Лекция "Виды систем счисления. "

виды систем счисления. Форма записи чисел в двоичной восьмеричной и тема 1 вопрос 9 шестнадцатеричной системах счисления. примеры В любой системе счисления для представления чисел выбираются некоторые символы (их называют цифрами), а остальные числа получаются в результате каких­либо операций над цифрами данной системы счисления. Система   называется  позиционной,   если   значение   каждой   цифры   (ее   вес)   изменяется   в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Число   единиц   какого­либо   разряда,   объединяемых   в   единицу   более   старшего   разряда, называют основанием позиционной системы счисления. Если количество таких цифр равно P, то система счисления называется  P­ичной. Основание системы счисления совпадает с количеством цифр, используемых для записи чисел в этой системе счисления. Базисом позиционной системы счисления называется последовательность чисел, каждое из  которых задает количественное значение или "вес" каждого разряда. Например: Базисы некоторых позиционных систем счисления. Десятичная система: 100, 101, 102, 103, 104, ..., 10n, ... Двоичная система: 20, 21, 22, 23, 24, ..., 2n, ... Восьмеричная система: 80, 81, 82, 83, 84, ..., 8n, ... Совокупность различных цифр, используемых в позиционной системе счисления для записи  чисел, называется алфавитом системы счисления. Количество цифр в алфавите равно основанию  системы счисления.  Например: Алфавиты некоторых позиционных систем счисления. Десятичная система: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Двоичная система: {0, 1} Восьмеричная система: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Пятнадцатеричная система: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E} Запись произвольного числа  x  в  P­ичной позиционной системе счисления основывается на представлении этого числа в виде многочлена x = anPn + an­1Pn­1 + ... + a1P1 + a0P0 + a­1P­1 + ... + a­mP­m Арифметические   действия   над   числами   в   любой   позиционной   системе   счисления производятся по тем же правилам, что и десятичной системе, так как все они основываются на правилах   выполнения   действий   над   соответствующими   многочленами.   При   этом   нужно   только пользоваться теми таблицами сложения и умножения, которые соответствуют данному основанию P системы счисления. Система счисления ­ это свод приемов обозначения и записи чисел при помощи специальных  символов ­ цифр. Если место, занимаемое символом в записи числа, придает этому символу определенное  значение, то такая система счисления называется позиционной. Количество цифр системы (символов алфавита) называется ее основанием, место цифры в числе ­  разрядом, а количество цифр в числе – его разрядностью. Но наибольшее распространение получила и имеет до сих пор индо­арабская ДЕСЯТИЧНАЯ  СИСТЕМА (VI в). Возможно, она наиболее естественна для человека, т.к. считать мы учимся на  пальцах, а их на двух руках как раз 10. В этой системе 10 цифр: от 0 до 9. Каждая цифра в числе  при перемещении справа налево в следующий разряд увеличивает свое значение в 10 раз. Любое число может быть представлено в виде суммы, где каждое слагаемое представляет собой  произведение коэффициента (цифры числа) на основание системы (10) в степени, равной разряду  этой цифры. Посмотри внимательно на пример внизу и прочитай еще раз предыдущее предложение: основание системы счисления ­ это количество цифр (символов алфавита) в ней. Все числа в двоичной системе (основание ­ 2) записываются с помощью двух цифр: 0 и 1.Все числа в восьмеричной системе записываются с помощью восьми цифр: от 0 до 7.  В шестнадцатеричной системе кроме десяти арабских цифр используются буквы латинского  алфавита: A – цифра 10;B – цифра 11;C – цифра 12;D – цифра 13;E – цифра 14;F – цифра 15. Наши компьютеры используют эти три системы счисления. В основе лежит двоичная система  счисления, т.к. во­первых компьютер, как электроприбор, легко различает два сигнала  электрического тока (слабый ­ 0, сильный ­ 1), а во­вторых его легко обучить правилам двоичной  арифметики. Но в двоичной системе числа получаются очень длинными. Чтобы сэкономить память, используют восьмеричную и шестнадцатеричную системы, т.к. между этими тремя системами  существуют очень простые правила перевода. (http://www.iiikt.narod.ru/osnov/2_5_lang.htm) Итак, все числа в двоичной системе записываются с помощью двух цифр: 0 и 1. Подобно тому, как  мы раскладывали любое десятичное число по степеням десятки, разложим двоичное число по  степеням двойки: Мы получили способ перевода из двоичной системы счисления в десятичную:  Для перевода числа из системы счисления с основанием n в десятичную, его надо будет  разложить по степеням числа n. А как решить обратную задачу перевода десятичного числа в двоичное? Для этого нужно  последовательно делить заданное число на 2 и выписывать остатки от каждого деления. Перевод  числа 25 в двоичную систему: Деление продолжается до тех пор, пока частное не станет меньше двух (т.