Лекция "Арифметико-логические основы ЭВМ"

Арифметико­логические основы ЭВМ  .   В ЭВМ применяют  ПСС с недесятичным основанием:   двоичную,   восьмеричную,   шестнадцатеричную   и   др.     Двоичная   ПСС   получила   самое   широкое применение   в   ЭВМ   благодаря   следующим   достоинствам.     1.   Числовая   информация   в   ЭВМ отождествляется с состоянием используемых двоичных физических элементов. В двоичной ПСС . Поэтому   для   физического   представления   достаточно   использования   элементов   с   устойчивыми состояниями, кодируемыми 1 и 0. Например, транзистор может быть в открытом или закрытом состоянии,   а   следовательно,   иметь   на   выходе   высокое   или   низкое   напряжение,   ферритовый сердечник в устойчивом состоянии может иметь положительную или отрицательную остаточную магнитную индукцию, лампочка включена или выключена, отверстия на перфокарте пробиты или нет. Такие элементы принято называть двухпозиционными или двоичными. Очевидно, что реализация элементов,   которые   должны   различать   одно   из   двух   состояний   (0   или   1),   оказывается   проще   и надежнее,   чем   реализация   элементов,   которые   должны   различать   одно   из   10   состояний.     2. Арифметические операции выполняются наиболее просто.  3. Процесс синтеза схем ЭВМ упрощен, так   как   обозначение   переменных   и   функций   в   используемом   математическом   аппарате   алгебры логики,  принимающих  два  значения  0  или  1,  совпадает  с двоичными  цифрами.     В то же  время громоздкость   записи   чисел   в   двоичной   ПСС   и   трудность   их   восприятия   человеком   (см.   табл.) приводит к необходимости перевода исходных данных (чисел) из десятичной системы счисления в двоичную,   а   результатов   —   из   двоичной   в   десятичную.   Эти   переводы   осуществляются   в   ЭВМ автоматически по определенным программам Машин­ные   коды   чисел:   прямой,   обратный,   дополнительный  .  Прямой   код двоичного   числа   образуется из абсолютного значения этого числа и кода знака (нуль или единица) перед его старшим числовым разрядом.  Пример 2.5.  A10=+10  A2=+1010 [A2]П=0:1010;  B10=­15  B2=­1111 [B2]П=1:1111. Точечной вертикальной линией здесь отмечена условная граница, отделяющая знаковый разряд от значащих.  Обратный   код двоичного   числа   образуется   по   следующему   правилу.   Обратный   код положительных чисел совпадает с их прямым кодом. Обратный код отрицательного числа содержит единицу в знаковом разряде числа, а значащие разряды числа заменяются на инверсные, т.е. нули заменяются единицами, а единицы ­ нулями. Локальные сетиТопологии Пример 2.6. A10=+5 A2=+101 [A2]П=[A2]OK=0:101;  B10=­13  B2=­1010   [B2]OK=1:0010.   Свое   название   обратный   код   чисел   получил потому, что коды цифр отрицательного числа заменены на инверсные. Укажем наиболее важные свойства обратного кода чисел: • сложение положительного числа С с его отрицательным значением в обратном коде дает так называемую машинную единицу МЕок= 1: 111... 11, состоящую из единиц в знаковом и значащих разрядах числа; • нуль в обратном коде имеет двоякое значение. Он может быть положительным  ­  0:  00...0   и   отрицательным   числом  ­  1;   11...  11.  Значение   отрицательного   нуля совпадает с МЕок. Двойственное представление нуля явилось причиной того, что в современных ЭВМ   все   числа   представляются   не   обратным,   а   дополнительным   кодом. Дополнительный кодположительных чисел совпадает с их прямым кодом. Дополнительный код отрицательного числа представляет собой результат суммирования обратного кода числа с единицей младшего разряда (2°   ­   для   целых   чисел,   2­k   ­   для   дробных).  Пример 2.7.  A10=+19   A2=+10011 [A2]П=[A2]OK=[A2]ДК=0:10011; B10=­13 В2=­1101 [B2]ДК=[B2]OK+20=1:0010+1=1:0011. Укажем основные свойства дополнительного кода: • сложение дополнительных кодов положительного числа С с его отрицательным   значением   дает   так   называемую   машинную   единицу   дополнительного   кода: МЕДК=МЕОК+20=10: 00…00, т.