в четырехугольнике 2 стороны равны и параллельны, то данный четырехугольник – параллелограмм.

·        если в четырехугольнике стороны попарно равны, то четырехугольник параллелограмм.

·        если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.

ПРЯМОУГОЛЬНИК

30.  Прямоугольник

 Прямоугольник - параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90⁰).

31.  Свойство прямоугольника:

 Диагонали прямоугольника равны.

 Все свойства параллелограмма справедливы для прямоугольника.

КВАДРАТ

32.  Квадрат

 Квадрат - прямоугольник, у которого все стороны равны.

33.  Свойства квадрата:

·        Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом;

·        Диагонали квадрата являются биссектрисами его углов.

 Все свойства прямоугольника справедливы для квадрата.

РОМБ

34.  Ромб

Ромб – параллелограмм, у которого все стороны равны.

35.  Свойства ромба

·        Диагонали ромба пересекаются под прямым углом;

·        Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

 Все свойства параллелограмма справедливы для прямоугольника.

ТРАПЕЦИЯ

36.  Трапеция

 Трапеция – четырехугольник, у которого только две стороны параллельны.

 Они называются основаниями, а две другие стороны – боковыми).

37.  Равнобокая трапеция

 Трапеция, у которой две боковые стороны равны.

38.  Свойства равнобокой трапеции

·        Углы при основаниях равны;

·        Отрезки, отсекаемые высотами равны.

39.  Прямоугольная трапеция

 Трапеция, у которой одна боковая сторона перпендикулярна основаниям.

40.  Средняя линия трапеции

 Отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

41.  Свойства средней линии трапеции

 Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

ТЕОРЕМА ФАЛЕСА. СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА

42.  Теорема Фалеса

Если пераллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

43.  Средняя линия треугольника

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

44.  Свойство средней линии треугольника

 Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.

ТЕОРЕМА ПИФАГОРА

45.  Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

46. Обратная теорема Пифагора:

Если в треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то этот треугольник прямоугольный.

47.  Египетский треугольник

Треугольник со сторонами 3, 4, 5 называется египетским.

КОСИНУС, СИНУС, ТАНГЕНС, КОТАНГЕНС УГЛА

48.  Косинус угла

 Косинусом угла называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

49.  Синус угла

 Синусом угла называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

50.  Тангенс

 Тангенсом угла называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

51.  Котангенс

Котангенсом угла называется отношение прилежащего катета к противолежащему.