Лезде квадраттау құпиясы

1.Кіріспе.    Математиканың күнделікті адам өміріндегі мәні орасан зор.Санай білмей, сандарды қосуды, азайтуды, көбейтуді, бөлуді дұрыс орындай білмей тұрып адам қоғамының  дамуы мүмкін деп ойлауға болмайды. Арифметикалық төрт амал,ауызша және  жазбаша есептеу ережелері бастауыш сыныптардан бастап оқылады.Бұл ережелерді  бір адам ойлап шығарған немесе тапқан емес.Арифметика күнделікті практика  талаптарынан,адамдардың еңбектеніп әрекет жасауындағы өмірлік  мұқтаждықтарынан туған. Арифметика өте баяу және ұзақ уақыт дамыды. Сонау ерте замандардың өзінде­ақ адамдарға өздерінің күнделікті өмірінде кездесіп  отыратын әр түрлі нәрселерді санауға тура келген.Сонда адамның тек екіге дейін  ғана санай білетін шағы болған. Екі саны адамның көру және есту  мүшелерімен,жалпы алғанда нәрселердің нақтылы бір жұбымен байланыстырылған.  Үнділердің «көз»,тибеттіктердің «қанат» деген сөздері «екі» санын білдірді.Егер  нәрселер саны екіден көп болса,алғашқы қауым адамы олар туралы тек көп  дейтін.Адам бірте­бірте ғана үшке дейін,кейін беске,онға дейін санап үйренді. Өндірістің және сауданың дамуына байланысты санау тәсілі басқа жиындарға,  нәрселер саны барған сайын көбейе берген жиындарға қолданылады. Өлшей білу  қажеттігі өлшеу тәсілдерінің,сондай­ақ санау техникасы мен сандарға амалдар  қолдану ережелерінің пайда болуына және дамуына себепкер болды. Сонымен, арифметиканың пайда болуы және дамуы адамдардың еңбектену  әрекеттері мен қоғамның дамуымен байланысты.  Жобаның мақсаты:  Есептеулердің неғұрлым көп тәсілдерін табу.   Олардың ішінде мектепте кездесетін ең  қызықты түрлерін таңдап алу   Оларды қолдана білуге үйрену. және оларды тиімді қолдану.  Жобаның міндеті: Ауызша   лезде   квадраттаудың   тәсілдерін   зерттеп,   оларды   тәжірибе   жүзінде қолдана білу. 2.Адамдар санауды қалай үйренді? Ерте кезде біздің ата­бабаларымыз санауды білмеген. Алғашқы адамдарға санауды  үйрететін жан болмаған. Оларға өмірдің өзі ұстаздық еткен. Алғаш пайда болған адамдар  айналасындағы табиғатты бақылай отырып, жекелеген заттарды айыруды үйренген. Олар  қасқыр үйірінен тек біреуін, яғни қасқырларды бастаған арланды, ал қүстар тобынан бір  құсты, бидай арасынан бір дәнді айыратын халге жетеді. Осылайша олар көп нәрсенің  арасынан біреуін бөліп алып, «бір» және «көп» екенін айтатын болған. Жұптасып келетін  көптеген нәрселерді (көз, аяқ­қол, қанат) көре келе, «екі» саны туралы түсініктері пайда  болған. Алғашқы адам екі үйрек көргенін айтқан кезде, екі көзбен салыстыратын болған. Ал  егер көбін көрсе, «көп» деп айтқан. Санауды үйренуге өмір заңдылығы итермеледі. Аңға  шыққанда тайпа басшысы аңды қоршауға алу үшін аңшыларды бөліп орналастыруы тиіс  болады. Мәселен, екеуі сол жақтан, екеуі оң жақтан, төртеуі артынан, т.с.с. Яғни, тайпа  басшысы санай алуы тиіс болатын, ал егер санды білмесе саусағымен көрсеткен. Осылайша,  санау аңшылыққа барғанда қажет болған. Бірнеше ондаған жылдар бұрын археологтар ежелгі адамдар мекен еткен жерді тауып  алған. Онда табылған қасқырдың сүйегінде 30 мың жыл бұрын кертіп салынған 55 таңба  болған. Сүйектегі белгі он бір топқа бөлініп, әрқайсысына бестен кертпе салынған. Алғашқы бес топ қалғандарынан ұзын сызықпен бөлінген. Содан бері көп уақыт өтті. Бірақ қазірдің  өзінде швейцариялық шаруалар ірімшік шығаратын жерге сүт жөнелткенде, құтылардың  сыртына осындай кертпелермен санын белгілейді. Математиканың күнделікті адам өміріндегі мәні орасан зор.