административный

(территориальный округ) образовательная организация

учебный предмет

уровень образования

 уровень форма обучения учитель:

примерная (авторская) программа, на основе которой разработана рабочая программа год издания

СОДЕРЖАНИЕ

                                                                                                                                             страница

1                   ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ    3

1.1             ОСНОВЫ ПЛАНИМЕТРИИ         4

1.1.1 ОСНОВНЫЕ ОБЪЕКТЫ И АКСИОМЫ ПЛАНИМЕТРИИ                             4

1.2             ТРЕУГОЛЬНИК. КОРОТКО О ГЛАВНОМ         8

1.3             ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК. КОРОТКО О ГЛАВНОМ         11

1.4             АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ     13

2                   ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ       15 2.1 ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ    15

2.2             ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ          15

2.3             ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ      16

2.4             УГЛЫ С СОНАПРАВЛЕННЫМИ СТОРОНАМИ         17

2.5             ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ      17

2.6             ТЕОРИЯ O ТЕТРАЭДРАХ             18 2.7 ТЕОРИЯ O ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДАХ      19

2.8       ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЯ ТЕТРАЭДРА И ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА 20 3 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ       24 3.1 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ            24

3.2       ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННЫЕ. УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И           25

ПЛОСКОСТЬЮ

3.4             ДВУГРАННЫЙ УГОЛ. МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ.      27

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ

3.5             ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД       28

1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Планиметрия изучает фигуры и их свойства на плоскости. Образно говоря, планиметрия изучает  всѐ, что можно нарисовать или начертить на листе бумаги.

Основные объекты планиметрии - это точки, линии и замкнутые фигуры (например - квадрат, треугольник, круг, трапеция, ромб). Множество всех точек, рассматриваемых в планиметрии образует плоскость. Множество точек в планиметрии называется фигурой. Замкнутая фигура в планиметрии - это множество точек, ограниченных линией.

Стереометрия изучает фигуры и их свойства в пространстве (слово «стереометрия» происходит от греческих слов «στερεοσ» — объемный, пространственный и «μετρεο» — измерять). Образно говоря, стереометрия изучает всѐ, что можно склеить из бумаги, сколотить из досок, построить из кирпичей и т.п.

Точки обозначаются прописными латинскими буквами A,B,C,D,E,K,… Прямые обозначаются строчными латинскими буквами a,b,c,d,e,k,… Плоскости обозначаются греческими буквами α, β, γ и т. д.

В основе каждого курса геометрии лежат аксиомы - утверждения, которые принимаются без доказательств. С помощью этих утверждений определяются остальные объекты и их свойства. 

1.1 Основы планиметрии

1.1.1 Основные объекты и аксиомы планиметрии Точка и прямая - это и есть самые главные понятия планиметрии.

Теперь первые правила обращения с точками и прямыми. Эти правила математики называют «аксиомы»- утверждения, которые принимаются за основу , из которых потом все основное будет выводиться (помнишь, что у нас большая кулинарная миссия по «приготовлению» геометрии?). Так вот, первая серия аксиом называется I.    Аксиомы принадлежности.

Аксиома 1.1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.

Обрати внимание, эта аксиома рассматривает два случая:

Аксиома 1.2. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

Если тебе все это кажется слишком очевидным, то вспомни, что ты – на другой планете и до сих пор совершенно не знал, что делать с объектами «точка» и «прямая».

Луч, отрезок, угол.

Вот теперь мы научились наносить точки на прямые и проводить прямые через точки, поэтому уже можем приготовить первые простейшие "блюда" - луч, отрезок, угол.

ЛУЧ

Любая точка, лежащая на прямой, делит эту прямую на две  полупрямые. Каждая из этих полупрямых называется еще лучом.

Вот он, луч:

ОТРЕЗОК

Любые две точки на прямой ограничивают отрезок прямой.

УГОЛ

Углом называется часть плоскости, заключенная между двумя лучами этой плоскости, имеющими общее начало.

