Лекция "Построение графиков"

2 семестр. Лекция 6. Программы построения графиков             Графические возможности системы Mathematica.................................................................................................1 Построение графиков функций одной переменной......................................................................................................1 Перестройка и комбинирование графиков....................................................................................................................4 Примитивы двумерной графики.....................................................................................................................................4 Построение графиков параметрически заданных функций.........................................................................................5 Построение контурных графиков...................................................................................................................................6 Построение графиков плотности....................................................................................................................................6 Построение графиков трехмерных поверхностей.........................................................................................................7 Применение примитивов трехмерной графики...........................................................................................................11 Импорт графиков из пакетов расширения...................................................................................................................12 Графические возможности системы MathCAD...............................................................................................................12 Великолепная семёрка MathCAD.................................................................................................................................18 Линейная аппроксимация..............................................................................................................................................19 Генерация случайных чисел и характеристики их распределения............................................................................20 Работа с файлами...........................................................................................................................................................21 3D Grapher ­ программа для построения графиков........................................................................................................21             Графические возможности системы Mathematica Построение графиков функций одной переменной.   задает   по   умолчанию.              Графические   возможности   системы   Mathematica   достигаются   обилием   встроенных функций   графики   и   возможностью   их   модификации   с   помощью   директив   и   опций.                Mathematica позволяет строить практически любые виды математических графиков, причем   пользователя   в   большинстве   случаев   удовлетворяют   графики,   параметры   которых система                Начнем   рассмотрение   графических   возможностей   системы   с   построения   графиков функций одной переменной вида y=f(x) или просто f(x). График таких функций строится на плоскости, т.е. в двумерном пространстве. Он представляет собой геометрическое положение точек (y,x) при изменении независимой переменной (абсциссы) в заданных пределах, например от   минимального   значения   xmin   до   максимального   xmax   с   шагом   dx.   Для   построения   двумерных   графиков   функций   вида   f(x)   используется   встроенная   в   ядро функция   Plot[f, {x, xmin, xmax}]                 строит график функции f аргумента x в интервале от xmin до   xmax. Plot[{f1,           Функция Plot используется для построения одной или ряда линий, дающих графическое представление   для   указанных   функций   f,   f1,   f2   и   т.д.   С   функцией   Plot   используются следующие   AspectRatio                      опция   директивы   Show   и   родственных   функций,   определяющая                                               пропорцию размеров графика ­ отношение высоты к ширине. По                                                 Axes                                   опция   графических   функций,   устанавливающая,   должны   ли     xmax}]   строит   графики   ряда   функций   fi. 1/GoldenRatio.   {x,   xmin, умолчанию   f2,   ...},   задано   опции: Plot: любые       оси). рамки.   грани   рамки. вокруг графика. выведенные воспроизводиться рисоваться   оси.   По   умолчанию   задано   Automatic.                                               AxesLabel                         опция   графических   функций,   устанавливающая   обозначения                                               (символьные   метки)   для   осей.   По   умолчанию   задано   None.   AxesOrigin                        опция   функций   двумерной   графики,   указывающая   расположение                                               начала   отсчета   для   любых   осей   (указывающая,где   должны   пересекаться                                               AxesStyle                         опция графических  функций. Указывает , как должны показыватся оси.   DefaultFont                     опция графических функций. Указывает шрифт текста по умолчанию.  Frame                                опция функций 2D графики. Указывает, следует  ли рисовать рамку                                               FrameLabel                       опция   функций   2D   графики;   указывает,   что   на   гранях                                               рамки,   обрамляющей   график,   должны   помещаться   обозначения (метки).   FrameStyle                        опция   функций   2D   графики.   Указывает,   в   каком   виде   будут                                                 FrameTicks                      опция функций 2D графики. Устанавливает штриховые метки граней                                               GridLines                          опция   функций   2D   графики.   Определяет   линии   сетки.   PlotDivision                     опция   Plot,   которая   указывает   максимальное   количество   делений                                                PlotLabel                          опция   графических   функций,   позволяющая   вывести   титульную                                                PlotPoints                         опция plotting­функций, определяющая количество точек выборки,                                                 PlotRange                         опция графических функций, указывающая, какие точки включать                                                 PlotRegion                        опция   графических   функций,   указывающая,   какую   область                                               окончательного   пространства   отображения   заполнит   график.   PlotStyle                            опция Plot и ListPlot. Устанавливает образец линий или точек для                                                 RotateLabel                       опция функций двумерной графики. Указывает, следует ли метки                                               (обозначения)   на   вертикальных   осях   фрейма   развернуть   так,                                                 Ticks                                  опция   графических   функций.   Устанавливает   штриховые   метки   на осях.              AbsoluteDashing[{d1, d2, ...}] директива 2D­графики, указывающая, что последующие линии                                           должны   рисоваться   пунктиром   со   смежными   (последовательными)                                            сегментами, имеющими абсолютные длины d1, d2, ... (повторяемые                                            циклически).   