Санай білмей, сандарды  қосуды, азайтуды, көбейтуді, бөлуді дұрыс орындай білмей тұрып адам қоғамының дамуы  мүмкін деп ойлауға болмайды. Арифметикалық төрт амал,ауызша және жазбаша есептеу  ережелері бастауыш сыныптардан бастап оқылады.Бұл ережелерді бір адам ойлап шығарған  немесе тапқан емес.Арифметика күнделікті практика талаптарынан,адамдардың еңбектеніп  әрекет жасауындағы өмірлік мұқтаждықтарынан туған. Арифметика өте баяу және ұзақ  уақыт дамыды. Сонау ерте замандардың өзінде­ақ адамдарға өздерінің күнделікті өмірінде кездесіп  отыратын әр түрлі нәрселерді санауға тура келген . Сонда адамның тек екіге дейін ғана  санай білетін шағы болған. Екі саны адамның көру және есту мүшелерімен,жалпы алғанда  нәрселердің нақтылы бір жұбымен байланыстырылған. Үнділердің «көз»,тибеттіктердің  «қанат» деген сөздері «екі» санын білдірді.Егер нәрселер саны екіден көп болса,алғашқы  қауым адамы олар туралы тек көп дейтін.Адам бірте­бірте ғана үшке дейін,кейін беске,онға  дейін санап үйренді. Өндірістің және сауданың дамуына байланысты санау тәсілі басқа жиындарға, нәрселер саны барған сайын көбейе берген жиындарға қолданылады. Өлшей білу қажеттігі өлшеу  тәсілдерінің,сондай­ақ санау техникасы мен сандарға амалдар қолдану ережелерінің пайда  болуына және дамуына себепкер болды. Сонымен, арифметиканың пайда болуы және дамуы адамдардың еңбектену әрекеттері мен  қоғамның дамуымен байланысты. Біз қолданылатын осылайша санау тәсілі,яғни он­оннан топтап санау системасы немесе  ондық нумерация деп аталады. Он саны ондық санау системасының негізі деп аталады. Ал, неліктен біз он­оннан санаймыз, яғни ондық санау системасы қалай пайда болды?  Балалар саусақтарын санап үйренетіні сияқты,адамдар да қоғам дамуының алғашқы  кезеңдерінде санау үшін екі қолының он саусағын пайдаланатын. Осыдан барып – ондық  санау системасы шыққан. Алайда кейбір жерлердегі, атап айтқанда, Африкадағы тайпалар мен халықтар санағанда  бестік санау системасын  қолданған.Бұл системада алғашқы бес санның ғана атаулары бар.  Мысалы, «алты» санын «бес­бір» деп атаған.Ең көне санау системасы – екілік санау  системасы, ғалымдардың болжауы бойынша, бұл системамен бір кезде мысырлықтар  пайдаланған.Ал басқа бір,жиырмалық санау системасының жұрнақтары осы уақытқа дейін,  мысалы,қазіргі грузин және француз тілдерінде сақталып қалған: ол тілдерде «сексен»  деудің орнына «төрт жиырма» делінеді.Ежелгі вавилондықтар алпыстық санау системасын  пайдаланған.Қазіргі уақытта дүние жүзінің барлық халықтары ондық санау системасын  қолданады. 3.Ғажап есептегіштер.               