е. 1). Первая цифра  результата ­ последнее частное (1), следующие цифры ­ остатки, взятые в обратном порядке. Если Вам потребуется перевести число из десятичной системы счисления в систему с основанием  n, то делить с остатком надо будет на n. А можно ли перейти из восьмеричной системы в двоичную? Казалось бы  придётся переходить сначала из восьмеричной в десятичную, а потом уже из  десятичной в двоичную. Но оказывается есть более простой способ. Сначала  каждое число, соответствующее цифре восьмеричной системы, представим в  виде трехразрядного двоичного кода (переведем в двоичную систему). Теперь правило: чтобы перевести число из восьмеричной системы в  двоичную, надо каждую его цифру заменить на соответствующую тройку  цифр (двоичный код). Незначащие нули в начале числа нужно отбросить. Например, переведем восьмеричное число 351 в двоичное: = 011 101 001 = 111010012 Для перевода двоичного числа в восьмеричное надо наоборот, разбить  исходное число на тройки цифр, начиная с конца, и заменить каждую тройку  на соответствующую ей цифру восьмеричной системы. Например, переведем двоичное число 11100110 в восьмеричное: 111001102 = 011 100 110 = 3468Теперь рассмотрим шестнадцатеричную систему счисления. Как Вы  понимаете, в ней должно быть 16 цифр. Обозначение первых десяти можно  взять из десятичной системы счисления, а для остальных шести решили  использовать первые буквы латинского алфавита:    11 ­ B,  12 ­ C,   13 ­ D,   14 ­ E,   15 ­ F. Переведём число А1F8 из шестнадцатеричной системы в десятичную:  = 8×160 + 15×161 + 1×162 + 10×163 = 8 + 240 + 256 + 40960 = 4146410 В обратную сторону: число 196 из десятичной системы в шестнадцатеричную: 196 : 16 = 12 (4) , т.е. 19610 = С416 А есть ли простая связь между числами двоичной и шестнадцатеричной  систем? Оказывается, есть и аналогична связи между числами двоичной и  восьмеричной систем. Опять запишем каждое число, соответствующее цифре шестнадцатеричной  системы в виде двоичного кода, только теперь четырехразрядного (картинка  Теперь для перевода числа из шестнадцатеричной системы в двоичную надо  каждую его цифру заменить на соответствующую четверку двоичных цифр:  = 1100 01002 А как перевести двоичное число в шестнадцатеричное вы, наверное, уже  сообразили сами. Система счисления — это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков  (цифр).  В непозиционных системах счисления вес цифры не зависит от позиции, которую она занимает в  числе. Так, например, в римской системе счисления в числе XXXII (тридцать два) вес цифры X в  любой позиции равен просто десяти. В позиционных системах счисления вес каждой цифры  изменяется в зависимости от ее позиции в последовательности цифр, изображающих число. Любая  позиционная система характеризуется своим основанием. Основание позиционной системы  счисления — это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе. За основание можно принять любое натуральное число — два, три, четыре,  шестнадцать и т. д. Следовательно, возможно бесконечное множество позиционных систем. Десятичная система счисления Эта система пришла в Европу из Индии, где она появилась не позднее VI века н. э. В этой системе  10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, но информацию несет не только цифра, но и место, на котором  цифра стоит (то есть ее позиция). В десятичной системе счисления особую роль играют число 10  и его степени; 10, 100, 1000 и т. д. Крайняя правая цифра числа показывает число единиц, вторая  справа — число десятков, следующая — число сотен и т. д. Причина наибольшей  распространенности десятичной системы счисления состоит в том, что первым счетным  аппаратом человека являлись его руки. Число пальцев и стало отправным пунктом для системы  счета. Двоичная система счисления В этой системе всего две цифры — 0 и 1. Особую роль здесь играет число 2 и его степени: 2, 4, 8 и  т. д. Крайняя правая цифра числа показывает число единиц, следующая цифра — число двоек,  следующая — число четверок и т. д. Двоичная система счисления позволяет закодировать любое  натуральное число — представить его в виде последовательности нулей и единиц. В двоичном виде  можно представлять не только числа, но и любую другую информацию: тексты, картинки, фильмы  и аудиозаписи. Инженеров двоичное кодирование привлекает тем, что легко реализуется  технически. Восьмеричная система счисления В этой системе счисления 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Цифра 1, указанная в самом младшем разряде, означает — как и в десятичном числе — просто единицу. Та же цифра 1 в следующем разряде  означает 8, в следующем 64 и т. д. Число 100 (восьмеричное) есть не что иное, как 64 (десятичное).