Лекция "Матрицы"

Основные определения. Определение. Матрицей размера m´n, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются aij, где i- номер строки, а j- номер столбца. А = Основные действия над матрицами. Матрица может состоять как из одной строки, так и из одного столбца. Вообще говоря, матрица может состоять даже из одного элемента. Определение. Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной. Определение. Матрица вида: Определение. Если amn = anm , то матрица называется симметрической. = E, называется единичной матрицей. Пример. - симметрическая матрица называется диагональной Определение. Квадратная матрица вида матрицей. Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера. Таким образом, возможно определить операции сложения и вычитания матриц: Определение. Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц. cij = aij ± bij С = А + В = В + А. Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число. a (А+В) =aА ± aВ А(a±b) = aА ± bА Пример. Даны матрицы А = ; B = , найти 2А + В. 2А = , 2А + В = Операция умножения матриц. Определение: Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам: A×B = C; . Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй. Свойства операции умножения матриц. 1)Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ ¹ ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких – либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными. Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера. Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка. А×Е = Е×А = А Очевидно, что для любых матриц выполняются следующее свойство: A×O = O; O×A = O, где О – нулевая матрица. 2) Операция перемножения матриц ассоциативна, т.е. если определены произведения АВ и (АВ)С, то определены ВС и А(ВС), и выполняется равенство: (АВ)С=А(ВС). 3) Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к сложению, т.е. если имеют смысл выражения А(В+С) и (А+В)С, то соответственно: А(В + С) = АВ + АС (А + В)С = АС + ВС. 4) Если произведение АВ определено, то для любого числа a верно соотношение: a(AB) = (aA)B = A(aB). 5) Если определено произведение АВ , то определено произведение ВТАТ и выполняется равенство: (АВ)Т = ВТАТ, где индексом Т обозначается транспонированная матрица. 6) Заметим также, что для любых квадратных матриц det (AB) = detA×detB. Что такое det будет рассмотрено ниже. Определение. Матрицу В называют транспонированной матрицей А, а переход от А к В транспонированием, если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы В. ; В = АТ= А = другими словами, bji = aij. В качестве следствия из предыдущего свойства (5) можно записать, что: (ABC)T = CTBTAT, при условии, что определено произведение матриц АВС. Пример. ; Даны матрицы А = , В = , С = и число a = 2. Найти АТВ+aС. AT = ; ATB = × = = ; aC = ; АТВ+aС = + = . Пример. Найти произведение матриц А = и В = . АВ = × = . ВА = × = 2×1 + 4×4 + 1×3 = 2 + 16 + 3 = 21. Пример. Найти произведение матриц А= , В = АВ = × = = . Определители ( детерминанты). Определение. Определителем квадратной матрицы А= число, которое может быть вычислено по элементам матрицы по формуле: det A = называется , где (1) М1к – детерминант матрицы, полученной из исходной вычеркиванием первой строки и k – го столбца. Следует обратить внимание на то, что определители имеют только квадратные матрицы, т.е. матрицы, у которых число строк равно числу столбцов. Формула (1) позволяет вычислить определитель матрицы по первой строке, также справедлива формула вычисления определителя по первому столбцу: det A = (2) Вообще говоря, определитель может вычисляться по любой строке или столбцу матрицы, т.е. справедлива формула: detA = Очевидно, что различные матрицы могут иметь одинаковые определители. Определитель единичной матрицы равен 1. Для указанной матрицы А число М1к называется дополнительным минором элемента матрицы a1k. Таким образом, можно заключить, что каждый элемент матрицы имеет свой дополнительный минор. Дополнительные миноры существуют только в квадратных матрицах.    Определение.   определителю матрицы, полученной из исходной вычеркиванием i­ой строки и j­го столбца.          Свойство1.   Важным свойством определителей является следующее соотношение:        произвольного элемента квадратной матрицы aij      равен      Дополнительный минор   , i = 1,2,…,n. (3)      det A = det A    T  ;          Свойство 2.         