Есептеуіш техника — есептеу және мәліметтерді өңдеу процессінің маңызды  компоненті болып табылады. Есептеуге арналған алғашқы құрал ретінде есептеу  таяқшаларын атауға болады, бұл құрал қазіргі кезде де бастауыш сынып оқушыларын есепке үйрету үшін қолданылады. Даму жолында бұл құралдар күрделене түсті (мысалы,  финикиялық саз фигуралары). Уақыт өте келе, қарапайым құрылғылардан күрделі құралдар пайда бола бастады: абак,  логарифмдік сызғыш, механикалық арифмометр, электронды компьютер. Алғашқы  есептеуіш құрылғылардың қарапайымдылығына қарамастан, олармен жұмыс жасауға  үйренген адам, қазіргі заманғы калькуляторларды пайдаланғаннан да жылдам есептер  жүргізе алады. Әрине, қазіргі заманғы есептеуіш құрылғыларының жұмыс өнімділігі және  есептеу жылдамдығы ең жылдам есептегіш адамның өзін шаң қаптырып кетеі Адамзат  қарапайым есептеу құралдарын қолдануды мыңдаған жылдар бұрын бастады. Есептеудің ең  көп тараған түрі ­ айырбас саудасында қолданылатын тауарлардың санын анықтау болатын.  Ең қарапайым шешім ретінде айырбасталатын тауардың салмақ эквивалентін пайдалануды  айтуға болады, себебі бұл жағдайда, тауардың құрамындағы заттардың санын есептеу қажет  болмайтын. Бұл мақсаттарда қарапайым балансирлік шеккілер қолданылатын, олар массаны  анықтауға арналған алғашқы құрылғы болды. Эквиваленттілік принципі "абак" деп аталатын құралда да пайдаланылды. Заттарды  санау үшін, бұл құралдағы сүйектерді қозғау қажет болатын.               Тісті сақиналарды ойлап табуға байланысты, есептеулерді орындауға арналған  құрылғылар күрделене түсті. ХХ ғасырдың басында табылған антикитерлік механизм (б.з.д. І ғасырда батып кеткен антикалық кемеден табылған) ғаламшарлардың қозғалысының  үлгісін көрсете алатын еді. Болжам бойынша, бұл құралды діни мақсаттарда күнтізбелік  есептеулер жүргізу, күн және ай тұтылуын болжау, егін егу және жинау уақыттарын анықтау үшін қолданған. Есептеулер жүргізу үшін 30­дан астам қола сақиналар және бірнеше  циферблаттар қолданылды. Ай фазаларын есептеу үшін, диффернциалдық тасымал  пайдаланылды (ғалымдар бұл тәсілді ХVI ғасырда ойлап табылған деген болатын). Антика  мәдениеті құлдыраған соң, бұндай құралдар жойылып кетті. Күрделілігі осы шамалас  механизмдерді құру үшін, адамзатқа бір жарым мыңжыл қажет болды. 1623 жылы Вильгельм Шикард "Есептеуіш сағаттар" ­ төрт арифметикалық амалды  орындай алатын механикалық калькуляторды ойлап тапты. Құрылғының бұлай аталу себебі,  сағаттардағы сияқты, бұл құралда да тісті сақиналар мен жұлдызшалар қолданылды. Бұл  құрылғыны іс жүзінде алғаш рет Шикардтың досы, философ және астроном Иоганн Кеплер  пайдаланды. Бұдан соң Блез Паскаль ("Паскалина", 1642 ж.) және Готфрид Вильгельм Лейбниц өз  машиналарын жасап шығарды. 1820 жылы Charles Xavier Thomas төрт арифметикалық  амалды орындай алатын механикалық калькуляторларды (Томас арифмометрі деп аталатын  құрал Лейбниц жұмыстарына негізделген) жасап, саудаға шығарды. Ондық сандарды  есептеуге арналған механикалық калькуляторлар 1970­жылдарға дейін қолданылды. Сонымен қатар, Лейбниц қазіргі заманғы компьютерлердің негізі болып табылатын екілік санақ жүйесін де сипаттады. Бірақ, 1940­жылдарға дейінгі шыққан машиналардың басым  бөлігі (Чарльз Бэббидждің машинасы және ЭНИАК) ондық жүйені қолданған болатын.        Сандарды көбейту және бөлу амалдарын осы сандардың логарифмдерін қосу және  азайту арқылы орындауға болады (Джон Непер). Нақты сандарды сызғыштағы ұзындық  интервалдары көмегімен көрсетуге болады, бұл жаңалық логарифмдік сызғыштарды ойлап  табуға негіз болды, бұл құрал көмегімен көбейту және бөлу амалдарын оңай орындауға  болатын еді. Логарифмдік сызғыштар қалта калькуляторлары пайда болғанға дейін  қолданылды. Айға адам жіберген "Аполлон" бағдарламасының инженерлері өз  есептеулерінде логарифмдік сызғыштарды пайдаланған болатын. 