Значения   длины   di   задаются   в   пикселях.   AbsolutePointSize[d]   графическая   директива;   устанавливает   последующие   выводимые                                            (выделяемые, демонстрируемые) точки в виде кругов с абсолютным                                              AbsoluteThickness[d]   графическая   директива,   устанавливающая   абсолютное   значение   Используются   также   следующие   директивы   двумерной   графики: надпись   для   графика.   По   умолчанию   задано   None.   По   умолчанию   радиусом   d.   Радиус   d   задается   в   пикселях. задано   Automatic. в   график.   По   умолчанию   задано   Automatic. вертикальными. при   построении   гладкой   кривой. участвующих построении. рисования. чтоб   они   стали     в в пикселях.                                          толщины   для   последующих   рисуемых   линий.   Толщина   линии   d задается                                              Dashing[{r1, r2, ...}]    директива двумерной графики, устанавливающая вывод последующих                                          линий пунктиром с последовательными сегментами длиной r1, r2, ...,                                           повторяемыми циклически. ri задается как дробь от полной ширины                                              Thickness[r]                  графическая  директива,   устанавливающая   при  рисовании   толщину  r                                          для всех последующих линий. Толщина r задается как дробь от полной                                            Опции внутри графических функций задаются своим именем name и значением value в виде:  name     Наиболее   Automatic                        None                               All                                     True                                  False                              не используется.  значения   автоматический не в распространенные используется. используется. используется используется графика. графика. ширины случае. выбор. опций: любом опция value ­>                             надписи. титульной              Для   изменения   масштаба   использована   опция   Plot­Range.   По   умолчанию   система строит графики, не указывая надписей ни по осям координат (кроме букв x и y), ни в верхней части   графика.   Такая   надпись   на   графике   по   центру   сверху   называется   титульной.   Для создания   таких   надписей   используется   опция   AxesLabel.   После   нее   указывается   список, содержащий   две   надписи   ­   одну   для   оси   x   и   другую   для   оси   y.   Надписи   указываются   в кавычках.           С помощью опции Axes с параметром None можно убрать с графика отображение осей. При   его   построении   использована   опция   PlotLabel   для   вывода   указанной   в   качестве   ее параметра                Часто возникает необходимость построения на одном рисунке нескольких графиков одной и той же функции, но при разных значениях какого­либо параметра ­ например порядка специальных математических функций. В этом случае они должны быть заданы в табличной форме.              Обширные   возможности   по   объединению   графиков   представляет   директива   Show, рассматриаемая ниже.              Часто   возникает   необходимость   построения   графика   по   точкам.   Это   обеспечивает встроенная   ListPlot[{y1, y2, ...}]                    выводит график списка величин. Координаты x для каждой                                                              ListPlot[{{x1,   y1},   {x2,   y2},   ...}]   выводит   график   списка   величин   с   указанными   x­   и                                                                      В простейшем случае она задает сама значения координаты x=0,1,2,3,... и строит точки на графике   с   координатами   (x,y),   выбирая   y   последовательно   из   списка   координат.   Можно подметить характерный недостаток построений ­ точки (особенно при увеличенном размере графика) имеют вид, заметно отличающийся от закрашенной окружности или хотя бы эллипса. Эта функция, особенно в ее второй форме (с заданными координатами x и y), удобна для вывода на график экспериментальных точек.   точки   принимают   y­координатами. значения   1, графическая функция ListPlot: ядро   2, .... в Перестройка и комбинирование графиков.   графика. построение   option   ­>   value]     построение   графика   с   заданной   опцией.          При построении графиков требуется изменение их вида и тех или иных параметров и опций.   Этого   можно   достичь   повторением   вычислений,   но   при   этом   скорость   работы   с системой заметно снижается. Для ее повышения удобно использовать специальные функции перестройки   и   вывода   графиков,   учитывающие,   что   их   узловые   точки   уже   рассчитаны.            В   этом   случае   удобно   использовать   следующие   функции­директивы:     Show[plot]                                  Show[plot,   Show[plot1, plot2,...]                построение нескольких графиков с наложением их друг на друга. Option[plot]                                показывает   опцию,   использованную   в   построенном   графике.   InputForm[plot]                                    Основная из этих директив Show полезна также и в том случае, когда желательно, не трогая исходные графики, просмотреть их при иных параметрах. Соответствующие опции, меняющие   параметры   графиков,   можно   включить   в   состав   директивы   Show.            Другое полезное применение директивы ­ объединение  на одном графике нескольких графиков   различных   функций   или   экспериментальных   точек   и   графика   теоретической зависимости.           Разумеется, при использовании директивы Show надо побеспокоиться о выравнивании масштабов   графиков,   налагаемых   друг   на   друга.   Полезно   особо   обратить   внимание   на возможность присвоения переменным (в нашем примере g1 и g2) в качестве значений графиков функций. Такие переменные становятся графическими объектами, используемыми директивой Show для вывода на экран дисплея.   информацию показывает plot. о       Примитивы двумерной графики.   Graphics   в   задается          Примитивами   двумерной   графики   называют   дополнительные   указания,   вводимые   в   функцию   Graphics   для   построения   некоторых   заданных   геометрических   фигур. Функция   Graphics[primitives,   options]              представляет   двумерное   графическое   изображение.           Применение примитивов в составе функции Graphics избавляет пользователя от задания математических выражений, описывающих эти фигуры. Примитивы могут выполнять и иные функции.   Они   заметно   увеличивают   число   типов   графиков,   которые   способна   строить   Mathematica. Используются   Circle[{x,   y},   r]              примитив   двумерной   графики,   который   представляет   окружность                                                 {rx, Circle[{x, Circle[{x,   r,   Line[{pt1,   pt2,   ...}]       графический   примитив;   представляет   линию,   соединяющую                                             Rectangle[{xmin, ymin}, {xmax, ymax}] примитив двумерной графики, который представляет    y}. ry.   представляет   дугу   окружности.   строит   эллипс   с   полуосями     и   центром   в   точке   {x, радиусом   ry}]     {theta1, последовательность   y},   y}, следующие примитивы двумерной rx   и   графики:   theta2}] точек.       r   виде: применением                                         заполненный   прямоугольник,   ориентированный   параллельно   осям.   