Материалы по физике

             Уравнение Шредингера

Уравнение Шредингера является основным законом квантовой ме- ханики, его роль является такой же, какую второй закон Ньютона иг- рает в классической механике.

Эрвин Шредингер (1887–1961) в 1911 г. окончил Венский универ- ситет. В 1925 г. он стал профессором Цюрихского университета. Шредингер знал, что в природе существует оптико-механическая ана- логия, которую впервые установил Гельмгольц. Но Гельмгольц дока- зал ее лишь для геометрической оптики, в которой не учитываются волновые свойства света. Шредингер же предположил, что оптико- механическая аналогия сохраняется и в волновой оптике. Это значит, что любое движение частиц можно рассматривать как распростране- ние некоторой волны.

Квантовая механика – это раздел физики, описывающий движение микрочастиц в пространстве с учетом волновых и корпускулярных свойств материи. Квантовая механика рассматривает движение только тех объектов, которые в процессе движения проявляют волновые свойства. Поэтому квантовая механика движение макротел вообще не описывает. Критерий, с помощью которого можно указать границу применимости квантовой механики, определяют соотношения неоп- ределенностей.

Если

Dx ³ z

или

Dvx ³ vx , где z – характерный размер частицы, то

для решения задачи следует применять квантовую механику. Если же

Dx << z

или

Dvx << vx , то движение микрочастицы можно рассматри-

вать без учета ее волновых свойств, и следует применять классиче- скую механику.

Слово "механика" в термине "квантовая механика" как бы подчер- кивает, что эта наука изучает законы движения микрочастиц, а не их природу. Подобно тому, как классическая механика занимается изу- чением движения объектов, не вдаваясь в объяснение природы этих объектов, так и квантовая механика объясняет движение электронов вокруг ядер атомов на основе тех и только тех свойств ядер и электро- нов, которые важны для решения данной конкретной задачи.

Теоретическое объяснение законов теплового излучения, явления фотоэффекта, природы и свойств рентгеновских лучей, гипотеза де Бройля о волнах материи – все это были важнейшие этапы в развитии теоретических основ физики атома, молекул, твердого тела. Однако эти результаты явились лишь предварительным этапами при обосно- вании уравнения, описывающего движение электрона с учетом его

двойственной природы – волновой и корпускулярной. Решающий шаг в этом направлении сделал Шредингер в 1926 г., когда получил урав- нение, с помощью которого оказалось возможным описать движение электрона и других микрочастиц с учетом волновых и корпускуляр- ных свойств. Это уравнение отображает один из основных законов природы в области микромира. И подобно тому, как все основные за- коны природы не выводятся, а постулируются, устанавливаются по догадке, так и это уравнение не выводится, а постулируется, устанав- ливается на основе физической аналогии с использованием некоторой доли физической интуиции.

В физике до сих пор мы знали два закона природы, отображающих корпускулярные и волновые свойства материи.

1.                                                                           Второй закон Ньютона:

dt 2

Решением уравнения (1.6.1) является уравнение траектории мате- риальной точки в пространстве. Ограничимся пока одномерным дви- жением вдоль координаты x.

2.                                                                           Волновое уравнение для напряженности электрического поля:

¶2E =

¶x2

1  ¶2E .                (1.6.2)

Решением уравнения (1.6.2) является уравнение электромагнитной волны

(1.6.3)

0  0                                                                                                                            ⎢⎣                    h ⎥⎦

Если теперь сравнивать между собой уравнения (1.6.1) и (1.6.2), то уравнение Шредингера является как бы промежуточным уравнением, в котором учтены и волновые, и корпускулярные свойства микрочас- тиц, оно играет точно такую же роль, какую в классической играет второй закон Ньютона, а в электродинамике – волновое уравнение.

Отметим, что в квантовой механике понятия силы, кинетической энергии, траектории не используются, так как здесь они не имеют фи- зического смысла. Объясняется это тем, что наличие силы позволяет из (1.6.1) определить траекторию движения микрочастицы. Но само понятие траектории в квантовой механике отсутствует, поэтому должно отсутствовать и понятие силы.

Рассмотрим теперь те соображения, которые могут привести к ус- тановлению уравнения Шредингера. Наши рассуждения проведем на примере свободного электрона. Как и раньше, будем исходить из того,

что волновые свойства электрона описываются волновой функцией y в виде плоской волны, введенной по аналогии с плоской электромаг- нитной волной (3).

Волновая функция свободного электрона по своей структуре по-

добна уравнению плоской электромагнитной волны, поэтому Шре- дингер предположил, что в природе должно существовать такое вол- новое уравнение, решением которого является волновая функция y :

¶²y =

¶x²

1  ¶2y ,                  (1.6.4)

где vф – фазовая скорость волны, описывающая движение свободного электрона с вероятностной точки зрения.

Таким образом, Шредингер, как и де Бройль, при формулировке

основного уравнения квантовой механики использовал метод анало- гии. Так как исходное уравнение (1.6.4) является волновым, то и сама квантовая механика также еще называется волновой механикой.

Однако уравнение (1.6.4) не является окончательным, а представ- ляет лишь некоторый промежуточный результат в процессе формули- ровки основного уравнения, поскольку в записанном виде это уравне- ние характеризует движение микрочастицы лишь с волновой точки зрения.