1900­жылдары  механикалық калькуляторлар, кассалық аппараттар және есептеуіш машиналар электр  қозғалтқыштарын қолдана отырып жасалған болатын. Бұл құрылғыларда тісті сақинаның  күйі айнымалыны сипаттайтын еді. 1930­жылдардан бастап, Friden, Marchant және Monro  сияқты компаниялар арифметикалық төрт амалды орындай алатын механикалық стол  калькуляторларын жасап шығара бастады. "Компьютер" ("есептеуіш") сөзі қызметке  байланысты айтылды (математикалық есептеулерді орындау үшін калькуляторларды  қолданатын адамдарды солай атаған). Манхэттендік жоба барысында болашақ Нобель  сыйлығының лауреаты Ричард Фейнман әскери мақсаттарға қажет дифференциалдық  есептерді шешетін математик­әйелдерді басқарған болатын. Атақта Станислав Мартин  Улам соғыс аяқталған соң, сутегі бомбасының жобасына қажетті есептерді шығарумен  айналысты. 4.Тез есептеу. 4.1.Екі таңбалы санды 11­ге көбейту 11 санын екі таңбалы санға көбейткен кезде шешімнің үш цифрдан (???) болатыны  белгілі. Яғни: 81*11=??? Одан бөлек мына бір қулықтарды білу керек: Бірінші цифр негізі санның алғашқы цифрымен сәйкес келеді (81);  Ортадағы цифр негізгі санның  цифрларының қосындысына тең болады (8+1); Үшінші цифр негізгі санның сонғы цифрымен сәйкес келеді (81). Сонымен: 8*11=??? ­­> 8 (8+1) 1 ­­> 891 Жауабы: 81*11=891 Кей жағдайларда ортасындағы, яғни жақша ішіндегі сан екі цифрдан тұруы мүмкін.  Ондай жағайда сол жақша ішіндегі санның соңғы цифрын есімізде сақтап қаламыз да,  біріншісін алғашқы жақша сыртындағы цифрға қосамыз. Мысалы: 78*11=??? 7 (7+8) 8 ­­>7 (15) 8­­>  (7+1) 5 8 ­­> 858 Жауабы: 78*11=858 4.2.Кез­келген санның квадратын шапшаң есептеу әдістері. Көбейту, бөлу таблицасын білгеннен кейін сандарды көбейтудің, бөлудің, дәрежелеудің  оң тәсілдерін үйрену мақсат. Әдетте 10, 20, 30, 40, 50, ... ..., 100 оңай есептеледі. Ал 192, 292, 392, 492, ... ..., 992 – ын  табу бір жаңа есептеуді қажет етеді. Сол әдістерге тоқталайық. 192 = 361 шығару үшін 9 х 19 көбейтіндісінің 202 – нан 20+19=39 – ды шегеру жеткілікті 400­39=361 Ал 182, 282, 382, 482, ... ... 172, 272, 372, есептеп табу үшін Енді 152, 252, 352, 452, ... ..., 952 есептейік. 152=225 – ті шығару үшін бірлік 52=25 – тың алдына ондық 1­ге, өзінен бір сан үлкен 2­ ні көбейтіп алдына жазу керек 4.3. Ондық цифры 5 болатын екі орынды сандарды шапшаң квадраттау әдісі 25 санына санның бірлік разрядындағы цифры қосылады, оның оң жағынан бірлік  разрядтағы сан квадратталып тіркеліп жазылады, төрт таңбалы сан шығатындай тәртіп  сақталады. Бұл әдіс мына тепе­теңдікке негізделген: (50+а) =100(25+а)+а Мысалы: 51*51=2601 58*58 =3364 а)25+8 =33 б)8*8=64 Соңғы цифры 5 болатын сандарды шапшаң квадраттау әдісі Соңғы 5 цифрын квадраттап, оның алдына келесі разрядтағы санды өзінен 1­ге артық  санмен көбейтіп, 5­тің квадраты 25 санының алдына жазады. Мысалы: 25*25=625 а)5*5=25 б) 2*(2+1) = 6 305*305=93025, а) 5*5=25 б) 30*(30+1) =930БТ кезінде, күнделікті тұрмыста немесе  қарапайым математика сабағында кейбір амалдарды ойша есептеу қиындық тудырады.  Әдетте, біз ондай кезде ойланбастан калькуляторға қарай жүгіреміз. Сондықтан бүгін  сіздерге ешқандай құралсыз математикалық есептеулерді жеңілдететін бірнеше әдісті  ұсынамын. 