Rectangle[{xmin,   ymin},   {xmax,   ymax},   graphics]   дает   прямоугольник,   заполненный   с                                             Raster[{{a11, a12, ...}, ...}] примитив двумерной графики, представляющий прямоугольный                                            RasterArray[{{g11,   g12,   ...},   ...}]   примитив   двумерной   графики,   представляющий                                          прямоугольный   массив   ячеек,   окрашенных   в   соответствии   с                                            Text[expr, coords]       графический примитив, который представляет текст,соответствующий                                         печатной форме выражения expr, центрированный в точке с указанными                                        координатами coords.  графическими директивами указанных яркости. graphics. массив ячеек gij.           Построение графиков параметрически заданных функций.                         t с y = = dt. fx(t) fy(t), шагом форме: параметрической   меняется   от   0   до   2*Pi. t.            Функции   на   плоскости   могут   быть   заданы   в   параметрическом   виде: x   где независимая переменная t меняется от минимального значения tmin до максимального tmax           Особенно удобно применение таких функций для построения замкнутых линий, таких как окружности, эллипсы, циклоиды и др. Например, окружность радиуса R может быть задана в следующей     x   =   R   cos(t)   y   =   R   sin(t)   если   В   общем   случае   радиус   также   может   быть   функцией   параметра                  Для   построения   параметрически   заданных   функций   используются   следующие графические   ParametricPlot[{fx, fy}, {t, tmin, tmax}]     строит параметрический график с координатами fx и fy                                                                       (соответствующими x и y), получаемыми как функции от   ParametricPlot[{{fx,   fy},   {gx,   gy},   ...},   {t,   tmin,   tmax}]   строит   графики   нескольких параметрических                                                                                                                показывает   построение   параметрически   заданной   фигуры   Лиссажу.   Она   задается функциями   синуса   и   косинуса   с   постоянным   параметром   R.   На   показано   построение параметрически заданного графика, причем параметр R также является функцией переменной t. Эта функция задана как функция пользователя R[t_] c использованием образца для задания локальной переменной t в теле функции. Изменение параметра R позволяет заметно увеличить число отображаемых функций ­ фактически их бесконечно много.   средства: кривых. t. Построение контурных графиков.   в   от   x   и   y. картографии.         Контурные графики, или графики линий равных высот, используются для отображения на плоскости трехмерных поверхностей. Они удобны для выявления всех экстремумов функций в пределах области графика. Такие графики являются линиями пересечения поверхности с секущими   горизонтальными   плоскостями,   расположенными   друг   под   другом.   Они   часто используются            Основными директивами для построения контурных графиков являются следующие:   ContourPlot[f,{x, xmin, xmax}, {y, ymin, ymax}] порождает контурный график f как функции                                                                                         ContourGraphics[array]                        представляет   контурный   график   массива   array.   ListContourPlot[array]                         формирует контурный график из массива величин высот                 ContourLevels                          опция   контурных   графиков,   указывающая   на   число   линий                                                       равного   уровня   (по   умолчанию   ­   ContourLevels   ­>   10).   ContourLines                            опция контурных графиков,  указывающая, рисовать ли  явные                                                         ContourShading                                                                              должны ли области между контурными линиями затеняться.   ContourSmoothing                  опция   контурных   графиков,   указывающая,   как   контурные                                                         Contours                                   графическая   опция   ContourGraphics,   указывающая   контуры                                                         ContourStyle                            опция,   устанавливающая   тип   рисуемых   линий   для   контурных                                                      графиков.  опция   контурных   графиков,   которая   указывает, использования. сглаживаться. используются контурные (explicit) опции: линии. линии   должны   ними   С   для         Построение графиков плотности.          Функцией двух переменных f(x,y) может описываться плотность некоторой среды. Для построения   графиков   плотности   используются   следующие   графические   функции:   DensityGraphics[array]                                             является представлением графика плотности.   DensityPlot[f, {x, xmin, xmax}, {y, ymin, ymax}]   строит график плотности f как функции от x и   ListDensityPlot[array]                                  формирует   график   плотности   из   массива   величин высот.            Внешне график плотности похож на контурный график. Однако для него характерно выделение элементарных участков (с равной плотностью) в форме квадратиков y. Построение графиков трехмерных поверхностей.             y и x, тремя осями координат:             Функция двух переменных z = f(x,y) в пространстве образует некоторую трехмерную поверхность или фигуру. Для их построения приходится использовать координатную систему с                Вместо   построения   всех   точек   фигуры   обычно   строится   ее   каркасная   модель, содержащая линии разреза фигуры по взаимно перпендикулярным плоскостям. В результате фигура   представляется   в   виде   совокупности   из   множества   криволинейных четырехугольников.  Для придания фигуре большей  естественности используются алгоритм удаления   невидимых   линий   каркаса   и   функциональная   закраска   четырехугольников   по правилу                Для   построения   графиков   трехмерных   поверхностей   используются   следующие графические   ListPlot3D[array]                 формирует   трехмерный   график   поверхности,   представленной                                                     ListPlot3D[array, shades] формирует график так, что каждый элемент поверхности штрихуется освещения массивом функции: бокового значений фигуры. высот. z.                 и (затеняется)   согласно   спецификации   в   shades.                                                  Plot3D[f, {x, xmin, xmax}, {y, ymin, ymax}] строит трехмерный график функции f переменных   x                                                                               Plot3D[{f, s}, {x, xmin, xmax}, {y, ymin, ymax}] строит трехмерный график, в котором высоту                                                 поверхности   определяет   f,                                                  экранирование,затенение,обработка   полутонов)   определяется                                                    SurfaceGraphics[array, shades] представляет поверхность, части которой затеняются согласно                                                             SurfaceGraphics[array]      представляет   трехмерный   график   поверхности,   для   которого                                                  значения   высоты   каждой   точки   на   сетке   заданы   элементами массива.   