Чтобы перевести в двоичную систему, например, число 611 (восьмеричное), надо заменить каждую  цифру эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр). Легко догадаться, что для перевода  многозначного двоичного числа в восьмеричную систему нужно разбить его на триады справа  налево и заменить каждую триаду соответствующей восьмеричной цифрой. Шестнадцатеричная система счисления Запись числа в восьмеричной системе счисления достаточно компактна, но еще компактнее она  получается в шестнадцатеричной системе. В качестве первых 10 из 16 шестнадцатеричных цифр  взяты привычные цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а вот в качестве остальных 6 цифр используют  первые буквы латинского алфавита: А, В, С, D, Е, F. Цифра 1, записанная в самом младшем  разряде, означает просто единицу. Та же цифра 1 в следующем разряде — 16 (десятичное), в  следующем — 256 (десятичное) и т. д. Цифра F, указанная в самом младшем разряде, означает 15  (десятичное). Перевод из шестнадцатеричной системы в двоичную и обратно производится  аналогично тому, как это делается для восьмеричной системы. Запись опубликована в рубрике Информатика с метками система. Добавьте в закладки постоянную  ссылку.  Запись числа в некоторой системе счисления называется кодом числа.  Отдельную позицию в изображении числа принято называть разрядом, а номер позиции ­ номером  разряда. Число разрядов в записи числа называется разрядностью и совпадает с его длиной. Существуют системы позиционные и непозиционные. В непозиционных системах счисления вес цифры не зависит от позиции, которую она занимает  в числе. Так, например, в римской системе счисления в числе XXXII (тридцать два) вес цифры X в  любой позиции равен просто десяти. Пример непозиционной системы счисления ­ римская. В качестве цифр в римской системе  используются: I(1), V(5), X(10), L(50), C(100), D(500), M(1000). Величина числа в римской системе счисления определяется как сумма или разность цифр в числе.  Если меньшая цифра стоит слева от большей, то она вычитается, если справа ­ прибавляется. Пример: CCXXXII=232 IX =9 В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее позиции  в последовательности цифр, изображающих число.  Любая позиционная сиситема характеризуется своим основанием.  Основание позиционной системы счисления ­ это количество различных знаков или символов,  используемых для изображения цифр в данной системе.  За основание можно принять любое натуральное число ­ два, три, четыре, шестнадцать и т.д.  Следовательно, возможно бесконечное множество позиционных систем.  Примеры позиционной системы счисления ­ двоичная, десятичная, восьмеричная,  шестнадцатеричная системы счисления и т. д. Десятичная система счисления.  В этой системе 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, но информацию несет не только цифра, но и место, на котором цифра стоит (то есть ее позиция). Самая правая цифра числа показывает число единиц, вторая справа ­ число десятков, следующая ­ число сотен и т.д.  Пример: 33310 = 3*100 + 3*10+3*1 = 300 + 30 + 3 Двоичнаясистема счисления.  В этой системе всего две цифры ­ 0 и 1. Основание системы ­ число 2. Самая правая цифра числа  показывает число единиц, следующая цифра ­ число двоек, следующая ­ число четверок и т.д.  Двоичная система счисления позволяет закодировать любое натуральное число ­ представить его в  виде последовательности нулей и единиц. Пример: 10112 = 1*2^3 + 0*2*2+1*2^1+1*2^0 =1*8 + 1*2+1=1110 Восьмеричная система счисления. В этой системе счисления 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Чтобы  перевести в двоичную систему, например, число 611 (восьмеричное), надо заменить каждую цифруэквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр). Легко догадаться, что для перевода  многозначного двоичного числа в восьмиричную систему нужно разбить его на триады справа  налево и заменить каждую триаду соответствующей восьмеричной цифрой.  Пример: 6118 =011 001 0012 1 110 011 1012=14358 (4 триады) Шестнадцатиричная система счисления.  Запись числа в восьмеричной системе счисления достаточно компактна, но еще компактнее она  получается в шестнадцатеричной системе. В качестве первых 10 из 16 шестнадцатеричных цифр  взяты привычные цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а вот в качестве остальных 6 цифр используют  первые буквы латинского алфавита: A, B, C, D, E, F.Перевод из шестнадцатеричной системы в  двоичную и обратно производится аналогочно тому, как это делается для восьмеричной системы.