е. число 10 (два) в знаковых разрядах числа; • дополнительный код получил такое свое название потому, что представление отрицательных чисел является дополнением прямого кода чисел до машинной единицы МЕдк.  Модифицированные обратные и дополнительные коды двоичных чисел отличаются соответственно от обратных и дополнительных кодов удвоением значений   знаковых   разрядов.   Знак   “+”   в   этих   кодах   кодируется   двумя   нулевыми   знаковыми разрядами,  Пример 2.8.  A10=9   A2=+1001 [A2]П=[A2]OK=[A2]ДК=0:1001   [A2]МОК=[A2]МДК=00:1001;   B10=­9   B2=­1001   [B2]OK=1:0110   [B2]ДК=1:0111 [B2]МОК=11:0110 [B2]МДК=11:0111.    а   “­”   ­   двумя   единичными   разрядами.В   математике   широко   используются   две   формы   записи   чисел: Действия   с   кодами   чисел    .  естественная и нормальная.  При естественной форме число записывается в естественном натуральном виде, например, 23745 ­ целое число, 0,0273 ­ правильная дробь, 3,429 ­ смешанное число. При нормальной форме запись одного числа может быть различной в зависимости от ограничений, накладываемых на ее форму. Например, число 23745 может быть записано так: 23745 = 2,3745 х 104 = 0,23745 х 105 = 237450 х 10­1 и т.д. Коды чисел. Под кодом подразумевается изображение нормализованного числа, в котором слева от запятой стоит символ, отображающий знак этого числа. Принята следующая система кодирования: знак “минус” изображается цифрой 1, знак “плюс” ­ цифрой 0. В   цифровых   вычислительных   машинах   используют   прямой,   обратный и дополнительный   коды.   В запоминающем   устройстве   все   числа   хранятся   в   прямом   коде.   Коды   изображают   следующим образом: прямой ­ [X]пр, обратный ­ [X]обр, дополнительный ­ [X]доп. Положительное число во всех кодах изображается одинаково, причем это изображение совпадает с изображением самого числа X=[X]пр = [X]обр = [X]доп. Изображение отрицательного числа в каждом коде имеет свои особенности. Прямой код. Дробная часть числа остается без изменений, в знаковом разряде записывается единица. Пример 19. X=­,101101; [X]пр = 1,101101. Обратный код. В дробной части числа единицы заменяются нулями, а нули единицами (производится инверсия числа по разрядам). В знаковом разряде записывается единица. Пример 20. X=­0,101101; [X]обр = 1,010010. Дополнительный   код. Образуется   дополнением   единицы   к   младшему   разряду   обратного   кода отрицательного числа.  Пример 21. X=­0,101101; [X]обр = 1,010010; [X]доп = 1,010011. При выполнении арифметических операций вычитания (в общем случае алгебраического сложения) числа представляются в обратном или дополнительном кодах. Затем коды чисел складываются, в результате   чего   получается   обратный   (дополнительный)   код   суммы.   При   необходимости   записи результата   в   запоминающее   устройство   его   переводят   в   прямой   код.   Получение   обратного   и дополнительного кодов из  прямого, а также обратное преобразование не представляют  больших трудностей. Пусть необходимо сложить два числа  X1 = +0,0101 и X2 = ­0,1001. Напрямую   было   бы   необходимо:   произвести   логические   и   арифметические   операции:   оценку модулей и знаков чисел, выбор большего модуля, вычитание меньшего, присвоение результату знака числа, имеющего больший модуль. Получим в итоге X1 + X2 = 0,0101 ­ 0,1001 = ­0,0100. В случае применения обратного или дополнительного кодов операция алгебраического сложения сводится к простому сложению всех разрядов, включая знаковый [X1]обр = 0,0101     [X1]доп = 0,0101 [X2]обр = 1,0110     [X2]доп = 1,0111 [X1 + X2]обр = 1,1011     [X1 + X2]доп = 1,1100 Если   при   сложении   есть   перенос   единицы   в   знаковой   разряд,   то   в обратном   коде   эта   единица добавляется к   младшему   разряду   суммы   (циклический   перенос),   а   в   дополнительном   коде отбрасывается.