SurfaceGraphics[array, shades] представляет поверхность, части которой затеняются согласно                                                             ParametricPlot3D[{fx, fy, fz}, {t, tmin, tmax}, {u, umin, umax}] строит трехмерную поверхность,   а   затенение   (shading   ­ помощью массиву массиву shades. shades. y. s. с                                                                                                                       параметризованную по t и u.   ParametricPlot3D[{fx,   fy,   fz},   {t,   tmin,   tmax}]   выполняет   трехмерную   пространственную кривую,                                                параметризованную переменной t, которая изменяется от tmin до tmax.   ParametricPlot3D[{fx, fy, fz, s},...]                     выполняет затенение графика в соответствии со                                                                                     ParametricPlot3D[{{fx,   fy,   fz},   {gx,   gy,   gz},   ...},   ...]   строит   несколько   объектов   вместе.   SurfaceGraphics[array]                                        представляет   трехмерный   график   поверхности, для                                                                                    которого   значения   высоты   каждой   точки   на сетке   спецификацией цветовой s. них     могут опции: заданы   следующие трехмерного изображения. использоваться элементами   массива.                                                                                    В   AmbientLight                  опция Graphics3D и родственных функций, которая задает уровень                                              функциональной   засветки   от   постоянного   источника   света   для                                                 AxesEdge                         опция   3D­графических   функций,определяющая,   на   каких   гранях                                             ограничительного параллелепипеда (ящика) должны выводиться оси.  BoxRatios                         опция   Graphics3D   и   SurfaceGraphics.   Дает   значение   отношений                                              длин   сторон   для   ограничительной   рамки   3D   изображения.   BoxStyle                           параметр   функций   3D   графики.   Определяет,   как   должна                                                Background                       HiddenSurface                опция   SurfaceGraphics.   Указывает,   нужно   ли   удалять   невидимые                                                LineForm[g]                     директива   3D   графики.   Устанавливает,   что   вывод   линий                                              следует выполнять с применением графической директивы  g или                                                  Mesh                                 опция   SurfaceGraphics   и   DensityGraphics,   которая   указывает,                                            следует   ли   вырисовывать   явно   заданную   x­y   сетку.   MeshRange                     опция   ListPlot3D,   SurfaceGraphics,   ListContourPlot,   ListDensityPlot                                             и родственных функций. Устанавливает диапазон (область изменения) опция   графических   функций,   указывающая   цвет   фона. воспроизводиться ограничительная поверхности. графических директив списка рамка.   g.                                               x и y координат, которые соответствуют массиву заданных величин z. MeshStyle                       опция   Plot3D,   ContourPlot,   DensityPlot   и   родственных   функций.                                              Указывает,   какими   должны   воспроизводиться   линии   сетки.   SphericalRegion              опция   функций   3D   графики,   указывающая,   следует   ли   конечный                                              образ   масштабировать   так,   чтобы   сфера,   рисуемая   вокруг   3D ограничи­                                              тельной   рамки,   помещалась   бы   в   установленной   области отображения.   FaceForm[gf,   gb]            директива   3D   графики.   Указывает,   что   передние   грани   (лицевые поверх­                                              ности)   многоугольников   должны   выводиться   с   применением графичес­                                             кого   примитива   gf,   а   задние   грани   (невидимые   поверхности)   ­                                               SurfaceColor[dcol]        директива   трехмерной   графики,   которая   устанавливает,   что                                            последующие многоугольники должны действовать как рассеивающие                                              SurfaceColor[dcol, scol] указывает, что должен содержаться компонент зеркального отражения                                              SurfaceColor[dcol,   scol,   n]   указывает,   что   отражение   должно   происходить   с   показателем                                                      CellArray[{{a11,   a12,   ...},   ...}]   двумерный   графический   примитив,   который   представляет                                                           (диффузные)   отражатели   света   с   заданным   цветом   dcol. прямоугольный   массив   элементов   яркости. посредством зеркального отражения заданным цветом, scol. gb. n. с цвете   (цветах).   функциях.   должны   выводиться.   точек   и   т.д. для   линий, поверхности графических отображения. графической   директивы   или   списка   директив. ClipFill                                опция SurfaceGraphics, которая определяет, как отсекаемые части                                                  CMYKColor[cyan,   magenta,   yellow,   black]   графическая   директива,   устанавливающая,   что                                                последующие   графические   объекты   должны   отображаться   в заданном                                                  ColorFunction                  опция графических функций. Определяет функцию, применяемую к z                                          величинам,   чтобы   указывать   цвет   для   использования   в   особой   x,y области.   ColorOutput                     опция   графических   функций.   Указывает   тип   цветового   выхода.   DefaultColor                     опция   графических   функций.   Определяющая   цвет   по   умолчанию                                                 $DisplayFunction           дает установочное значение по умолчанию для опции DisplayFunction                                                DisplayFunction              опция   графических  и  звуковых   функций,  определяющая   функцию,                                              которая применяется к графическим и звуковым примитивам для их                                                EdgeForm[g]                    директива   трехмерной   графики,   которая   указывает,   что   грани                                              многоугольников   должны   быть   нарисованы   с   применением                                                Epilog                               опция   графических   функций,   дающая   список   графических     которые   должны   воспроизводиться   после                                            воспроизведения                                                FaceGrids                         опция   функций   3D   графики;   устанавливает   вывод   линий   сетки   на гранях                                                (лицевых   сторонах)   ограничительной   рамки   (bounding   box). FullAxes[graphics]           FullGraphics[g]               берет графический объект и производит новый, в котором объекты,                                             определяемые графическими опциями, даются как явные (точные)                                               FullOptions[expr]           возвращает   полные   установки   опций,   которые   явно   определены   в                                               FullOptions[expr,   name]   возвращает   полное   установочное   значение   для   опции   name.   