Материалы по физике

             Соотношения неопределенностей

Итак, мы видели, что свет можно рассматривать и как поток свето- вых частиц, фотонов, и как электромагнитную волну. То же самое можно сказать и об электронах и других микрочастицах. Например, в

опыте по отражению от монокристалла Ni поток электронов проявля- ет волновые свойства; однако во всех типах электроннолучевых тру- бок, например, в кинескопах телевизоров, поток электронов проявляет корпускулярные свойства, ведет себя как поток отрицательно заря- женных частиц. Подчеркнем еще раз, что подобная двойственность имеет место и у других микрочастиц, а именно, всегда в природе имеются явления, в которых частицы проявляют волновые свойства, и имеются явления, в которых эти же частицы проявляют корпускуляр- ные свойства.

Из анализа многочисленных опытов с микрочастицами с учетом волновых и корпускулярных свойств вытекает принцип неопределен- ности Гейзенберга, который, в сущности, представляет один из фун- даментальных законов природы в микромире. С одной стороны, этот принцип имеет большое философское значение, а с другой – он нахо- дит практическое применение при выполнении некоторых конкретных расчетов. Физическая причина наличия этого закона заключается в двойственной природе материи.

Открытие закона соотношения неопределенностей связано с име- нем Вернера Гейзенберга. Весной 1925 г. по приглашению Н. Бора из города Геттинген (Германия) в город Копенгаген прибыл В. Гейзен- берг. Там он сразу попал в обстановку научных споров, в среду лю- дей, для которых физика была главным делом их жизни. Основной вопрос, который обсуждал Гейзенберг, состоял в следующем: почему в атоме электрон не подчиняется законам электродинамики, почему в процессе движения электрон не падает на ядро и даже не излучает, если атом не возбужден? В конце концов, после многих раздумий и обсуждений со своими коллегами по работе он пришел к выводу, что понятие траектории электрона в атоме не имеет физического смысла, оно к электрону в атоме неприменимо.

Рассмотрим на примере наиболее понятных нам световых явлений физическую причину возникновения соотношения неопределенности.

Пусть в пространстве на плоский экран I со щелью падает пучок параллельных лучей. После экрана поместим линзу, в фокальной плоскости которой расположен другой экран (рис. 1.5.1).

Тогда, как мы знаем, на втором экране будет возникать интерфе- ренционная картина, соответствующая дифракции от одной щели. Дифракционная картина будет особенно четко видна, если ширина входной щели сравнима с длиной волны света.

Условие минимума в случае дифракции от одной щелиa sin j = kl,

где a – ширина щели, k = 1, 2, 3, . . . , l – длина волны,  Тогда угловая ширина дифракционного максимума

k < a / l .

Dj =

l

a cos j

, Dk = 1.

И если

a >> l , то

Dj << 1 , если

a << l , то

Dj > 90° , и дифракция

как в первом, так и во втором случаях наблюдаться не будет. Значит, для наблюдения четкой дифракционной картины необходимо, чтобы  a » l . Это обстоятельство мы используем в дальнейшем, когда будем более подробно рассматривать физическую причину возникновения соотношений неопределенностей.

a

II

Рис. 1.5.1. Возможная схема наблюдения интерференции волн при рассеянии на щели

Если к анализу результата опыта применить корпускулярный под- ход, то можно считать, что после прохождения через щель поток све- товых частиц, фотонов, отклоняется от первоначального направления на величину угла дифракции j . Причину такого отклонения можно

видеть во взаимодействии фотонов с веществом экрана I и возникаю- щем в результате этого рассеянии.

Положение одного фотона в потоке световых частиц в направлении оси Оx можно определить лишь с точностью, равной ширине щели a . Таким образом, неточность в определении координаты x любого из падающих фотонов будет Dx = a , поскольку в нашем распоряжении нет приборов, при помощи которых без нарушения условий исходного

опыта можно более точно определить координату фотона x. Наряду с этим существует еще и неопределенность положения фотона в преде- лах дифракционного максимума, который образован потоком рассе- янных фотонов. Вероятность углового распределения дифрагирован- ных фотонов не одинакова для различных углов дифракции: имеются направления, в которых фотоны отклоняются с большей вероятно- стью, и имеются направления, в которых фотоны практически не от- клоняются, т.е. вероятность их дифракции в этом направлении прак- тически равна нулю. Этим и объясняется наличие на экране II участ- ков с максимальной и минимальной освещенностями. Стало быть, не- определенность в определении направлении движения фотона обу- словлена конечной шириной максимума, величину которого обозна- чим Dj .