det ( A      B) = det A    det B.                Если в квадратной матрице поменять местами какие­либо две строки (или столбца), то   detB               det (AB) = detA   Свойство 3.   Свойство 4.   определитель матрицы изменит знак, не изменившись по абсолютной величине.          Свойство 5.   число.       Свойство 6.     При умножении столбца (или строки) матрицы на число ее определитель умножается на это    Если в матрице А строки или столбцы линейно зависимы, то ее определитель равен нулю. Определение:  линейно зависимыми     Столбцы (строки) матрицы называются      линейная комбинация, равная нулю, имеющая нетривиальные (не равные нулю) решения.     Свойство 7.   Если матрица содержит нулевой столбец или нулевую строку, то ее определитель равен    нулю. (Данное утверждение очевидно, т.к. считать определитель можно именно по нулевой строке или  столбцу.)       Свойство 8.   прибавить(вычесть) элементы другой строки(столбца), умноженные на какое­либо число, не равное нулю.         Определитель матрицы не изменится, если к элементам одной из его строк(столбца)   , если существует их  Свойство 9.   Если для элементов какой­ либо строки или столбца матрицы верно соотношение:      d2   , e = e1    e2 , f = f1    f2 ,    то верно:   d = d1           Пример. Вычислить определитель матрицы А =    = ­5 + 18 + 6 = 19.          Пример:. Даны матрицы А =  , В =  .     Найти det (AB). 1­й способ: det A = 4 – 6 = ­2;       det B = 15        – 152       = ­26.       AB =  ,     det (AB) =   det B = ­26. 2­ й способ:   – 2 = 13;      det (AB) = det A       19 = 126 –  7  18 ­ 8   Элементарные преобразования.  Определение. Элементарными преобразованиями матрицы назовем следующие преобразования:   1) умножение строки на число, отличное от нуля;    2) прибавление к одной строке другой строки;    3) перестановка строк;   4) вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк (столбцов);    5) транспонирование; Те же операции, применяемые для столбцов, также называются элементарными  преобразованиями. С помощью элементарных преобразований можно к какой­либо строке или столбцу  прибавить линейную комбинацию остальных строк ( столбцов ). Миноры. Выше было использовано понятие дополнительного минора матрицы. Дадим определение минора матрицы.   Определение. Если в матрице А выделить несколько произвольных строк и столько же произвольных  столбцов, то определитель, составленный из элементов, расположенных на пересечении этих строк и  столбцов называется минором матрицы А. Если выделено s строк и столбцов, то полученный минор  называется минором порядка s.   Заметим, что вышесказанное применимо не только к квадратным  матрицам, но и к прямоугольным.  Если вычеркнуть из исходной квадратной матрицы А выделенные  строки и столбцы, то определитель полученной матрицы будет являться дополнительным минором.  Алгебраические дополнения.  Определение. Алгебраическим дополнением минора матрицы называется его дополнительный минор , умноженный на (­1) в степени, равной сумме номеров строк и номеров столбцов минора матрицы. В  частном случае, алгебраическим дополнением элемента матрицы называется его минор, взятый со своим  знаком, если сумма номеров столбца и строки, на которых стоит элемент, есть число четное и с  противоположным знаком, если нечетное.   Теорема Лапласа. Если выбрано s строк матрицы с номерами i1, … ,is, то определитель этой  матрицы равен сумме произведений всех миноров, расположенных в выбранных строках на их  алгебраические дополнения.  Обратная матрица. Определим операцию деления матриц как операцию, обратную умножению.   Определение. Если существуют квадратные матрицы Х и А, удовлетворяющие условию: XA = AX = E,  где Е ­ единичная матрица того же самого порядка, то матрица Х называется обратной к матрице А и  обозначается А­1.  Каждая квадратная матрица с определителем, не равным нулю имеет обратную матрицу  и притом только одну.   Рассмотрим общий подход к нахождению обратной матрицы. Исходя из  определения произведения матриц, можно записать: AX = E   , i=(1,n), j=(1,n), eij = 0, i   j, eij = 1, i = j . Таким образом, получаем систему уравнений:  систему, находим элементы матрицы Х.  , Решив эту    Пример. Дана матрица А =  , найти А­1.     Таким образом, А­1= . Однако, такой способ не удобен при нахождении обратных матриц больших порядков, поэтому обычно  применяют следующую формулу:  А.  , где Мji­ дополнительный минор элемента аji матрицы   Пример. Дана матрица А =  , найти А­1. det A = 4 ­ 6 = ­2. M11=4; M12= 3; M21= 2; M22=1  x11= ­2; x12=  1; x21= 3/2; x22= ­1/2 Таким образом, А­1= Cвойства обратных матриц.  Укажем следующие свойства обратных матриц: 1) (A­1)­1 = A;  2) (AB)­1 = B­1A­ 1   3) (AT)­1 = (A­1)T.   При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики” возможно  запустить програрамму, которая находит обратную матрицу и подробно описывает весь ход решения для  .  матрицы размера 3х3.   Пример. Дана матрица А =  , найти А3. А2 = АА =   =  ; A3 =  =  .   Отметим, что матрицы   и   являются  перестановочными.  Пример. Вычислить определитель  .   = ­1    = ­1(6 – 4) – 1(9 – 1) + 2(12 – 2) = ­2 – 8 + 20 = 10.  =  = 2(0 – 2) – 1(0 – 6) = 2.  =   = 2(­4) – 3(­6) = ­8 + 18 = 10.  Значение определителя: ­10 + 6 – 40 = ­44.  Базисный минор матрицы. Ранг матрицы.   Как было сказано выше, минором матрицы порядка s называется определитель матрицы, образованной из  элементов исходной матрицы, находящихся на пересечении каких ­ либо выбранных s строк и s столбцов.   Определение. В матрице порядка mn минор порядка r называется базисным, если он не равен нулю, а  все миноры порядка r+1 и выше равны нулю, или не существуют вовсе, т.е. r совпадает с меньшим из чисел m или n. Столбцы и строки матрицы, на которых стоит базисный минор, также называются базисными.  В  матрице может быть несколько различных базисных миноров, имеющих одинаковый порядок. Определение. Порядок базисного минора матрицы называется рангом матрицы и обозначается Rg А.  Очень важным свойством элементарных преобразований матриц является то, что они не изменяют ранг  матрицы.  Определение. Матрицы, полученные в результате элементарного преобразования, называются  эквивалентными.  Надо отметить, что равные матрицы и эвивалентные матрицы ­ понятия совершенно  различные.   Теорема. Наибольшее число линейно независимых столбцов в матрице равно числу линейно  независимых строк.  Т.к. элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы, то можно  существенно упростить процесс нахождения ранга матрицы.     Пример. Определить ранг матрицы.   ранг матрицы.       ,   RgA = 2.  Пример: Определить   ,   Rg = 2. Пример.   ,   Rg = 2.  Если с  Определить ранг матрицы.  помощью элементарных преобразований не удается найти матрицу, эквивалентную исходной, но меньшего  размера, то нахождение ранга матрицы следует начинать с вычисления миноров наивысшего возможного  порядка. В вышеприведенном примере – это миноры порядка 3. Если хотя бы один из них не равен нулю,  то ранг матрицы равен порядку этого минора.  Теорема о базисном миноре.  Теорема. В произвольной матрице А каждый столбец (строка) является  линейной комбинацией столбцов (строк), в которых расположен базисный минор. Таким образом, ранг произвольной матрицы А равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) в  матрице.    Если А­ квадратная матрица и detA = 0, то по крайней мере один из столбцов – линейная  комбинация остальных столбцов. То же самое справедливо и для строк. Данное утверждение следует из  свойства линейной зависимости при определителе раМатричный метод решения систем линейных  уравнений.   Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных.  Метод удобен для решения систем невысокого порядка.  Метод основан на применении свойств  умножения матриц.   Пусть дана система уравнений:   Составим матрицы: A ; B =  . Систему уравнений можно записать: AX = B. Сделаем  =  следующее преобразование: A­1AX = A­1B, т.к. А­1А = Е, то ЕХ = А­1В Х = А­1В  Для применения  данного метода необходимо находить обратную матрицу, что может быть связано с вычислительными  трудностями при решении систем высокого порядка.   ; X =  Пример. Решить систему уравнений:  Х =  , B =  , A =  Найдем  обратную матрицу А­1.  = det A =  5(4­9) + 1(2 – 12) – 1(3 – 8) = ­25 – 10 +5 = ­30. M11 =  = ­5; M21 =   = 1; M31 =   = ­1; M12 =   M22 =   M32 = M13 =   M23 =   M33 =    A­1 =  ;  Cделаем проверку: AA­1 =  =E. = А­1В =  Находим матрицу Х. Х =  Итого решения системы: x =1; y = 2; z = 3. Несмотря на ограничения возможности применения данного метода и сложность вычислений при больших значениях коэффициентов, а также систем высокого порядка, метод может быть легко реализован на ЭВМ. .   =  вном нулю.