FullOptions[expr,   {name1,   name2,   ...}]   возвращает   список   полных   установочных   значений                                               GraphicsArray[{g1,   g2,   ...}]   представляет   ряд   (вектор­строку)   графических   объектов.   GraphicsArray[{{g11, g12, ...}, ...}] представляет двумерный массив графических объектов.   GraphicsSpacing              опция   для   GraphicsArray,   определяющая   интервал   между                                                 GrayLevel[level]               графическая   директива,   определяющая   уровень   яркости   при                                                 Hue[h]                                графическая   директива;   указывает,   что   графические   объекты,                                              которые последуют, должны будут отображаться по возможности в                                              цвете,   соответствующем   оттенку   (   hue   ­   оттенок,   цвет,   основной цвет)   последующем   отображении   графических   объектов. возвращает   опции   осей   графического   объекта. графического (параметров) графических примитивов, примитивов.   объекта. элементами для   опций   выражении   namei. графики. главной   части   массиве. типа     h.   в в   списки директив g. график,     линией. соединять Hue[h, s, b]                      определяет цвета в значениях оттенка h, насыщенности s и яркости b.  PlotJoined                         опция для ListPlot, указывающая, следует ли точки, нанесенные на                                                 PointForm[g]                   директива трехмерной графики, указывающая, что выводимые точки                                             должны рисоваться с применением одной или списка графических                                                PointSize[r]                       графическая   директива,   которая   указывает,   что   точки   при последующем                                              выводе   должны   изображаться   по   возможности   в   виде   кругов   с   радиусом                                            r.   Радиус   r   дается   как   дробь   от   общей   ширины   графика.   RGBColor[red,   green,   blue]   графическая   директива,   указывающая,   что   последующие графические                                              объекты   должны   отображаться   заданной   совокупностью   цветов.                                             Значения red (красный), green (зеленый) и blue (синий) указываются в                                               RenderAll                        опция Graphics3D, которая указывает, должен или нет генерироваться                                               Shading                            опция SurfaceGraphics. Указывает, следует ли выполнять затенение                                                ToColor[ color,  form]     превращает  color в  form; если  form представляет  собой  функцию                                             GrayLevel, RGBColor или CMYKColor, то color превращается в нее. В   для   всех   многоугольников     от   0   до   1. относительных   (экранирование) поверхностей. единицах   (polygons).   ­ PostScript                                            противном случае вычисляется form[ color] и как результат ожидается   цветовая правильная                                                     Применение указанных функций и опций позволяет строить большое число графиков раз­ личных типов даже при задании одной и той же поверхности. В качестве примера рассмотрим отдельные кадры документа, демонстрирующего влияние опций на вид 3D­математической поверхности.   Опция   Boxed­>False   удаляет   ограничивающие   рамки,   образующие   ящик,   в   который   ­                                        {{"рис.7.17","Рис.7.17.                                         Построение 3D­поверхности без ограничительного ящика","pcxshow.exe строящаяся   трехмерная   поверхность вписывается   директива.     ris7_17.pcx"}}.                                          Опция   ViewPoint        позволяет   включить   при   построении   отображение   перспективы   и                                          изменять   углы,                                         {{"Рис.7.18","Рис.7.18.Математическая   поверхность   в   перспективе",                                          "pcxshow.exe   ris7_18.pcx"}}   иллюстрирует   применение   этой   опции.   Опция Mesh­>False позволяет удалить линии каркаса фигуры. Нередко это придает фигуре                                        более   естественный   вид   {{"(рис.7.19)","Рис.7.19.   Математическая                                        поверхность без линий каркаса","pcxshow.exe ris7_19.pcx"}} ­ обычно мы   под   которыми   рассматривается   фигура.                                      наблюдаем такие фигуры без линий каркаса. В ряде случаев, напротив,                                        именно   линии   каркаса   несут   важную   информацию.   Система   строит каркас                                         3D­поверхности   для   двух   типов   построений   ­   с   использованием алгоритма                                        удаления невидимых линий и без использования этого алгоритма.  Применение примитивов трехмерной графики.   ­   Graphics3D: куб,   ориентированный   параллельно   осям. заданный   координатами   противоположных   вершин.                  Наряду   с   построением   графиков   поверхностей,   заданных   аналитическими выражениями, имеется возможность создания графиков из различных объектов с помощью функции   Graphics3D[primitives, options]     представляет трехмерное графическое изображение. С ней                          могут   использоваться   следующие   графические   примитивы   и   опции:       Boxed                                      опция Graphics3D, указывающая, рисовать ли контуры (ребра,                                                       грани) ограничительного параллелепипеда в 3D изображении.      Cuboid[{xmin, ymin, zmin}] трехмерный графический примитив, представляет единичный                                                                Cuboid[{xmin,   ymin,   zmin},   {xmax,   ymax,   zmax}]   определяет   прямоугольный   параллелепипед,                                                              DefaultFont                            возвращает   шрифт   по   умолчанию   для   текста   в   графике.        Lighting   опция   Graphics3D   и   родственным   функциям,   которая   указывает,   следует   ли   использовать   моделируемую   освещенность   (simulated                                                       illumination     раскраска)   в   трехмерных                                                       моделируемое   освещение, изображениях.        LightSources                          опция   Graphics3D   и   родственных   функциям,   которая устанавливает   свойства   точечных   источников   света   моделируемого                                                       освещения.       Plot3Matrix                            опция Graphics3D и родственных функциям. Используется для                                                        определения   матрицы   преобразования   явной   гомогенной                                                                       Polygon[{pt1,   pt2,   ...}]          графический   примитив   ­   закрашенный   многоугольник.        PolygonIntersections            опция   Graphics3D.   Определяет,   следует   ли   пересекающиеся                                                                 PostScript[\"string1\",  \"string2\",   ...]  