Итак, фотон в пространстве летит где-то в пределах угла

Dj , но

где именно – мы не знаем, у нас нет способа, при помощи которого можно уточнить положение фотона без нарушения условий исходного опыта. Стало быть, неопределенность углового положения фотона бу- дет равна Dj .

Фотон распространяется со скоростью света  c . Масса покоя фото-

на  m0ф = 0 , это означает, что в природе нет такой системы отсчета,  в

Заметим, что понятие релятивистской массы не является общепри- нятым. Однако "безмассовость" фотона не противоречит наличию у

него импульса

pф = e / c

Импульс фотона ось Ох будет равна

p = mфc , а проекция импульса на координатную

px = mфcx .

Тогда неточность в определении проекции импульса на ось Ох бу- дет равна

Dpx = mфDcx .

Из рис. 1.5.1 видно, что cx = c sin j, Dcx = c cosjDj , поэтому

Dp  = m c cos jDj = h cos jDj .

x             ф                                   l

                                                           Таким образом, угловой неопределенности движения фотона Dj

соответствует неопределенность величины проекции импульса Dpx .

Составим теперь произведение

Dp  Dx = h cos jDj × a = h a cosjDj .                   (1.5.1)

x                l                    l

До сих пор мы использовали корпускулярный подход к объясне- нию явления дифракции от одной щели. Применим теперь волновые представления о свете.

Известно, что условие минимума дифракции от одной щели имеет вид:

a sin j = kl,     k = 1,2,3,... < a / l .

Тогда разность углов между двумя соседними минимумами, кото- рая, собственно, и определяет угловую ширину максимума, может быть найдена из выражения:

a cosjDj = lDk = l,

и после подстановки в (1.5.1) получаем

k = 1,

DpxDx = h .                                 (1.5.2)

Из (1.5.2) следует: чем точнее задана координата фотона, т.е. чем меньше ∆x, чем меньше ширина входной щели a , тем менее точно

можно определить проекцию импульса

Dpx . И наоборот, чем точнее

известна проекция импульса, т.е. чем меньше угловая ширина макси- мума, тем менее точно может быть определена координата микрочас- тицы. Это предельная точность определения координаты, ее величина не зависит от особенностей постановки опыта, так как она вытекает из закона природы.

Полученное в результате проведенных рассуждений уравнение (1.5.2) соответствует идеальному случаю, когда измерение отдельных параметров движения микрочастицы проводилось без учета ошибок эксперимента и побочных дифракционных механизмов. На самом деле

погрешность опыта всегда увеличивает как

Dpx , так и

Dx . Поэтому

уравнение (1.5.2) следует заменить неравенством

DpxDx > h .                                 (1.5.3)

Далее, можно показать, что для направления вдоль оси Оy

Rl³

Dpy Dy = a4 cos j h,

где R – радиус дуги окружности экрана II . Но

a » l,cosj » 1, R >> a,

Поэтому

DpyDy > h .                                 (1.5.4)

Итак, в общем случае с учетом (1.5.3) и (1.5.4) имеем:

DpxDx > h ,

DpyDy > h ,                                 (1.5.5)

DpzDz > h .

Система неравенств (1.5.5) и представляет собой соотношения не- определенностей Гейзенберга. Мы получили их на примере дифрак- ции света, однако они выполняются для любых микрочастиц. Соот- ношения неопределенностей, записанные в виде системы неравенств (1.5.5), выполняются только для проекций импульсов и координат на одноименные координатные оси. Поэтому для проекций на разно- именные координатные оси правая часть неравенств (1.5.5), в частно- сти, может быть равна нулю, например,

DpxDy ³ 0, DpzDx ³ 0.

В этом случае проекцию импульса и координату вдоль разноимен- ных направлений в мысленном опыте можно определить одновремен- но с любой точностью. Так, можно совершенно точно определить и

проекцию импульса на ось Оx и координату y. В этом случае

Dy = 0 .

Dpx = 0 ,

Из системы неравенств (1.5.5) для проекций импульса и радиуса вектора на соответствующие координатные оси можно получить еще одно неравенство, связывающее между собой неопределенность вели- чины полной энергии микрочастицы с неопределенностью момента времени, когда частица имеет указанную полную энергию. Покажем это на примере фотона.

Пусть r есть направление, вдоль которого фотон движется со скоро- стью c . Для направления r запишем соотношение неопределенности:

Энергия фотона

DpDr > h, DpDr > h.

eф = mфc² = pc.