Теперь наведем порядок. Следующая серия аксиом так и называется:

II.                Аксиомы порядка.

Аксиома 2.1. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

Аксиома 2.2. Прямая, лежащая в плоскости, разбивает эту плоскость на две полуплоскости. Если концы какого-нибудь отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не пересекает прямую. Если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пересекает прямую.

Теперь - следующий уровень. Нам нужны инструкции по измерению отрезков и углов. Эти аксиомы называются

III.             Аксиомы мер для отрезков и углов.

Аксиома 3.1. Каждый отрезок имеет определенную длину, больше нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.

Аксиома 3.2. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

IV.             Аксиомы существования треугольника, равного данному.

Аксиома 4.1. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в данной плоскости в заданном расположении относительно данной полупрямой в этой плоскости.

Более понятными являются два следствия из этой аксиомы:

Следствие 1. От данной точки данной прямой в данную сторону можно отложить отрезок данной длины, причем единственным образом.

Следствие 2. От данного луча в данную полуплоскость можно отложить угол данной величины, причем единственным образом.

Ну, и последняя легендарная аксиома параллельных!

Но сперва, определение: Прямые называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Смежные и вертикальные углы.

Лучи, образующие угол, называются сторонами угла, а их общее начало – вершиной.

Теорема. Сумма смежных углов равна 180°

Это совсем простая теорема, правда?

Ведь общая сторона смежных углов просто-напросто разбивает развернутый угол на два угла и поэтому (ВНИМАНИЕ: работает Аксиома 3.2!) сумма смежных углов равна величине развернутого, то есть 180°.

Вертикальные углы проще нарисовать, чем описывать – смотри картинку.

Теорема. Вертикальные углы равны.

Эта тоже легкая теорема. Убедись:

Прямой, острый и тупой углы.

Если угол равен смежному с ним, то он называется ПРЯМЫМ УГЛОМ

        V.        Аксиома параллельных прямых.

Параллельные прямые - это прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются, сколько бы их не продолжали: a∥b.

Секущая - прямая, пересекающая две параллельные прямые: c.

Аксиома 5.1. На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

Свойства параллельных прямых:

Если две параллельные прямые пересечены третьей (секущей) прямой, то:

1      внутренние накрест лежащие углы равны: ∠3=∠5; ∠4=∠6;

2      соответственные углы равны: ∠1=∠5; ∠4=∠8; ∠2=∠6; ∠3=∠7;

3      сумма любых двух внутренних односторонних углов равна 180°: ∠3+∠6=180°; ∠4+∠5=180°;

4      сумма любых двух внешних односторонних углов равна 180:  ∠1+∠8=180°; ∠2+∠7=180°.

Признаки параллельных прямых:

1.2 ТРЕУГОЛЬНИК. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Треугольник — это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Основные понятия.

Основные свойства треугольника:

1.      Сумма внутренних углов любого треугольника равна 180°: 1+2+3=180°

2.      Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним, т.е.

4=1+2 ;5=1+2

3.      Сумма длин любых двух сторон треугольника больше длины его третьей стороны,

т.е. AB+BC>AC; AB+AC>BC; AC+BC>AB

4.      В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол, т.е. если 2>1, то AC>BC и наоборот; Если AC>BC\, то 2>1.

Признаки равенства треугольников.

Признаки подобия треугольников

Элементы треугольника

1.4 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ.КОРОТКО О ГЛАВНОМ

1.5 АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ

Простейшие фигуры в пространстве: точка, прямая, плоскость.

Простейшая поверхность - плоскость. В окружающем мире поверхность множества предметов подобна геометрической плоскости, например, пол в комнате, стол, поверхность воды в озере или бассейне. Большинство упомянутых предметов прямоугольной формы, при разглядывании их с большого расстояния, они напоминают параллелограммы. Поэтому достаточно часто плоскость на рисунке изображается в виде параллелограмма, но еѐ можно изобразить и по-другому - любой замкнутой линией. В стереометрии, так же как и в планиметрии, определяется равенство двух геометрических тел или фигур.

Две фигуры (или тела) называются равными, если их можно совместить наложением.