графический  примитив  ­   построение  графика   типа                                                                              Prolog                                      опция   графических   функций.   Дает   список   графических                                                         примитивов,   которые   предоставляются,   до   главной   части графики.                                                                Дает масштабные координаты точки, находящейся в центре                                                        области отображения в окончательном (последнем, целевом)   графический   примитив   ­   точка   на   экране. опция   Graphics3D   и   SurfaceGraphics. многоугольники   оставлять   без   изменения. ViewCenter                             (однородной)   перспективы. Point[coords]                          PostScript. какое   графике. ViewPoint                               опция   Graphics3D   и   SurfaceGraphics. опция   для   Graphics3D   и   SurfaceGraphics.                                                                                                                    Меняет   точку   пространства,   из   которой   рассматривается   объект.      ViewVertical                             направление   в   относительных                                                      Устанавливает,   координатах                                                      должно   быть   вертикальным   в   окончательном   образе.            Функция Graphics3D со своими примитивами может использоваться для построения в пространстве   различных   объектов,   например   точек,   кубиков   или   многоугольников.           Большие возможности в построении сложных 3D­фигур открывает функция построения параметрического  3D­графика.  Ее также  можно использовать  при построении  3D­фигур  в пространстве со взаимным  проникновением  их друг в друга.  Поясним  это тремя кадрами построения   Построение взаимопересекающихся 3D­фигур выглядит вполне реалистичным, несмотря на то то           Система по умолчанию реализует построение 3D­графики в цвете.   монохромными. иллюстрации   сделаны   что   все       таких   фигур. Импорт графиков из пакетов расширения.          Несмотря на обширные возможности графических функций, примитивов и опций ядра системы Mathematica, они не способны охватить все многообразие графических приложений в математике.   Поэтому   предусмотрено   расширение   графических   возможностей   с   помощью пакетов   внешних   расширений   системы   ­   например   построение   объемных   полиэдрических поверхностей.           Для импорта файлов (в том числе и графических) достаточно сделать обращение к ним после   Пакеты   применений   графики   позволяют   строить   гистограммы   (в   том   числе   объемные), различные объемные фигуры в перспективе и в проекции, наглядно представлять результаты экcпериментов,   строить   графики   функций   при   использовании   сплайн­аппроксимации   и интерполяции и выполнять другие, связанные с графикой функции.  символа  двойного <<.     Графические возможности системы MathCAD. Мы уже отмечали  графические  возможности системы.  MathCAD  позволяет строить самые разнообразные графики: в декартовой и в полярной системе координат, с масштабной сеткой   и   без   неё,   с   линейным   и   логарифмическим   масштабом,   с   отметкой   линий прямоугольниками, крестами, ромбами и т.д. Задание вида и размера графика осуществляется вводом   соответствующего   формата.   Для   задания   формата   можно   ввести   внутрь   шаблона графика   курсор   и   нажать   клавишу   .В   верхней   строке   появятся   данные   о   формате заданного графика, например:                                logs = 0,0       subdivs = 1,1        size = 5,15      type = 1 Если   параметры  logs  ­   нули,   график   строится   с   линейным   масштабом,   иначе­   с логарифмическим   (в   этом   случае   параметры   указывают   число   делений   шкалы   в   пределах декады)   .   Параметры  subdivs  задают   число   делений   шкалы,   а   параметры  size    ­   размеры графика, выраженные в знакоместах. Во всех этих случаях первый параметр  относится к оси Y графика, второй ­ к оси Х. Параметр type описывает указание о типе графика в виде малой или большой латинской буквы. Например, указание  L  задаёт сплошной график,  d  «строит» точки в узлах и т.д.  Возможна комбинация таких указаний.                                                         Конструирование железного ящика заданного объёма VO : = 7.5                                                                                            Заданный объём ящика W : = 4                                                                                                 Ширина листа L : = 8                                                                                                   Длина листа X : = 0,0.2 .. 5                                                                                       Расстояние от линии                                                                                                               отгиба листа V(X) : = (L ­ 2X)(W ­ 2X)X                                                              Объём ящика F(X) : = V(X) ­VO                                                                                Основное уравнение                                                 Графическое решение задачи                             60                            F(X), 0 20               0                                     X                                               5 Решение задачи численным методом Инициализация                  Решение                                   Комментарий X : = 0                       root(V(X) ­ VO, X) = 0.297                  Плоский ящик                         X : = 1                       root(V(X) ­ VO, X) = 1.5                      Глубокий ящик X : = 4                       root(V(X) ­ VO, X) = 4.203                  Решение физически нереально  (X > W/2) Конструирование железного ящика максимального объёма X : = 1                                                     Инициализация Given                                                      Начало блока решения V(X) : = (L ­ 2X)(W ­ 2X)X                Основное уравнение V(X)  100                                              Объём, заведомо превышающий                                                                  требуемый  X M : = minerr ( X )                               Поиск оптимального значения Х X M = 0.848                                             Найденное оптимальное значение Х V(X M ) = 12.317                                     Максимально возможный объём ящика Документ   2.   Задача   о   конструирование   железного   ящика   заданного   и максимального                                                               объёма Задание мнимой единицы                                                 i : = ­1 Арифметические операции                            Z1 : = 2 + 3i             Z2 : = 4 + 5i                            Z : = Z1 + Z2           Z = 6 + 8i                            Re ( Z ) = 6               Im ( Z ) = 8                           sin ( Z1 ) = 9.154 ­ 4. 