(1.5.6)

Импульс и координата фотона в момент времени t :

p = e , r = ct.

c

Тогда неопределенность значения импульса и неопределенность значения координаты фотона соответственно равны

Dp = De , Dr = cDt.

c

и после подстановки найденных значений в (1.5.6) получаем

DeDt > h .                                     (1.5.7)

Установленное неравенство (1.5.7) справедливо не только для фо- тонов, но и для иных микрочастиц.

Физический смысл неравенства (1.5.7) следующий: чем точнее из- вестен момент времени, когда была определена энергия микрочасти- цы, тем менее точно может быть определена ее полная энергия, и на- оборот. А применительно к свойствам самой системы его можно сформулировать так: чем меньше длительность некоторого энергети- ческого состояния системы, тем больше неопределенность в знании ее полной энергии.

Так как

px = mvx ,

то

Du  Dx > h .                                 (1.5.8)

x                m

Неравенство (1.5.8) позволяет установить границу применения классической и квантовой механик. Так, если координата микрочас-

тицы определяется настолько  точно,  что неопределенность  Dx ее по-

ложения в пространстве меньше характерного линейного размера час- тицы, то при анализе ее движения можно применять корпускулярный подход, если же эта неопределенность больше ее характерного разме- ра, то для описания движения необходимо использовать волновую функцию. (Характерным размером может быть, например, размер атома или молекулы).

Допустим, нам известен способ, с помощью которого можно опре-

делить скорость электрона в атоме с точностью

Dvx = 1мм/с. Тогда из

(1.5.8) следует, что

Dx » 0,7м. В этом случае

Dx >> R, где R – радиус

ядра атома. Такой электрон в процессе движения проявляет только волновые свойства. Если же эта скорость определена, допустим, в ки- нескопе телевизора, то электрон следует рассматривать как частицу.

Таким образом, движение электрона в атоме, в кристаллической решетке твердого тела может быть описано с помощью волновой функции, его положение в пространстве определяется величиной плотности вероятности.

Соотношение неопределенностей не отрицает возможность одно- временного определения координаты и импульса микрочастицы, их одновременное измерение возможно лишь с определенной точностью. В этом утверждении заключается отказ от некоторых представлений, укоренившихся в физике того времени. Так, в классической физике

широко пользуются понятием траектории движения материальной точки, траектории движения частицы, причем под траекторией пони- мается зависимость координаты, определяющей положение матери- альной точки в пространстве, от времени. Знание траектории предпо- лагает знание с любой точностью и координаты, и скорости (коорди- наты и импульса). В классической механике координата и скорость материальной точки в любой момент времени в принципе могут быть определены одновременно с любой точностью, это значит, что движе- ние материальной точки, движение центра масс в пространстве проис- ходит по определенной траектории. В квантовой механике одновре- менное абсолютно точное определение координаты и импульса мик- рочастицы в принципе невозможно. Поэтому понятие траектории движения отсутствует, оно не имеет физического смысла. Мы, конеч- но, можем указать путь, пройденный электроном, но тогда ничего не можем сказать о том, в какой момент времени электрон будет зани- мать то или иное положение в пространстве. В классической механике всегда имеется возможность однозначно предсказать будущее по прошедшему. В квантовой механике однозначность предсказания за- меняется вероятностью предсказания.

Из соотношений неопределенности вытекает принцип дополни- тельности. Он был сформулирован Н. Бором в виде следующего ут- верждения: координату и импульс микрочастицы нельзя абсолютно точно измерить не только одновременно, но и с помощью одного и того же прибора.

В самом деле, чтобы измерить импульс атома и при этом не очень сильно его изменить в результате воздействия на атом самого прибо- ра, необходим очень легкий подвижный датчик, способный переме- щаться вместе с атомом в процессе измерения. Но такая подвижность приведет к тому, что его положение в пространстве окажется весьма неопределенным. Для измерения координаты необходим прибор с очень большой массой датчика. Поэтому при попадании частицы в такой датчик положение датчика в пространстве меняться не будет. Таким образом, в природе всегда существуют две сопряженные физи- ческие величины, одновременное измерение которых в принципе не- возможно. Такими сопряженными величинами, в частности, являются координата и импульс частицы, потенциальная и кинетическая энер- гии и т.д. Гносеологическая причина несовместимости дополнитель- ных понятий заключается в двойственной природе материи. Этот за- кон является универсальным и охватывает все без исключения явле- ния природы.

Скачано с www.znanio.ru