Главная величина геометрических тел - это их объѐм.

Объѐм геометрического тела - это величина, которая описывает занимающую этим телом часть пространства.

Из определения следует, что объѐм не зависит ни от местонахождения тела в пространстве, ни от того, как это тело делится на части.

Величину объѐма вычисляют, основываясь на аксиомах:

1)      Равные тела имеют равные объѐмы.

2)      2) Объѐм тела равен сумме объѐмов его отдельных частей.

Чтобы объѐм можно было измерить, т.е., чтобы объѐм можно было бы выразить в виде числа, необходимо выбрать единицу измерения объѐма.

Единица объѐма - это объѐм такого куба, ребро которого равно одной единице длины. Если ребро куба равно 1 см, то его объѐм обозначается кубическими сантиметрами - см³, если ребро куба равно 1 м, то объѐм обозначается кубическими метрами - м³. Тела с равными объѐмами называются равновеликими.

Все равные тела равновелики, но не все равновеликие тела равны.

Множество всех точек, рассматриваемых в стереометрии, называется пространством. Любое множество точек называется фигурой. Замкнутая фигура в стереометрии - это множество точек, ограниченных поверхностью.

Так как каждая прямая и каждая плоскость содержат какие-либо точки, то прямая и плоскость тоже являются фигурами стереометрии

Плоскость бесконечна и делит пространство на две части.

Аксиомы стереометрии и их следствия

Некоторые следствия из аксиом

Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Параллельность прямых a и b обозначается так: ab или ba.

2.2 Параллельность прямой и плоскости

Согласно аксиомам, если две точки прямой находятся в некоторой плоскости, то прямая лежит в этой плоскости. Отсюда следует, что возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве:

1)      прямая лежит (находится) в плоскости.

2)      прямая и плоскость имеют только одну общую точку (прямая и плоскость пересекаются)

3)      прямая и плоскость не имеют общих точек

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

2.3 Взаимное расположение прямых в пространстве

Как известно из курса планиметрии, две прямые в плоскости могут пересекаться (имеют общую точку) или быть параллельными (не имеют общую точку).

В пространстве мы можем представить ситуацию, когда две прямые не пересекаются, но они и не параллельны.

Определение. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Три случая взаимного расположения прямых в пространстве:

2.4 Углы с сонаправленными сторонами

Два луча ОА и О1А1, лежащие на одной прямой, называются сонаправленными, если они параллельны и лежат в одной плоскости с границей ОО1. Два луча ОА и О1А1, лежащие на одной прямой, называются сонаправленными, если они совпадают или один из них содержит другой.

Углы между прямыми

Обрати внимание!

Провести соответственные параллельные прямые данным скрещивающимися прямым можно через любую точку. Иногда удобно выбрать эту точку на одной из данных скрещивающихся прямых и провести через эту точку прямую параллельную другой из скрещивающихся прямых.

2.5 Параллельность плоскостей

Как известно из аксиом стереометрии, если плоскости имеют одну общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Значит две плоскости или пересекаются или не пересекаются.

Определение. Плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными.

Параллельные плоскости α и β обозначаются αβ Пример:

Любая конструкция с полом, потолком и стенами даѐт нам представление о параллельных плоскостях - пол и потолок как две параллельные плоскости, боковые стены как параллельные плоскости.

2.6 Теория o тетраэдрах

Тетраэдр       (четырехгранник)   -           многогранник,         гранями которого являются четыре треугольника. (от греческого tetra - четыре и hedra - грань). У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 ребер.

Один из треугольников называется основанием тетраэдра, а три остальные - боковыми гранями тетраэдра.

В зависимости от видов треугольников и их расположения, выделяют разные виды тетраэдров.

В школьном курсе чаще говорят о следующих видах тетраэдра:

-  равногранный  тетраэдр, у которого все грани - равные между собой треугольники; - правильная  треугольная пирамида – основание равносторонний треугольник, все боковые грани одинаковые равнобедренные треугольники.

-  правильный  тетраэдр, у которого все четыре грани - равносторонние треугольники.