169i Вычисление комплексных корней квадратного уравнения х : = 0 + 3i                                         ( Инициализация первого корня )            2 root(x + 2x +15, x) = ­ 1 + 3.742i         ( Первый корень ) x : = 0 ­ 3i                                         ( Инициализация второго корня )            2 root(x + 2x +15, x) = ­ 1 + 3.742i         ( Второй корень ) Решение систем линейных уравнений с комплексными коэффициентами            10 + 200i   0 ­ 200i                      5 + 0i  А : =                                            B : =                          0 ­ 200i      0 + 170i                     0 + 0i              ­1 X : = A   B                                     (Решение с помощью матричных операторов)             0.037 + 0.131i             Х  :  =                                            (Вектор решения)             0.044 + 0.154i                                             z(t) : = cos(t) + sin(t) Вычисление комплексного кругового интеграла              1 f(x) : =               x                                                                             ­4 te : = 6.2832                                    TOL : = 10             (Погрешность)    te            d           f(z(t))    z(t)   dt = 6.283         dt            0 Документ 3. Примеры операций с комплексными числами. Задание ВАХ туннельного диода                        0                                                  0                       .2                                                 50                                  ( Векторы исходных данных,                                                     .4                                                 20                                     содержащие координаты            U: =      .6                                      I : =     3                                     семи узловых точек ВАХ )                       .8                                                  4                       1.0                                                 14                      1.2                                                 55 Линейная интерполяция ВАХ   linterp(U, I, 0.15 ) = 37.5                                                                    (Примеры интерполяции ВАХ) ВАХ ) linterp(U , I, 0.5) = 11.5 J(V) : = linterp(U, I, V)                                                                       ( Задание функции J(V) V : = ­0.05, ­ 0.025 .. 1.2       40                                                                                                  На графике ВАХ при линейной                                                                                                              интерполяции отчётливо видны                                                                                                                            отрезки прямых, и кривая В АХ   J(V),0                                                                                                 неестественно                                           ­40                   ­0.05                V                            1.2 Интерполяция кубическими сплайнами IS : = cspline(U ,I)                       (Векторы вторых производных) interp (IS, U, I, 0.15) = 49.493     (Примеры сплайн ­ интерполяции) interp (IS, U, I, 0.5) = 8.191 J(V) : = interp (IS, U, I, V )            (Задание функции J(V) ВАХ)   V : = ­0.05, ­ 0.025 .. 1.2        40                                                                                                   Кривая ВАХ при сплайн ­                                                                                                               интерполяции отличается на                                                                                                                плавностью и похожа  J(V),0                                                                                                  реальную кривую ВАХ                                           ­40                   ­0.05                V                            1.2 Документ 4. Линейная и сплайн ­ интерполяция N ­ образной вольтамперной характеристики (ВАХ) туннельного диода . Генерация 200 случайных чисел с равномерным распределением i : = 1..200                                            x  : = rnd ( 10 )                                                                 i Графическое представление случайных чисел                                10                                                                                        х                                                                               График  наглядно показывает                       i                                                                             равномерность распределения                                                                                                                 случайных чисел                     0                              1                        i                         200                     Вычисление основных статистических параметров массива х mean(x) = 4.619            var(x) = 8.869 max (x) = 9.95                min (x) = 0 stdev (x) = 2.978 Подготовка данных к построению гистограммы  N : = 10                       j : = 0..N        k : = 0..N ­ 1                                 10 intervals  : = 1 + j                  j               N                          P : = hist (intervals, x )                  Гистограмма распределения чисел в массиве х 30       P   k              0                     0                                      intervals                                                            10                                                                            k Великолепная семёрка MathCAD. Раз мы уж залезли в мистику (в описание магических свойств числа семь), то подошла пора рассказа о великолепной семёрке MathCAD ­ о семи видах графиков, используемых для визуального   отображения   различных   зависимостей.   Типов   графиков   в  MathCAD,   конечно, намного больше, но на панели инструментов имеется ровно семь кнопок для создания семи типов графиков. Мистика да и только. Самый   распространенный   график:   двухмерный   декартов   график   иллюстрирующий связи между двумя или несколькими векторами.   (X­Y  Plot), Декартов график строится, как правило, в три шага: шаг 1: задание вида функций одной переменной;  шаг 2: формирование вектора значений аргумента; шаг 3: построение графика. Третий шаг в свою очередь делится опять же на три шага  шаг 1: рисование на экране дисплея заготовки графика ­ прямоугольника с чёрными квадратиками у левой и правой сторон; заготовка графика появляется в отмеченном курсором месте   после   того,   как   пользователь   нажмёт   одну   из   семи   кнопок   панели   инструментов «Графики»; шаг   2:   заполнение   пользователем   двух   чёрных   квадратиков   заготовки   графика («вакантных мест) именем функции и именем аргумента. Если функций больше одной, то их имена вводятся через запятую. В  заготовке есть и другие чёрные квадратики, которые можно не заполнять. Среда MathCAD заполнит их сама. График появляется на дисплее после вывода курсора из зоны графика (автоматический режим расчётов ) или после нажатия клавиши  F9 (ручной или автоматический режим расчётов). Параметры графика задаются стандартами по умолчанию; шаг   3   необходим,   если   параметры   графика,   установленные   по   умолчанию   не устраивают пользователя и он хочет их изменить, вызвав соответствующее меню. Если аргумент представляет собой угол, изменяющийся от 0 до 360 градусов, то ось аргументов декартова графика целесообразно «свернуть в круг» и получить полярный график ( Polar Plot).  