материал

олимпиада по физике. 9 класс.

Задача 1. Первый вагон тронувшегося с места поезда прошел мимо неподвижного наблюдателя, стоявшего у начала этого вагона, за время t₁, последний вагон – за t₂. Считая движение поезда равноускоренным, а длины вагонов одинаковыми, найдите время движения мимо наблюдателя всего поезда.

Решение.

Время движения всего поезда

.

Общее число вагонов (по исходным данным)

,

и это число, разумеется, должно быть целым.

Безукоризненный ответ, следовательно, выглядит так:

если исходные данные таковы, что

,

искомое время

;

если  не является целым числом, задача решения не имеет

Задача 2. В сосуде, площадь дна которого S_o = 10 см², находится вода. Высота ее столба h_o = 1,5 см. На воду кладут деревянный кубик, на него второй и т. д. Сколько кубиков надо так положить в столбик, чтобы нижний коснулся дна сосуда? Все кубики одинаковые, высота одного a = 10 мм, плотность дерева 0,4 г/см³, плотность воды 1 г/см³. Вода из сосуда не выливается.

Пусть столбик из кубиков чуть коснулся дна сосуда. При этом объем воды (он заштрихован), вытиснутой кубиком, равен объему воды, поднявшейся выше первоначального уровня. Значит,

.

Сила тяжести столбика равна архимедовой силе, поэтому

.

Из этих уравнений минимальное количество кубиков

.

По смыслу n – целочисленное, поэтому ответ задачи: n ³ 5

Задача 3. Электрический нагреватель имеет три одинаковые спирали. Две параллельно соединенные спирали подключены последовательно с третьей. Нагреватель опущен в сосуд с водой. Спустя t_о = 9 мин, когда вода нагрелась от температуры t₁ = 20 ^оС до температуры t₂ = 50 ^оС, спираль в параллельном соединении перегорела. На сколько больше времени из-за этого придется ждать, пока вода закипит? Потери теплоты не учитывать, напряжение на клеммах постоянно.

До перегорания спирали сопротивление нагревателя R = 1,5r, где r – сопротивление одной спирали. Его мощность , где U – напряжение на клеммах источника. Уравнение теплового баланса при нагревании воды от t₁ до t₂ имеет вид , где c – теплоемкость воды. Если бы спираль не перегорела, то время нагревания воды от температуры t₂ до кипения было бы

.

С двумя спиралями сопротивление нагревателя R₂ = 2r, его мощность . Поэтому для такого же нагревателя воды потребуется время

.

Тогда

.

Задача 4. Два луча симметрично пересекают главную оптическую ось собирающей линзы на расстоянии d = 7,5 см от линзы под углом a = 4^о. Определите угол b между этими лучами после прохождения ими линзы, если фокусное расстояние линзы F = 10 см.

Построим ход одного из данных лучей после преломления в линзе. Через оптический центр линзы проведем побочную оптическую ось OC, параллельную данному лучу AB. Параллельные лучи после прохождения собирающей линзы пересекаются в фокальной плоскости. Очевидно, что точкой пересечения данных лучей будет точка C, которая одновременно принадлежит оси OC и фокальной плоскости FC. Продолжим луч BC влево до пересечения с главной оптической осью линзы в точке A^/. Угол BA^/O является половиной искомого угла b. Проведем линию BD параллельно главной оптической оси. Угол CBD также равен b/2. Отрезок FC равен , где F – фокусное расстояние нашей линзы. А отрезок FD равен отрезку OB, который в свою очередь равен . Из треугольника CBD найдем

.

Отсюда

.

Эту задачу можно решить и с использованием формулы линзы. Так как точка A расположена ближе фокуса линзы, ее изображение будет мнимым. Запишем формулу линзы и найдем расстояние f от мнимого изображения A^/ точки A, до линзы:

.

Из треугольника A^/OB находим .

Поскольку

.

Задача 5. Из ведра налили в кастрюлю некоторое количество воды, затем поставили кастрюлю на нагреватель и через 30 минут вода в ней закипела. Тогда из того же ведра зачерпнули еще некоторое количество воды и долили в кастрюлю. При этом температура воды в кастрюле понизилась на 12 ^оС. Через 5 минут после этого вода в кастрюле закипела. Какова температура воды в вере. Теплообмен воды с внешней средой не учитывать.

При нагревании первой порции воды , N – полезная мощность нагревателя. При нагревании второй порции воды . Отношение масса воды . При смешении двух порций воды . Из последнего равенства находим t₁:

. После вычислений, находим t₁ = 16 ^оС.

Задача 6. Телу, находящемуся у основания наклонной плоскости, резким толчком сообщается скорость V = 10 м/с, направленная вверх по наклонной плоскости. Через какое время тело вернется в исходную точку, если коэффициент трения скольжения k = 1, а угол наклона плоскости к горизонту a = 30^°?

Так как коэффициент трения скольжения k = 1, а tg a = Ö3/3, то выполняется условие k > tg a. Поэтому тело некоторое время будет двигаться вверх по наклонной плоскости и, поднявшись на не которую высоту, остановится. В исходную точку тело никогда не вернется.

Задача 7. Высадившись на полюсе некоторой планеты, космонавты обнаружили, что сила тяжести там составляет 0,01 земной, а продолжительность суток такая же, как на Земле. При исследовании планеты оказалось, что на ее экваторе тела невесомы. Определите радиус планеты.

8.Для тела, которое покоится на экваторе, уравнение движения имеет вид

Rmw² = m g₁ - N,

где N - сила реакции поверхности планеты, g₁ = 0.01·g - ускорение свободного падения на этой планете, g - ускорение свободного падения на Земле. Период обращения планеты по орбите T = 1 сутки (как и у Земли) и связан с угловой скоростью w соотношением w = 2p/T.

Поскольку на экваторе тела невесомы, N = 0. Тогда

(4p²Rm)/ T²     = mg₁.

Следовательно

R = (T²g) /(400p²)       ;       R = 1.8·10⁷m.

Задача 8. Два тела массами m₁ и m₂ подняты на высоту H над поверхностью земли и затем одновременно отпущены. Во время падения на них действует одинаковая сила сопротивления F. Одновременно ли тела упадут на землю?

. . Пусть m₁ > m₂. Определим ускорения тел при падении

a₁ = g – F/ m₁  ;   a₂ = g – F/ m₂         .

Так как m₁ > m₂, то а₁ > a₂. Следовательно, раньше упадет на землю тело, имеющее большую массу.

Задача 9. Эластичная массивная веревка перекинута через блок, причем часть ее лежит на столе, а часть на полу.

После того, как веревку отпустили, она начала двигаться. Найдите скорость установившегося равномерного движения веревки. Высота стола H.

. Для решения задачи заметим, что за время Dt масса веревки, равная rVDt, приобретает скорость установившегося движения V (r - масса веревки единичной длины). Второй закон Ньютона записывается в форме DP/Dt = F, откуда rV²Dt/Dt = rgH. Стало быть, V = (gH)^1/2.