Опр.: Матрица, обозначаемая А-1, называется обратной к матрице А, если выполнены условия:
где Е – единичная матрица того же порядка, что и заданная.
Теорема: Столбцы матрицы можно представить в виде линейной комбинации столбцов матрицы Е.
Теорема: Система столбцов линейно-зависима, когда хотя бы один столбец является линейной комбинацией остальных.
Матрицы
Элементы теории
матриц.
Основные определения.
A
11
a
a
21
...
a
n
1
12
a
a
22
...
a
n
2
...
...
...
...
1
m
a
a
2
m
...
a
nm
Таблицу, состоящую из n строк и m
столбцов называют матрицей.
Опр.: nm – называется размерностью матрицы.
n – колво строк, m колво столбцов.
A
или
a
,
ij
a
ij
mn
i
;1
jn
,
;1
m
Опр.: Если m=n матрица
называется
квадратной. Число n называется порядком
матрицы.
Опр.: Если mn матрицу
прямоугольной.
называют
Опр.: Матрица, у которой все элементы нули,
называется нулевой матрицей и обозначается
О.
Опр.: Матрица с элементами
,1
,0
если
если
i
i
aij
j
j
;
,
при n=m, называется единичной матрицей и
обозначается Е.
Е2 – две строчки, два столбца –матрица второго
порядка.
Е
2
А
3
В
3
01
10
002
060
900
001
042
058
единичная
.
диагональн
ая
.
треугольна
.
я
...
а
m
2
матрица
строка
.
матрица
столбец
.
А
А
аа
1
а
1
а
2
...
а
n
Матрица размера 11 – число.
Опр.: Элементы с одинаковыми индексами
образуют главную
квадратной матрицы
диагональ матрицы.
A
11
a
a
21
...
a
n
1
12
a
a
22
...
a
n
2
...
...
...
...
1
m
a
a
2
m
...
a
nm
Опр.: Две матрицы одинаковой размерности
называются равными, если равны элементы
на одинаковых местах.
Действия над матрицами.
Опр.: Суммой двух матриц одинаковой
размерности А и В называется матрица С той
же размерности, элементы которой находятся
по формуле:
А+В=С или
ij
Опр.: Чтобы матрицу умножить на число, надо
все элементы матрицы умножить на это число.
ij
bac
ij
А
ijа
mn
Опр.: Разностью двух матриц одинаковой
размерности А и В называется матрица той же
размерности с элементами: ; С=АВ.
bac
ij
ij
ij
Опр.: Умножение матриц: АnpВpm=Сnm.
00
50
06
00
00000060
05000560
00
00
0
Число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.
Свойства операций над
матрицами.
1) А+В = В+А;
2) (А+В) = А+ В, где число;
3) АВ ВА;
4) (А+В) С = АС + ВС;
5) А+О = А;
6) АО = О;
7) АЕ = А, ЕА = А;
8) АТ – транспонированная, если строки в матрице
А заменены столбцами с тем же номером;
(АТ)Т = А; (A B)Т = BТ AТ
,
Т
Ато
Если
А
Если
А
32
41
,21
1
2
.
12
43
.
Ато
Т
9) Для квадратных матриц вычисляют
определители матриц.
Определитель: det A – детерминант, А либо
А.
det (AB) = det A det B
Нахождение обратной
матрицы.
Опр.: Матрица, обозначаемая А1, называется
обратной к матрице А, если выполнены
условия:
ААА
А
Е
,
1
1
где Е – единичная матрица того же
порядка, что и заданная.
Вывод 1: Обратная матрица существует для
квадратных матриц.
Вывод 2: А1 имеет ту же размерность что и
данная.
Вывод 3: по свойству 9:
det (A А1) = det Е;
det A det А1 =1;
det
1
A
1
det
.
A
Опр.: Квадратная
которой
определитель отличен от нуля, т.е. А 0,
называется невырожденной. В противном случае
называется вырожденной.
матрица,
у
Теорема: Если у матрицы А
существует обратная, то она
единственная.
Теорема: Чтобы матрица имела
обратную необходимо и достаточно,
чтобы она была квадратная и
невырожденная.
Обратная матрица находится
по формуле:
A
1
1
det
A
21
11
AA
AA
12
22
...
...
AA
n
1
2
n
...
...
...
...
n
1
2
A
A
n
...
A
nn
где А11, …, Аnn – алгебраические дополнения, а матрица
составленная из алгебраических дополнений к
~
А
элементам матрицы А, называется присоединенной
к матрице А.
В алгебраические дополнения элементов строки стоят в столбце с таким
же номером.
~
А
Линейная зависимость и линейная
независимость столбцов и строк.
Ранг матрицы.
Пусть 1, 2 и m – числа, тогда выражение
1
а
а
1
2
2
...
m а
m
называется линейной комбинацией столбцов.
Опр.: Столбцы называются линейнонезависимыми,
когда линейная комбинация равна 0 при всех а = 0.
Опр.: Столбцы называются линейнозависимыми , если
линейная комбинация равна 0, не при всех а = 0.
Теорема: Столбцы матрицы можно
представить в виде линейной комбинации
столбцов матрицы Е.
Теорема: Система столбцов линейно
зависима, когда хотя бы один столбец
является линейной комбинацией остальных.
Теорема о ранге матрицы:
Ранг матрицы равен максимальному числу
линейно – независимых столбцов матрицы.
Максимальное число линейнонезависимых
строк равно максимальному числу линейно
независимых столбцов.
Опр.: Рангом матрицы называется порядок
базисного минора. Если матрица нулевая ее
ранг равен 0.
Теорема: Ранг матрицы равен числу
ненулевых строк (столбцов),
полученных в результате применения
элементарных преобразований,
которые позволяют выделить строчки и
столбцы являющиеся линейными
комбинациями других строк (столбцов), т.
е. выделить базисный минор.
Опр.: Минором порядка r называется
определитель, составленный из
элементов матрицы расположенных на r
строках и любых r столбцах
матрицы.
Теорема: Если в матрице все миноры
порядка r+1 равны 0, то и все
миноры порядка r+2 равны 0.
Теорема о базисном миноре:
В произвольной матрице каждый столбец
является линейной комбинацией столбцов,
входящих в базисный
минор.
Если матрица А квадратная и
вырожденная, то хотя бы один из
Обратная теорема:
столбцов есть линейная комбинация
остальных столбцов, а одна из строк
линейная комбинация остальных строк.
Элементарные преобразования
матрицы.
Опр.: Элементарными преобразованиями
матрицы называются
следующие преобразования:
1) Умножение строки на число не равное 0;
2) Перестановка строк местами.
3) Прибавление одной строки к другой,
умноженной на число;
4) Те же действия со столбцами.
Теорема: Элементарные преобразования
не меняют ранг матрицы.
Опр.: Матрицы, полученные с помощью
элементарных преобразований
называются эквивалентными (~).
Матрицы.ppt