4.4.     Санды 5­ке көбейту Кей жағдайда кездейсоқ бір санды 5­ке көбейткенде ойланып қаламыз. Кез келген санды  5­ке оңай көбейту үшін сол санды 10­ға көбейтіп, оны 2­ге бөлу керек. Мысалы: 49*5=? 49*10=490 490/2=245 Кей жағдаларда ортасындағы, яғни жақша ішіндегі сан екі цифрдан тұруы  мүмкін. Ондай жағайда сол жақша ішіндегі санның соңғы цифрын есімізде сақтап қаламыз  да, біріншісін алғашқы жақша сыртындағы цифрға қосамыз. Мысалы: 78*11=??? 7 (7+8) 8 ­­>7 (15) 8­­>  (7+1) 5 8 ­­> 858 Жауабы: 78*11=858 Жауабы: 49*5=245 4.5.Лезде квадраттаудың құпиясы. 5 цифрымен аяқталатын екі таңбалы санды  ауызша лезде екінші дәрежеге дәрежелеудің  қарапайым бір тәсілі бар. Ол үшін ондық орындағы цифрды өзінен 1­бірлікке артық цифрға  көбейтіп, осы көбейтіндіге 5­тің екінші дәрежесі 25 санын тіркеп жазу жеткілікті. Мысалы: 352  дәрежесін анықтау үшін 5­тің алдында тұрған 3 санын одан 1­бірлікке  артық сан 4­ке көбейтіп жазамыз да 5­тің 2­ дәрежесін (25­ті) тіркеп жазамыз. Сонда  3*4=12,оған 25­тітіркеп жазсақ 1225 саны пайда болады. Осы сан 352 =1225. Осыған ұқсас 852=7225 (себебі 8*9=72, 52=25) Енді осылардың құпиясына тоқталып түсініктеме беріп көрейін.  Түсініктеме. 5 цифрымен аяқталатын кез келген екі таңбалы санды 10а+5 түрінде жазуға  болады, мұндағы а­ ондық сан. Сонда ( 10a+ 5 )2= 100  a2 + 2 * 5 * 10a +25 = 10 a2 +100a + 25 = a * ( a + 1) *100 + 25 Cоңғы теңдік а*( а + 1 ) санының ( a  және а + 1 сандарының көбейтіндісінің ) оң жағына  25 санын неліктен тіркеп жазу керек екенін аңғартады. 10а + 5 санының квадраты, яғни  екінші дәрежесі пайда болу үшін жоғарыдағы жайтты орындау қажет. Осы жоғарыда айтылған тәсілмен соңғы цифры 5­ пен аяқталатын кез келген бүтін үш  таңбалы сандарды да екінші дәрежеге дәрежелеуге болады. Мысалы, 10*11=110, сондықтан 1052=11025, 12*13=156, сондықтан 1252=15625,  123*124= 15 252, сондықтан 12352=1525 225  Формуланы қолдану Енді сандарды квадраттау үшін осы формулалардың қолданысына  тоқталайық. “n0m” (n нөл m) түріндегі үш орынды санның квадратын ойша есептеп табу керек.  Мұндағы n=1,2,…9, m=1,2,…9 n0m2 = (n∙ 100+m)2 =n2∙10000+2∙ n∙ m∙ 100+m2=(n2∙100+2∙n∙m) ∙100+m2 Мысалы: 1. 2032=(200+3)2 =(400+12) ∙100+9=41209 2. 6092=(600+9)2 =(3600+108)∙100+81=370881. Жалпы қорыта келсек, мынандай ереже аламыз: Анықтама 1.1. “n0m” түріндегі санды квадраттағанда, соңғы екі цифры квадратталатын  санның соңғы цифрының квадраты, ал оның алдындағы екі цифр квадратталатын санның  бірінші және соңғы цифрларының екі еселенген көбейтіндісі және оның алдына бірінші  цифрдың квадраты жазылады. Анықтама 1.2. Егер санның бірінші және соңғы цифрының екі еселенген көбейтіндісі үш  орынды сан болса, онда оның соңғы екі цифрын қалдырып, жүздік цифрын бірінші цифрдың  квадратына қосамыз. 92=81, 2∙6∙9=108 қорытынды бойынша 08­ді жазып, 1­ді 62 =36­ға қосамыз 36+1=37 Осы үрдіс “n0m” түріндегі сандардың квадраттарын табу үшін жалғаса  береді. 2. “n0m” түріндегі үш орынды санды квадраттау белгілі болғандықтан, “5n0m” түріндегі  төрт орынды санды квадраттау да оңайға түседі. Мұндағы  n=1,2,…9, m=1,2,…9 Mысалы: 55052=30305025,  58042=33686416 Қорытынды.        