Матрицы. Операции над матрицами

Методические указания к практическому занятию

по теме «Матрицы. Операции над матрицами.»

(Раздел. Элементы линейной алгебры)

Учебная дисциплина: Математика СПО

Разработано преподавателем Загурской А.А.

1 Цели

1.1 В ходе выполнения работы студенты осваивают:

1.1.1 Общие компетенции:

- Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество

- Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность

- Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознано планировать повышение квалификации

1.2 В результате выполнения работы студенты:

1.2.1 Осваивают умения:

- производить операции над матрицами и определителями

1.2.2 Усваивают знания:

- основных понятий и методов линейной алгебры

2 Дидактическое обеспечение

2.1 Карточка с заданиями (6 вариантов)

2.2 Методические рекомендации по выполнению работы: необходимые формулы для выполнения заданий (Приложение А) и образцы выполнения заданий (Приложение Б)

3 Форма организации – индивидуальная

4 Инструктаж

4.1 Получить задание и послушать порядок выполнения работы, а также критерии оценки

4.2 В тетради для практических работ указать номер, тему и вариант практической работы

4.3 Изучить методические рекомендации и пособие.

4.4 Приступить к выполнению задания

5 Порядок выполнения

5.1 Практическая работа составлена в виде карточек с заданиями (6 вариантов). В каждой карточке два задания: выполнить действия над матрицами, вычислить определитель матрицы.

5.2 Для выполнения первого задания необходимо вспомнить порядок выполнения арифметических действий, а также правила сложения (вычитания) матриц, умножение матрицы на число и правило умножения двух матриц.

5.3 Во втором задании требуется вычислить определитель используя общее правило его вычисления, а именно разложением по строке или столбцу.

6 Методические рекомендации - см. приложения

7 Форма отчета - работа выполняется в течение 90мин в тетради для практических работ и сдается преподавателю на проверку

8 Контрольные вопросы

Не предусмотрены

Критерии оценок

5 (отлично) – Работа выполнена в полном объеме, аккуратно, без арифметических ошибок.

4 (хорошо) – Работа выполнена в полном объеме, аккуратно, допущены арифметические

ошибки, не нарушающие основной алгоритм решения.

3 (удовлетворительно) – Работа выполнена не в полном объеме или допущены ошибки, приводящие к нарушению алгоритма в одном, двух заданиях.

2 (неудовлетворительно) – Выполнено одно задание или неверно применен алгоритм во всех заданиях.

Тема: Матрицы, действия над матрицами

Матрицей называется множество чисел образующих прямоугольную таблицу, которая содержит m строк и n столбцов. Для записи матрицы используют следующее обозначение

Для любого элемента первый индекс- номер строки, второй- номер столбца.

Виды матриц: 1. Прямоугольная:    А=

2. Квадратная:    В=

Число строк квадратной матрицы называется ее порядком.

Диагональ а₁₁-а₂₂ –главная, а₁₂-а₂₁ – побочная.

Матрица, у которой отличны от нуля только элементы, находящиеся на главной диагонали, называется диагональной.

Пример:  А=- Диагональная матрица 2-го порядка

                В= -Диагональная матрица 3-го порядка

                Е=- Единичная матрица 3-го порядка

               О=- Нулевая матрица

Два матрицы называются равными, если имеют одинаковое число строк m  и одинаковое число столбцов n и их соответствующие элементы равны.

Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой.

Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом.

Треугольной называется квадратная  матрица, все элементы которой, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.

Различают соответственно верхнюю и нижнюю треугольные матрицы:

Пример:  А= – верхняя;   В=-нижняя.

Квадратная матрица называется симметрической, если равны элементы, симметричные относительно главной диагонали.

Пример:    А=  ;    В=.

Линейные операции над матрицами

Суммой матриц А и В называют такую матрицу М, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В. Складывать можно только матрицы, имеющие одинаковое строение.

Найти суммы матриц:  1.  и  Ответ:

2.  и        Ответ: Е

Можно ли сложить две матрицы размерами 2х3 и 3х2?

Свойства сложения матриц:

1.     А+В=В+А (переместительный закон)

2.     (А+В)+С=А+(В+С)  (сочетательный закон)

3.     А+0=А (0-нулевая матрица)

4.     Для любой матрицы А существует матрица –А, такая, что А+(-А)=0.

Произведением  матрицы А на число К называется такая матрица КА, каждый элемент которой равен КА_ij , т.е. умножение матриц на число сводится к умножению на это число всех элементом матрицы.

Умножить матрицу А= на К=3. Ответ: 3А=

Найти линейные комбинации матриц:

1.   3А-2В, если А=,  В=. 

Подсказка: 1. Найти матрицу 3А;      2. Найти матрицу 2В;

3. Найти разность 3А-2В.       Ответ:

2.   2А-В, если  А=, В=.   Ответ:

Умножение матриц

Рассмотрим умножение квадратных матриц 2-го порядка:

Пусть А=, В=, тогда АВ=    

Найти произведение матриц, сверить с ответом:

1. А= и В=.  

Решение:   а₁₁=                   а₁₂=                      а₂₁=                        а₂₂=  

Ответ: АВ=

2.             Решение:   а₁₁=                   а₁₂=                      а₁₃=

                                                             а₂₁=                    а₂₂=                        а₂₃=  

Ответ:

3.      Решение:   а₁₁=                   а₁₂=                      а₁₃=

                                                               а₂₁=                    а₂₂=                       а₂₃=  

                                                               а₃₁=                    а₃₂=                       а₃₃=  

Ответ:

4.         Решение:   а₁₁=                   а₁₂=      

                                                                        а₂₁=                    а₂₂=                      

                                                                         а₃₁=                    а₃₂=                      

Ответ:

Найти произведение матриц:

5.   Решение:

Ответ:

6. Решение:

Ответ:

7.  Решение:

Ответ:

Свойства произведения матриц: 

1.   А(ВС)=АВ(С)

2.     А(В+С)=АВ+АС

3.     (А+В)С=АС+ВС

4.     к(АВ)=(кА)В

5.