Свойство правильного тетраэдра:

Из определения правильного многогранника следует, что все ребра тетраэдра имеют равную длину, а грани - равную площадь.

2.7 Теория o параллелепипедах

Параллелепипедом             называется   многогранник,         у          которого       6          граней параллелограммы.

У параллелепипеда, как отмечено, 6 граней, 8 вершин и 12 ребер.

Две грани параллелепипеда, имеющие общее ребро, называются смежными, а не имеющие общих ребер — противоположными.

Обычно          выделяют       какие-нибудь            две      противоположные    грани и          называют их основаниями, а остальные грани — боковыми гранями параллелепипеда.

Ребра параллелепипеда, не принадлежащие основаниям, называют боковыми ребрами. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю параллелепипеда (АС₁; BD₁; CA₁; DB₁;).

В зависимости от видов параллелограммов и их расположения, выделяют разные виды параллелепипедов. Параллелепипеды могут быть прямые и наклонные.

У прямых параллелепипедов боковые грани прямоугольники, у наклонных - параллелограммы.

Прямой параллелепипед, у которого основанием тоже является прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом.

Длины непараллельных рѐбер прямоугольного параллелепипеда называются его линейными размерами (измерениями).

У прямоугольного параллелепипеда три линейных размера DA, DC, DD₁.

2.8 Построение сечения тетраэдра и параллелепипеда.

Плоскостью сечения многогранника можно назвать любую плоскость, по обе стороны которой находятся точки многогранника.

Секущая плоскость пересекает грани многогранников по отрезкам.

Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением многогранника.

Так как у тетраэдра 4 грани, то сечением тетраэдра может быть треугольник или четырехугольник.

У параллелепипеда 6 граней, поэтому сечением этого многогранника может быть треугольник, четырехугольник, пятиугольник или шестиугольник.

При построении сечения надо вспомнить следующие знания из предыдущих тем:

1.  Если две точки прямой принадлежит плоскости, то прямая находится в этой плоскости.

2.  Если две плоскости имеют общую точку, то эти плоскости пересекаются по прямой.

3.  Если плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии пересечения параллельны. Примеры:

Задача 1

Составьте из 6 спичек 4 равных треугольника. На плоскости решить задачу не получается. А в пространстве это сделать легко. Возьмем тетраэдр. 6 спичек – это его ребра, четыре его грани и будут четырьмя равными треугольниками. Задача решена.

Задача 2

Дан тетраэдр АВСD. Точка M принадлежит ребру АВ, точка N принадлежит ребру ВD и точка Р принадлежит ребру. Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNP.

Решение:

Рассмотрим грань DВС. В этой грани точки N и P принадлежат грани DВС, а значит, и тетраэдру. Но по условию точки N, P принадлежат секущей плоскости. Значит, NP  это линия пересечения двух плоскостей: плоскости грани DВС и секущей плоскости.

Предположим, что прямые NP и ВС не параллельны. Они лежат в одной плоскости DВС. Найдем точку пересечения прямых NP и ВС. Обозначим ее Е.

Точка Е принадлежит плоскости сечения MNP, так как она лежит на прямой NР, а прямая NР целиком лежит в плоскости сечения MNP.

Также точка Е лежит в плоскости АВС, потому что она лежит на прямой ВС из плоскости АВС.

Получаем, что ЕМ – линия пересечения плоскостей АВС и MNP, так как точки Е и М лежат одновременно в двух плоскостях – АВС и MNP.

Соединим точки М и Е, и продолжим прямую ЕМ до пересечения с прямой АС. Точку пересечения прямых ЕМ и АС обозначим Q. Итак, в этом случае NPQМ - искомое сечение.

Рассмотрим теперь случай, когда NP параллельна BC. Если прямая NP параллельна какой-нибудь прямой, например, прямой ВС из плоскости АВС, то прямая NP параллельна всей плоскости АВС. Искомая плоскость      сечения проходит        через   прямую параллельную плоскости АВС, и пересекает плоскость по прямой МQ. Значит, линия пересечения МQ параллельна прямой NP. Получаем, NPQМ - искомое сечение.

