Логические законы и правила преобразования логических выражений

Логические законы и правила преобразования логических выражений

Закон тождества
А = А
Закон непротиворечия
А&A=0
Закон исключения третьего
АА=1
Закон двойного отрицания
А=А

В процессе рассуждения нельзя подменять одно понятие другим
Не могут быть одновременно истинными суждение и его отрицание
Высказывание может быть либо истинным либо ложным, третьего не дано
Если отрицать дважды некоторое суждение, то получается исходное суждение

Идемпотентность
АА=А А&А=А
Коммутативность
А  В=В  А А&В=В&А
Ассоциативность
А  (В  С)= (А  В)  С
А &(В & С)= (А & В) &С

Дистрибутивность
А  (В & С)= (А  В) &(A С)
А & (В  С)= (А & В) (A&С)
Поглощение
А  (А & В)=А А & (А  В)=А
Законы де Моргана
(А В)=  А&В (А &В)=  А  В

6

Морган Огастес (Августус) де (27.6.1806-18.3. 1871) - шотландский математик и логик. Секретарь Королевcкого астрономического общества (1847г.), член Лондонского королевского общества. Первый президент Лондонского математического общества. Родился в Мадуре (Индия). Учился в Тринити-колледж (в Кембридже). Профессор математики в университетском колледже в Лондоне. Основные труды по алгебре, математическому анализу и математической логике. В теории рядов описал логарифмическую шкалу для критериев сходимости; занимался теорией расходящихся рядов. Один из основателей формальной алгебры. Продолжая работы Дж. Пикока, Морган в 1841-1847 гг. опубликовал ряд работ по основам алгебры. В трактате "Формальная логика или исчисление выводов необходимых и возможных" (1847г.), Морган некоторыми своими положениями опередил Дж. Буля. Позднее Морган успешно изучал логику отношений - область, не охваченную исследованиями предшественников. Написал много исторических работ, в частности книгу "Бюджет парадоксов" (1872г.). Большой вклад внес также в дедуктивную логику вообще и математическую в частности. Лондонское математическое общество учредило медаль им. О. Моргана.

Импликации
А В = А  B А В =  B A
Эквивалентности
АВ = (А&B)  (A& B)
АВ = (А   B)  (A  B)
АВ = (А  B) & (B  A)

- это замена их на равносильные на основе законов алгебры высказываний с с целью получения высказываний более простой формы

По свойствам констант

По закону исключения третьего
По закону непротиворечия
- По закону
идемпотентности
- По закону двойного отрицания

Пример

Упростить: А В  А   В

По закону дистрибутивности вынесем А за скобки

А  В  А   В=

Упростить: (А  В )& (А   В)

Упростить: ( X   Y )

11

Избавимся от импликации и отрицания. Воспользуемся (¬(A→B)=A& ¬ B). Получится: ¬((AvB)→ ¬(BvC))= (AvB)& ¬ (¬(BvC)).
Применим закон двойного отрицания, получим:(A v В) & ¬(¬(В v С)) = (A v В) & (B v С).
Применим правило дистрибутивности ((A∙B) +(A∙C) = A∙(B+C)). Получим: (AvВ)& (B v С)= (AvB)&Bv(AvB)&C
Применим закон коммутативности (A&B=B&A ) и дистрибутивности (16). Получим: (AvB)&Bv(AvB)&C = A&BvB&BvA&CvB&C.
Применим (А& A= A) и получим: A&BvB&BvA&CvB&C= A&BvBvA&CvB&C
Применим ((A&B) v(A&C) = A&(BvC) ), т.е. вынесем за скобки В.Получим:A&BvBvA&CvB&C= B& (Av1)vA&CvB&C.
Применим (Аv 1= 1 ). Получим:B& (Av1) vA&CvB&C= BvA&CvB&C.
Переставим местами слагаемые, сгруппируем и вынесем В за скобки. Получим:BvA&CvB&C = B& (1vC)vA&C.
Применим (Аv 1= 1 ) и получим ответ: B&(1vC)vA&C=BvA&C.

12

Закрепление изученного
№1.
Упростите выражение:
F = ¬ (A&B) v ¬ (BvC).
F = (A→B) v (B→A).
F = A&CvĀ&C.
F =AvBvCvAvBvC

№2
Упростите выражение:
F = ¬(X&Yv ¬(X&Y)).
F = X&¬ (YvX).
F = (XvZ) & (XvZ) & (YvZ).

13

Ответы к № 2:
F = ¬(X&Yv ¬(X&Y)) = 0.
F = X&¬ (YvX) = X&Y.
F = (XvZ) & (XvZ) & (YvZ) =X&(YvZ).

Ответы к № 1:
F = ¬ (A&B) v ¬ (BvC) =AvB.
F= (A→B) v (B→A) = 1.
F = A&CvĀ&C=C.
F =AvBvCvAvBvC=1.

14

Упростите логические выражения:
Х&X&1
F= не (Х и (не Х и не Y))
F= B&(AvA&B)
0&Xv0
F= не Х или (не (Х и Yи не Y))
F= (AvC)&(AvC)&(BvC)
0vX&1
F= не Х и (не(неY или Х))
F=A&B v A&Bv A&BvB&C

: - ) - радостное лицо

: - ( - грустное лицо

; - ) - подмигивающая улыбка

: 0 ) - клоун

8:-) - маленькая девочка

Если вы считаете, что хорошо поработали, справились с заданием и урок вам понравился, то нарисуйте улыбающийся смайлик



Если вы довольны результатами вашей работы, но урок вам не понравился, то нарисуйте



Если урок вам понравился, но вы не успели справиться со всеми заданиями, то нарисуйте



Если урок вам не понравился и вы недовольны результатами своей работы на уроке, то нарисуйте