Математическая олимпиада для студентов 1 курса колледжа (задания с решением)

Министерство образования и науки Челябинской области  Государственное бюджетное профессиональное  образовательное учреждение  «Южно­Уральский многопрофильный колледж» Олимпиадные задания с решением по УД «Математика»  для студентов 1 курса ГБПОУ «ЮУМК»                                                                                                     2016­2017 учебный год 1. Вычислить:  2. Дано:  tg log 3 2  log 3  log 5 4 4  log 5  log 7 6  6 log 8 .7  (2 балла)  ctg   .3  Найдите:  tg  ctg 3   3 .  (2 балла) 3. Решить уравнение:  3cos x  sin2     3 2  x 4. Решить неравенство:  2 2 x  1    1 2 1     x  e e   .   . 0  (3 балла)  (3 балла) 5. Найдите   производную   функции:    xl   1      1 9ln 3 cos x 2  9  9ln  log  9 3 cos x 2    и вычислить в точке     3 6. При   каких  a  уравнение   x х (6 баллов) .    (4балла) xa log  2 xa   имеет   решение   и   решить   данное   уравнение. 7. Сравнить выражения: 16 log 8. Проверить на равносильность уравнения: 4 2      и    arccos ( ­ 2 ).  (3 балла) 2 log5 2( x  03)24 9. Упростить выражение:   x 52  x  8   и        41 3     1       (3 балла)    1 sin   cos  +  1   cos  sin  ­  2 sin .   (5 баллов) 10.Задача. В одном саду росли четыре цветка: Роза, Тюльпан, Ирис и Гладиолус. Но это были не простые цветы. Каждый зацветал в определенное время суток: утром, днем, вечером или ночью. Хозяйка сада, всегда поливая розы, поливает и вечерние цветы сразу. Она точно знает, что утренние цветы нельзя подкармливать теми же удобрениями, что   и   ирис,   а   тюльпаны   требуют   того   же   ухода,   что   и   цветы,   расцветающие   ночью. Однажды в журнале хозяйка вычитала, что розы, ирисы и гладиолусы, ни в коем случае нельзя сажать рядом с дневными цветами. Она очень удивилась, потому что розы у нее всегда росли рядом с тюльпанами, а ирисы – рядом с вечерними цветами. Какие цветы расцветают, в какое время суток?   (9 баллов)                                           Итого: 40   баллов   1 Подготовила: Кондратьева Евдокия Андреевна, преподаватель ГБПОУ «ЮУМК»  высшей квалификационной категории УД «Математика» Задания с решением для олимпиады  рассмотрены,  обсуждены и утверждены цикловой методической комиссией  блока математических и ЕН дисциплин                                                                                 «29» марта 2017 г.  Протокол №7           Председатель цикловой методической комиссии ______________/О.Н.Суханова Задание 1 (2 балла). Вычислить:  log 3 2  log 3  log 4  log 5  log 6  log .7 8 7 6 5 4 Приложение: задания с решением (на 4 страницах) Решение: Перейдём   к   основанию   3.   Имеем:   6 7 log log log log log log log log log 4 5 3 4 5 6     2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 log  2 3 log log 3 3  log 7 8  3  4 log log 2  3 5  4 1 log log 6 5  log  log 3 2  8 7 6  1 log3 3 log 8 2 3 = 7 1 3 .  Ответ:  1 3 . Задание 2 (2 балла). Дано:  tg  ctg   .3  Найдите:  tg  ctg 3   3 . Решение: Использовав   формулы   сокращённого   умножения   и   условия задания имеем:  2 tg  = ctg   3 ctg     3   3 tg   13 3    2 1 ,   с   учётом    ctg tg ctg  63   ctg tg ctg    2 tg    .18 3 tg ctg  tg    3    2 Ответ: 18. Задание 3 (3 балла). Решить уравнение:  3cos x  sin2     3 2  x   .  