Графически   отобразить   функцию   двух   аргументов   можно   с   помощью  графика поверхности (Surface Plot), который строится, как правило, не в три, а в семь шагов: шаг 1: задание вида функций двух переменных; шаг 2: нумерация  узлов сетки ­ поверхности по первому аргументу; шаг 3: формирование вектора первого аргумента; шаг 4: нумерация узлов сетки­поверхности по второму аргументу; шаг 5: формирование вектора второго аргумента; шаг 6: заполнение матрицы значениями функции в узлах сетки; шаг 7: построение и форматирование графика поверхности. Очень   часто,   особенно   при   поиске   оптимумов   функции   двух   переменных,   полезнее просмотреть не график  поверхности, а  карту  линии уровня,  которые  подобны линиям  на физической географической карте, охватывающим горы и впадины (минимумы и максимумы). На   место   линий   графика   можно   поставить   маленькие   стрелочки,   отмечающие направление изменения функций двух переменных. Тогда получится векторное поле (Vector Field Plot). Гибридом   декартова   графика   и   графика   поверхности   является   так   называемый трёхмерный   точечный   график1  (3D  Scatter  Plot).   Его   главное   отличие   от   графиков, отображающих   прямоугольные   матрицы,   в   том,   что   с   его   помощью   можно   изобразить взаимосвязь трёх векторов. Графики можно расцветить так, чтобы более высокие зоны имели тёплые цвета, а более низкие ­ холодные. Пакет MathCAD может раскрасить объёмные конструкции (скажем точнее, виртуальные  объёмные   конструкции)   так,   чтобы   пользователь   смог   увидеть   всё,   что   ему нужно.  В   шестую   версию  MathCAD  встроены   средства  анимации,   позволяющие   оживить MathCAD  ­ документы. С анимацией связана системная переменная  FRAME, которой через команды  Windows­Animation­Create...   в   окне  Create­Animation  можно   приказать   меняться, например   от   1   до   10.   При   открытом   окне  Create­Animation  нужно   выделить   область, визуальное изменение которой желательно проанализировать и нажать кнопку Animate.после этого появится окно  Playback, где средствами   Microsoft  Video  будет показано изменение кривой на графике в зависимости от изменения значения переменной FRAME.  Основной недостаток трёхмерной графики  MathCAD  и других подобных пакетов ­ в том, что область изменения аргументов должна быть прямоугольной.   Линейная аппроксимация. Встроенные функции intercept (to intercept по­английски ­ отложить отрезок на линии) и slope  (наклон)   решают   самую   простую   и   самую   распространённую   задачу   регрессионного анализа ­ нахождение прямой, пронизывающей точки методом наименьших квадратов. Найденные значения коэффициентов  а  и  b  аппроксимирующего уравнения  y(x) =  a  + bx  позволяют построить на графике прямую с роящимися вокруг неё точками. Подобным графиком на практике, как правило,  завершают регрессионный анализ: график, во­первых, даст   наглядное   представление   о   качестве   анализа,   а   во­вторых,   поможет   в   случае   чего 1 Другое название ­ график рассеяния. отловить допущенные ошибки ввода исходных данных (пропуск десятичной точки, например). Этой цели может служить и предварительная сортировка векторов: ошибочные значения часто всплывают   на   концах   упорядоченного   вектора.   В­третьих,   график   сам   по   себе   ценен. Графиком,   т.е.   с   другого   конца,   можно   довольно   быстро   решить   линейную аппроксимационную задачу. Дополнить результаты регрессионного анализа неплохо указанием точки, максимально отклонившейся  от прямой. Само значение такого выброса найти несложно через функцию max2.  А вот с определением координат этой точки придётся повозиться: привлечь аппарат булевых выражений, принимающих два значения ­ True (в среде MathCAD ­ единица) и  False (нуль), умножение которых на текущий индекс фиксирует искомую координату. В пакете  MathCAD  PLUS  6.0 почти 300 встроенных функций. При всём   богатстве встроенных   функций   пакету  MathCAD  не   хватает   функции   определения   в   векторе   или   в матрице координат минимального (максимального) элемента. Выход из положения ­ это сумма (для вектора) или двойная сумма (для матрицы) произведений номера текущего элемента на булево выражение. Эту конструкцию так и хочется оформить в  виде новой функции с именем imax, например и больше с такой задачей не возиться. Но в новую функцию перекочует и будет замаскирована  ошибка ­ не ясно, что будет возвращать новорождённая функция imax, если  в аргументе­векторе (в массиве) два или более максимальных элементов. Из прозрачной формулы с суммой это понятно, а из «затенённой» функции  imax  ­ нет. Все эти замечания можно   отнести   и   к   встроенным   функциям  intercept  и  slope,возвращающим   значения коэффициентов линейной регрессии. Всегда остаются сомнения, а нет ли в этих функциях фактической или методологической ошибки. Последнюю можно обнаружить, если подставить в функции intercept и slope аргументы ­ векторы с двумя или даже одним методом. Через две точки можно всегда провести только одну прямую. Через одну точку прямых можно провести бесчисленное множество. И в том, и в другом случае сумма квадратов отклонений двух точек (одной точки) будет нулевой и требования метода наименьших квадратов будут выполняться абсолютно.   Но   в   первом   случае   функции   можно  intercept  и  slope  будут   решать   простую интерполяционную   задачу,   для   которой   в   среде  MathCAD  есть   особый   математический аппарат. Во втором случае (X и Y ­ не векторы, а скаляры) функции intercept и slope должны выдавать бесчисленное множество значений, связанных ограничением Y = a + bX. В   плане   выполнимости   критерия   наименьших   квадратов   здесь   всё   безупречно,   но методология,   заложенная   в   функции  intercept  и  slope,   приводит   к   тому,   что   при   числе элементов в векторах  X  и  Y, меньше двух, выдаётся сообщение об ошибке. Всё это слабая защита, которую пользователь может легко обойти, подсунув функциям intercept и slope более одной точки, но с повторяющимися значениями аргументов. Резюме: играть можно не только с игровыми программами. На эту роль подходят и серьёзные математические пакеты ­ было бы желание у пользователя. Генерация случайных чисел и характеристики их распределения. Графики можно перемещать в любое место документа, указанное положением курсора, они могут иметь любые размеры. На одном графике можно строить несколько кривых; для этого   в   формате   после   слова  type  нужно   перечислить   параметры   кривых,   разделяя   их запятыми. 2 Стрелка в аргументе функции max указывает на то, что он ­ вектор. Версия 2.50 системы обеспечивает возможность построения поверхностей и фигур. При этом  необходимо   задать  функцию   двух  переменных  и   сформировать   матрицу  с  условным именем М ­ массив узловых точек. Работа с файлами Реализован и импорт файлов, содержащих сложные графические построения из других систем, таких, как  AutoCAD  и  TurboCAD. Для этого с помощью специальной  программы mostrans, входящей в систему, нужно преобразовать импортируемый файл с расширением mcd. Такой файл после загрузки командой Load  вызывает построение графика, верхний левый угол которого задаётся положением курсора.  3D Grapher ­ программа для построения графиков 3D Grapher это удобная и простая в использовании программа для построения графиков. Она позволяет создавать анимированные 2D и 3D графики уравнений и табличных данных. В одной системе координат может быть неограниченное число графиков, каждый из которых может отображаться при помощи точек, линий и поверхностей. Аналитические функции задаются в параметрическом   виде   и   могут   содержать   до   трех   независимых   переменных,   включая переменную времени для анимации. Графики можно масштабировать, перемещать, вращать и наблюдать под любым углом в реальном времени. Картинка   к   новости   '3D   Grapher   ­   программа   для   создания   примитивных   трехмерных изображений' Другие возможности включают отслеживание и вывод координат курсора на плоскости или в трехмерной   системе   координат,   встроенный   калькулятор   выражений,   импорт   и   экспорт данных в различных форматах. Программа имеет полностью настраиваемый дружественный интерфейс.