Учтем теперь ее корпускулярные свойства. Ранее мы нашли выра- жение для фазовой скорости волновой функции, описывающей дви- жение свободного электрона в пространстве:

v   = dx  =  e ,

ф     dt    p

Здесь ε – полная энергия электрона, p – импульс электрона. Вол- новая функция свободного электрона

-   i (et - px)

Поэтому

¶²y

y = y0e h

p2 ⎛       e2

.

⎞ p2

.  (1.6.5)

⎜-

⎝ h2

y⎟ = -  y

Кинетическая энергия свободного электрона

p2

K =

2m

или

p2 = 2mK.

Подставим полученное выражение для квадрата импульса в (1.6.5):

¶²y = - 2m

(1.6.6)

¶x²

h Ky.

Уравнение (1.6.6) справедливо лишь для частного случая движения свободного электрона. Попробуем теперь уравнение (1.6.6) видоизме- нить так, чтобы оно было справедливым не только для свободного электрона, но и для электрона в поле других консервативных сил. В этом случае кинетическая энергия электрона

K = e - U (x),

где U (x) – потенциальная энергия электрона.

Следовательно, в общем случае,

p² = 2mK = 2m(e - U (x)).

Подставим найденное выражение в (1.6.6):

(1.6.7)

или

¶x²

U (x)

h2

)y =

.  (1.6.8)

¶x²       h²

U (x)  0

Уравнение 1.6.8) и есть основное уравнение квантовой механики для микрочастицы в поле внешних консервативных сил, причем в случае свободного электрона потенциальная энергия электрона U = 0 . Так как в уравнение (1.6.8) время явным образом не входит, то его решение будет одним и тем же для любого момента времени. Поэтому

уравнение (1.6.8) называется стационарным уравнением Шредингера.

При выводе уравнения Шредингера была допущена физическая неточность: в (1.6.7) кинетическая энергия K была выражена через потенциальную энергию U, что противоречит соотношению неопре- деленности. Действительно, из физического смысла уравнения (1.6.7) следует, что в одном и том же опыте одновременно известны две фи- зически сопряженные величины – кинетическая и потенциальная энергии, т.е. в одном и том же опыте можно определить и точное зна- чение импульса, и точное значение координаты, что в принципе не- возможно. Единственным оправданием для Шредингера является то, что при составлении своего уравнения Шредингер не знал закона – соотношения неопределенности, этот закон был опубликован позднее. В общем случае, для реального пространства трех измерений, ста-

Dy + 2m (e -

h2

r ) ,                         (1.6.9)

где D – оператор Лапласа,

D =

¶2

¶x2

+  ¶2

¶y2

¶2

+ ¶z2 .

Перейдем к формулировке нестационарного уравнения Шрединге- ра. Так как волновая функция свободного электрона

-   i (et - px)

y = y0e h   ,

или

¶y = -

¶t

h ey0e

- i (et - px)

h

= - i ey

h

Из (1.6.9) находим εψ :

ih ¶y = ey.

¶t

(1.6.10)

ey = - h2 Dy +

2m

Тогда с учетом (1.6.10) имеем:

r

U (r )y

¶ψ            h²    r

(1.6.11)

¶t         2m ψ

U (r )ψ,

Уравнение (1.6.11) – нестационарное уравнение Шредингера. За- пишем его в иной форме:

¶y            ⎛     h²         r ⎞

(1.6.12)

ih ¶t

= ⎜-    D + U (r ) ⎟y.

2m

⎝ ⎠

В квантовой механике каждой физической величине соответствует свой оператор. При этом для операторов физических величин в кван- товой механике обычно сохраняются соотношения, характерные для самих величин в классической механике. В уравнении (1.6.12) выра- жение в круглых скобках есть математическая операция, она называ- ется оператором Гамильтона:

Hˆ  = -

h2 D + uˆ

(1.6.13)

уравнение Шредингера в операторной форме записи:

ih¶y = Hˆy.

¶t

(1.6.14)

Из (1.6.10) и (1.6.14) получаем стационарное уравнение Шредин- гера в операторной форме записи:

Hˆy = ey,

(1.6.15)

где e – собственное значение, ψ – собственная функция оператора H .

¶y =

¶x

то

h pxy0e

- i (et - px)

h

= h pxy,

⎜ ¶x ⎟     x               x                 x              x                    ¶x

Аналогично получаем

 ¶

¶ , r

 ¶ r

 ¶  r     ¶ r

py = -ih¶y , p_z = -ih¶z

r

p = -ihÑ, Ñ = ¶x i + ¶y j + ¶z k ,

где p – оператор импульса.

Кинетическая энергия электрона

1 ( r× r)

а ее оператор

K p p ,

2m                     2m

D = Ñ ×Ñ.

2m        2m

Тогда с учетом (1.6.13) оператор Гамильтона

Hˆ  = Kˆ + uˆ.

Если оператор физической величины имеет собственное значение, т.е. в результате действия оператора на волновую функцию перед ней в каче- стве коэффициента появляется некоторая вещественная физическая ве- личина (импульс, полная энергия и др.), то такой оператор называется эрмитовым, коэффициент перед волновой функцией называется собст- венным значением оператора, а сама волновая функция – собственной функцией оператора. Средние значения физических величин можно вы- числить только при использовании эрмитовых операторов. Например,

V

e  =   y^* Hˆy  dV =   n Hˆ n .

ò  n            n

0

В общем случае, оператор, действующий на волновую функцию ψ ,

обозначим L . Тогда

Lˆy = Ly,

где L – собственное значение оператора (число), ψ – собственная функция оператора Lˆ .

Скачано с www.znanio.ru