Матрицы

Матрицы Элементы теории  матриц.

Основные определения.                                                 A         11 a a 21 ... a n 1 12 a a 22 ... a n 2 ... ... ... ... 1 m a a 2 m ... a nm        Таблицу, состоящую из n строк и m  столбцов называют матрицей.

Опр.: nm – называется размерностью матрицы. n – кол­во строк, m ­ кол­во столбцов.   A или   a , ij  a ij  mn i  ;1 jn ,  ;1 m

Опр.:  Если  m=n  матрица  называется  квадратной. Число n называется порядком  матрицы.  Опр.:  Если  mn  матрицу  прямоугольной. называют

Опр.: Матрица, у которой все элементы нули,  называется нулевой матрицей и обозначается  О. Опр.: Матрица с элементами      ,1 ,0 если если i i aij   j j ; , при n=m,  называется единичной матрицей и  обозначается Е.

Е2 – две строчки, два столбца –матрица второго  порядка. Е 2 А 3 В 3 01 10           002    060  900              001 042 058 единичная .  диагональн ая .  треугольна . я     

 ... а m 2  матрица  строка .  матрица  столбец . А А   аа 1   а 1   а   2    ...     а   n Матрица размера 11 – число.

Опр.:  Элементы  с  одинаковыми  индексами    образуют  главную  квадратной  матрицы  диагональ матрицы. A         11 a a 21 ... a n 1 12 a a 22 ... a n 2 ... ... ... ... 1 m a a 2 m ... a nm        Опр.: Две матрицы одинаковой размерности  называются  равными,    если  равны  элементы  на одинаковых местах.

Действия над матрицами. Опр.:  Суммой  двух  матриц  одинаковой  размерности А и В называется матрица С той  же размерности, элементы которой находятся  по формуле:                      А+В=С или      ij Опр.:  Чтобы  матрицу  умножить  на  число,  надо  все элементы матрицы умножить на это число. ij bac  ij    А ijа   mn 

Опр.:  Разностью  двух  матриц  одинаковой  размерности  А  и  В  называется  матрица  той  же  размерности с элементами:                    ;  С=А­В. bac ij  ij ij Опр.: Умножение матриц: АnpВpm=Сnm.     00 50         06 00          00000060   05000560           00 00    0  Число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Например:

Свойства операций над  матрицами. 1) А+В = В+А;     2) (А+В) = А+ В, где  ­ число;      3) АВ  ВА;      4) (А+В) С = АС + ВС;  5)  А+О = А;    6) АО = О;   7) АЕ = А, ЕА = А;     8) АТ – транспонированная, если строки в матрице  А заменены столбцами с тем же номером;     (АТ)Т = А;   (A  B)Т = BТ  AТ

, Т Ато Если А Если А      32    41     ,21      1 2   .   12 43   .  Ато Т    

9) Для квадратных матриц вычисляют  определители матриц.  Определитель: det A – детерминант, А либо  А.    det (AB) = det A  det B

Нахождение обратной  матрицы.  Опр.:  Матрица, обозначаемая А­1, называется  обратной  к  матрице  А,  если  выполнены  условия:  ААА А Е ,  1  1         где  Е  –  единичная  матрица  того  же  порядка, что и заданная.

Вывод 1: Обратная матрица существует для  квадратных матриц. Вывод 2: А­1 имеет ту же размерность что и  данная. Вывод 3: по свойству 9:  det (A А­1) = det Е;  det A  det А­1 =1; det 1 A  1 det . A Опр.:  Квадратная  которой  определитель  отличен  от  нуля,  т.е.  А  0,  называется невырожденной. В противном случае  называется вырожденной. матрица,  у

Теорема: Если у матрицы А  существует обратная, то она  единственная. Теорема: Чтобы матрица имела  обратную необходимо и достаточно,  чтобы она была квадратная и  невырожденная.

Обратная матрица находится  по формуле: A  1 1 det A        21 11 AA AA 12 22 ... ... AA n 1 2 n ... ... ... ... n 1 2 A A n ... A nn        где А11, …, Аnn – алгебраические дополнения, а матрица  составленная из алгебраических дополнений к  ~ А элементам матрицы А, называется присоединенной  к матрице А. В           алгебраические дополнения элементов строки стоят в столбце с таким  же номером. ~ А

Линейная зависимость и линейная  независимость столбцов и строк.  Ранг матрицы. Пусть 1, 2 и m – числа, тогда выражение  1  а  а 1  2 2 ...   m а m называется линейной комбинацией столбцов. Опр.: Столбцы называются  линейно­независимыми,  когда линейная комбинация равна 0 при всех а = 0. Опр.: Столбцы называются линейно­зависимыми , если  линейная комбинация равна 0, не при всех а = 0.

Теорема: Столбцы матрицы можно  представить в виде линейной комбинации  столбцов матрицы Е. Теорема: Система столбцов линейно­ зависима, когда хотя бы один столбец  является линейной комбинацией остальных.

Теорема о ранге матрицы:       Ранг матрицы равен максимальному числу линейно – независимых столбцов матрицы.  Максимальное число линейно­независимых  строк равно максимальному числу линейно­ независимых  столбцов.  Опр.: Рангом матрицы называется порядок  базисного минора. Если матрица нулевая ее  ранг равен 0.

Теорема: Ранг матрицы равен числу  ненулевых строк (столбцов), полученных в результате применения  элементарных преобразований, которые позволяют выделить строчки и  столбцы являющиеся линейными комбинациями других строк (столбцов), т.  е. выделить базисный минор.

Опр.: Минором порядка r называется  определитель, составленный из элементов матрицы расположенных на r  строках и любых r столбцах матрицы. Теорема: Если в матрице все миноры  порядка r+1 равны 0, то и все миноры порядка r+2 равны 0.

Теорема о базисном миноре:  В произвольной матрице каждый столбец  является линейной комбинацией столбцов,  входящих в базисный минор.

Если матрица А квадратная и  вырожденная, то хотя бы один из  Обратная теорема:  столбцов есть линейная комбинация  остальных столбцов, а одна из строк ­  линейная комбинация остальных строк.

Элементарные преобразования  матрицы. Опр.: Элементарными преобразованиями  матрицы называются следующие преобразования:

1) Умножение строки на число не равное 0;  2) Перестановка  строк  местами. 3) Прибавление одной строки к другой,  умноженной на число;    4) Те же действия со столбцами.

Теорема: Элементарные преобразования  не меняют ранг матрицы. Опр.: Матрицы, полученные с помощью  элементарных преобразований называются эквивалентными (~).