Решение: 2 Применив   формулу   тройного   аргумента:   cos  3  4 cos 2   3 cos    и   формулу приведения:  cos  , представим заданное уравнение в виде:       cos 2 x , sin  3  2   cos x  ,0 x   1 3 cos 2 x .0 3 3   4 4 cos cos x cos x cos  cos 4 x  x 0  2   x 1 Zkk  ,  01 1 2  , 4 cos 2 x 2 cos x  x 2   3 Zkk  , . Zkk  , . Ответ:   2  Zkk   , ;   3   Задание 4 (3 балла). Решить неравенство:  2 2 x  1    1 2 1     x  e e 0  . x x 2   y . ,0 .1      x  2 2 01  2  Решение: Используем свойства степеней, получим:   2 2 2 2  Замена:  ,02 ,02    y 2  y  y  ,2  y 2 2 y y y y Переходим к квадратному неравенству:    y 1 Подставляя      2 x ,2 2               ,1x  ,0 x2 вместо  y , получим x  значит  2 x  но   .1 .1 ,1  0 2 2 y y y  2 1 2  ­ всегда, значит  2 x 1  не имеет решение. Ответ:  .1x Задание 5 (4 балла).  Найдите производную функции:   xl   1      1 9ln 3 cos x 2  9  9ln  log  9 3 cos x 2    . Решение: Производная   данной   функции   находится   как   производная   суммы   сложных функций: 1   xl    39ln 1 9ln   3 1 2 x 9ln 9ln cos sin sin               3 2 9 2 cos x x x x    2 2 3 x 2 3   sin3  2 x  2 x  9 3 cos 2 x  2 tgx ,  в точке  x 0  3  получим: l      3     2    3    sin3  3  3 cos  3 9  tg  3    2 3    3  3 2  3 1 2  9  3     2  3 3   3 3 1 2  2 3         1      2 83 2 .83 Ответ: ­83. Задание 6 (6 баллов). При каких a уравнение  x xa log  2 xa  имеет решение, и решить данное уравнение.   по   формуле   перехода   логарифма   от   основания  а  к 2  log x 2 a     lg x lg x ,  lg lg xa xa     ,0x xa  .1a ,0a . Решение: ОДЗ.    Логарифмируем обе части уравнения по основанию 10, получим: lg Используем свойства логарифмов:  log основанию 10 имеем: lg lg lg y a lg    2 y lg a lg x   2 lg8 lg Д a 0a Если   (из ОДЗ), то уравнение имеет решение:  lg3 2  Замена:   a 2 lg9 lg2  a lg  a .0 , a x a 2 x   0  lg lg a lg a lg x lg x      2 a lg 2  . y   ,0  . x 2 2 a  , y 2,1      0a Ответ:  при   x   и  решения:  2a 1a     и   1 .  x a         уравнение имеет 2 y 1 lg x  x  lg2  2 a a lg2 . , a , y 2 lg   x x  a 1  , a lg lg a 1 a , . Задание 7 (3 балла). Сравнить выражения: 16 log 4 2      и    arccos ( ­ 2 ). 2 Ответ: 16 log 4 2  < arccos ( ­ 2 ).   2 Задание 8 (3 балла). Проверить на равносильность уравнения: 4 log5 2( x  03)24   и     x 52  x  8  1 .    41 3    Ответ: Уравнения не являются равносильными, т. к. их решения не совпадают. Задание 9 (5 баллов). Упростить выражение:   1  sin   cos     1 +   cos  sin 2  ­  sin . Ответ: 0. Задание 10 (9 баллов). Задача. В одном саду росли четыре цветка: Роза, Тюльпан, Ирис и Гладиолус. Но это были не простые цветы. Каждый зацветал в определенное время суток: утром, днем, вечером или ночью. Хозяйка сада, всегда поливая розы, поливает и вечерние цветы сразу. Она точно знает, что утренние цветы нельзя подкармливать теми же удобрениями, что   и   ирис,   а   тюльпаны   требуют   того   же   ухода,   что   и   цветы,   расцветающие   ночью. Однажды в журнале хозяйка вычитала, что розы, ирисы и гладиолусы, ни в коем случае нельзя сажать рядом с дневными цветами. Она очень удивилась, потому что розы у нее всегда росли рядом с тюльпанами, а ирисы – рядом с вечерними цветами. Какие цветы расцветают, в какое время суток? Решение: Розы Тюльпан Ирис Гладиолус утро + – – – Итого: 40     баллов день – + – – вечер – – – + ночь – – + – 5