Менің «Лезде квадраттау құпиясы» атты ғылыми жобаны алған себебім  математиканы жақсы көремін, және оның сан алуан қырлары мен сырларын шамам  жеткенше оқып, біліп үйренсем деймін.Есептеуіш техникаларының көмегінсіз  сандарды көбейтіп, квадраттаудың тез,әрі ыңғайлы тәсілдерін оқып үйреніп, өз  білгендерімді сыныптастарыма үйретсем деп ойлаймын. Бұл тақырыптың маңыздылығы мынада: тез есептей білу адамдардың күнделікті  тұрмыс­тіршіліктерінде кездесетін есеп­қисаптарына,ал оқушыларға математикадан  «өте жақсы» деген бағамен оқуларына септігін тигізеді.  Пайдаланған әдебиеттер:  1. Бәрі де сандар туралы, Алматы кітап 2008жыл  2. Қазақ энциклопедиясы 3­том, Алматы 2011  3. Жеті қазына, Сейіт Кенжеахметұлы, 1 кітап  4. Математика әлемі пәндік энциклопедиясы, Нұрқанат Көбенқұлұлы, Алматы 2011 5. Интернет материалдарынан Аннотация Научиться быстро считать не так уж сложно, а учащимся, которым предстоит  сдавать ЕНТ по математике, просто необходимо владеть основными приемами  быстрого счета.  Работа состоит из четырёх частей: первая часть позволяет познакомиться с  компонентами вычислительной культуры учащихся, во второй части представлена  диагностика навыков быстрого счета  учащихся, в третьей части работы мы знакомим с техникой вычислений, приемами  и способами быстрого счета, в четвёртой  части  представлена повторная диагностика навыков быстрого счета. В работе рассмотрены способы быстрого устного счета, рассчитанные на ум  "обычного" человека и не требующие  уникальных способностей. Главное ­ более или  менее продолжительная тренировка. Проект направлен на изучение приемов  быстрого счета с целью улучшить технику вычислений обучающихся для более  глубокого понимания новых тем по предмету и решению задач прикладного  характера. В наш век высоких технологий и повсеместного использования  компьютера умение быстро и правильно производить в уме достаточно сложные  вычисления ни в коем случае не утратило своей актуальности. Такие навыки помогут человеку в учебе, в быту, в профессиональной деятельности. Кроме того, быстрый  счет ­ настоящая гимнастика для ума, приучающая в самых сложных жизненных  ситуациях находить в кратчайшее время хорошие и нестандартные решения Аnnotation To learn quickly to consider not too difficult, and studying, coming that to hand over  ЕНТ on mathematics, it is simply necessary to own the basic receptions of rapid account.  Work consists of four parts: the first part allows to become acquainted with the  components of calculable culture of students, diagnostics of skills of rapid account  of  students is presented in the second part, in the third part of work we acquaint with the  technique of calculations, receptions  and methods of rapid account, the repeated  diagnostics of skills of rapid account is presented in fourth  part. The methods of rapid verbal account, counted on the mind of "ordinary" man and not requiring  unique capabilities, are in­process considered. Mainly is the more or less long  training. A project is sent to the study of receptions of rapid account on purpose to  improve the technique of calculations of student for the deeper understanding new themes  on an object and decision of tasks of the applied character. There is ability in our century  of high­tech and general use of computer.