Задача 3

Точка М лежит на боковой грани АDВ тетраэдра АВСD. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, которое проходит через точку М параллельно основанию АВС.

Решение:

Секущая плоскость φ параллельна плоскости АВС по условию, значит, эта плоскость φ параллельна прямым АВ, АС, ВС.

В плоскости АВD через точку М проведем прямую PQ параллельно АВ. Прямая PQ лежит в плоскости АВD. Аналогично в плоскости АСD через точку Р проведем прямую РR параллельно АС. Получили точку R. Две пересекающиеся прямые PQ и РR плоскости РQR соответственно параллельны двум пересекающимся прямым АВ и АС плоскости АВС, значит, плоскости АВС и РQR параллельны. РQR – искомое сечение. Задача решена.

Задача 4

Дан тетраэдр АВСD. Точка М – точка внутренняя, точка грани АВD. N – внутренняя точка отрезка DС. Построить точку пересечения прямой NM и плоскости АВС.

Решение:

Для решения построим вспомогательную плоскость DМN. Пусть прямая DМ пересекает прямую АВ в точке К. Тогда, СКD – это сечение плоскости DМN и тетраэдра. В плоскости DМN лежит и прямая NM, и полученная прямая СК. Значит, если NM не параллельна СК, то они пересекутся в некоторой точке Р. Точка Р и будет искомая точка пересечения прямой NM и плоскости АВС.

Задача 5

Дан тетраэдр АВСD. М – внутренняя точка грани АВD. Р – внутренняя точка грани АВС. N – внутренняя точка ребра DС. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N и Р.

Решение:

Рассмотрим первый случай, когда прямая MN не параллельна плоскости АВС. В прошлой задаче мы нашли точку пересечения прямой MN и плоскости АВС. Это точка К, она получена с помощью вспомогательной плоскости DМN, т.е. мы проводим DМ и получаем точку F. Проводим СF и на пересечении MN получаем точку К.

Проведем прямую КР. Прямая КР лежит и в плоскости сечения, и в плоскости АВС. Получаем точки Р₁ и Р₂. Соединяем Р₁ и М и на продолжении получаем точку М₁. Соединяем точку Р₂ и N. В результате получаем искомое сечение Р1Р2NМ1. Задача в первом случае решена.

Рассмотрим второй случай, когда прямая MN параллельна плоскости АВС. Плоскость МNР проходит через прямую МN параллельную плоскости АВС и пересекает плоскость АВС по некоторой прямой Р1Р2, тогда прямая Р1Р2 параллельна данной прямой MN.

Теперь проведем прямую Р1М и получим точку М1. Р1Р2NМ1 – искомое сечение.

Задача 6

Построить сечение параллелепипеда плоскостью, которая проходит через точки K, M и N.

3.ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

3.1 Перпендикулярные прямые и плоскости 

Определение. Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен

90°.

В пространстве перпендикулярными называют не только пересекающиеся прямые, но и скрещивающиеся прямые, так как мы говорим об угле, который могут образовать эти прямые, если их поместить в одной плоскости.

Так же как и в плоскости, в пространстве перпендикулярные прямые a и b обозначают ab.

Свойства перпендикулярных прямой и плоскости.                            

любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости.

Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной. AB - наклонная.

B  - основание наклонной.

Определение. Перпендикуляром, проведенным из данной точки к данной плоскости, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости.

Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра. AC - перпендикуляр.

C  - основание перпендикуляра.

Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости.

Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.

CB - проекция наклонной AB на плоскость α.

Треугольник ABC прямоугольный.

Углом между наклонной и плоскостью называется угол между этой наклонной и еѐ проекцией на плоскость.

CBA - угол между наклонной AB и плоскостью α. Если AD>AB, то DC>BC

Если из данной точки к данной плоскости провести

несколько наклонных, то большей наклонной соответствует большая проекция.

DAB - угол между наклонными

DCB - угол между проекциями

Отрезок DB - расстояние между основаниями наклонных.

Угол между прямой и плоскостью

Понятие угла между прямой и плоскостью можно ввести для любого взаимного расположения прямой и плоскости:

1.      Если прямая l перпендикулярна плоскости π, то угол между l и π считается равным 90°.

2.      Если прямая l параллельна плоскости π или лежит в этой плоскости, то угол между l и π считается равным нулю.

3.      Если прямая l является наклонной к плоскости π, то угол между l и π — это угол ϕ между прямой l и еѐ проекцией p на плоскость π (рис. 1). l π p ϕ  

Определение. Если прямая является наклонной, то угол между прямой и плоскостью есть угол между этой прямой и еѐ проекцией на данную плоскость.

2.3 Двугранный угол. Многогранные углы. Перпендикулярность плоскостей

Определение. Двугранный угол - это часть пространства, заключѐнная между двумя полуплоскостями, имеющими одну общую границу.

Если в пространстве пересекаются две плоскости, получаются четыре двугранных угла (аналогично как при пересечении двух прямых получаются четыре угла). Рассмотрим один из них.

Полуплоскости α и β, образующие двугранный угол, называются его гранями.

Общая прямая a этих граней называется ребром двугранного угла.

Выберем        на        ребре a          двугранного угла произвольную точку C         и          проведѐм две пересекающиеся прямые AC⊥a и BC⊥a, а через эти прямые плоскость γ перпендикулярно ребру a.

Линии пересечения AC и BC полуплоскостей α и β с плоскостью γ образуют некоторый угол ∡ACB.

Определение.            Линейный    угол    --         угол,   стороны         которого        являются лучами, перпендикулярными к ребру двугранного угла, а вершина лежит на его ребре.

Величина линейного угла не зависит от выбора точки C на ребре a. Обрати внимание!

Величина двугранного угла 0°<∡ACB<180°. Если плоскости параллельны, то угол между ними равен 0° по определению.

Если при пересечении плоскостей один из двугранных углов 90°, то три остальные углы тоже 90°. Эти плоскости называют перпендикулярными.

Следующие теоремы, которые здесь приведѐм без доказательств, могут пригодится при решении задач.

1.                  Если одна из двух плоскостей проходит через прямую перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

2.                  Плоскость, перпендикулярная прямой, по которой пересекаются две плоскости, перпендикулярна каждой из этих плоскостей.

3.                  Если две плоскости перпендикулярны и в одной из них проведена прямая перпендикулярно линии пересечения плоскостей, то эта прямая перпендикулярна второй плоскости.

Многогранные углы.

Представим несколько лучей в пространстве с общим началом. Их можно представить тоже как часть линий пересечения плоскостей - трѐх, четырѐх или больше и назвать рѐбрами многогранного угла.

Каждые два луча образуют угол, который называют плоским углом многогранного угла.

Обрати внимание!

Каждый плоский угол трѐхгранного угла меньше суммы двух других плоских углов.

Сумма плоских углов многогранного угла меньше 360°.

Признак перпендикулярности двух плоскостей

Определение. Если при пересечении плоскостей один из углов прямой (т.е. фи равен 90°), то и остальные три угла прямые. Такие плоскости называют перпендикулярными.

3.5 Прямоугольный параллелепипед

Параллелепипед — это четырехугольная призма, все грани которой — параллелограммы.

Параллелепипеды, как и призмы, могут быть прямыми и наклонными.

Прямой параллелепипед, основанием которого служит прямоугольник, называют прямоугольным параллелепипедом.

У прямоугольного параллелепипеда все грани — прямоугольники. Длины трѐх ребер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общий конец, называют его измерениями.

Куб — прямоугольный параллелепипед с равными измерениями. Все шесть граней куба — равные квадраты.

Свойства параллелепипеда:

1.      В прямоугольном параллелепипеде все шесть грани – прямоугольники.

2.      У параллелепипеда противоположные грани параллельны и равны.

3.      Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.

4.      Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины и высоты).

5.      Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.