Метод статистических испытаний

Метод статистических испытаний

План:

1.    Общая идея метода статистических испытаний.

2.    Моделирование случайных величин.

3.    Моделирование последовательности случайных испытаний.

4.    Моделирование дискретной случайной величины.

5.    Моделирование непрерывной случайной величины.

1.    Общая идея метода статистических испытаний

Практически во всех вероятностных задачах удается установить формальную зависимость конечного результата от исходных данных, т.е получить аналитическое решение задачи. Если этого сделать нельзя, то используют метод статистических испытаний.

Основная идея метода: вместо аналитического решения задачи либо проводят эксперименты, испытания, непосредственно рассматриваемые в задаче, либо эти испытания заменяют другими, имеющими с исходными одинаковую вероятностную структуру (т.е. рассматриваемые в задаче случайные явления имитируют, моделируют другими случайными явлениями).

Определенные по результатам достаточно большого числа испытаний характеристики случайных явлений (относительные частоты, средние арифметические) используют в качестве приближенного решения задачи (в качестве оценок вероятностей, математических ожиданий). Допустимость этого приближения основывается на законе больших чисел.

Метод статистических испытаний применяют для решения не только тех задач, в которых в явном виде имеются случайные явления, но также и для решения многих математических задач, не содержащих таких явлений. В этом случае искусственно подбирают такое случайное явление, характеристики которого связаны с результатами решения исходной задачи. Для определения числовых значений этих характеристик используется метод статистических испытаний.

Т.к. достаточно высокая точность решения при использовании метода статистических испытаний гарантируется, как правило, только при проведении большого числа испытаний, этот метод можно реализовать только на ЭВМ. Поэтому данный метод часто называют «машинным».

Для иллюстрации метода статистических испытаний рассмотрим следующую задачу.

Задача 1: Система контроля качества продукции состоит из 3-ех приборов. Вероятность безотказной работы каждого из них в течение времени t равна 5/6. Приборы выходят из строя независимо друг от друга. При отказе хотя бы одного прибора вся система перестает работать. Найти вероятность того, что система откажет за время t.

Решим задачу аналитически и методом статистических испытаний.

Аналитическое решение:

Пусть событие А- вышел из строя хотя бы один элемент. Тогда событие    - ни один прибор из строя не вышел. События А и   - противоположные.

Метод статистических испытаний: В условиях данной задачи «натуральных эксперимент»- наблюдение за работой системы в течение времени t. Многократное повторение этого эксперимента может оказаться трудноосуществимым или просто невозможным. Заменим этот эксперимент другим.

Для определения того, выйдет или нет из строя за время t отдельный прибор, будем подбрасывать игральную кость. Если выпадет одно очко, то будем считать, что прибор вышел из строя. Если не выпадет одно очко, то будем считать, что прибор работает безотказно. Вероятность того, что выпадет одно очко, так же как и вероятность выхода прибора из строя равна 1/6, а вероятность, что выпадет любое другое число очков, как и вероятность безотказной работы прибора равна 5/6. Чтобы определить, откажет или нет вся система за время t, будем подбрасывать 3 игральные кости (или одну кость 3 раза). Если хотя бы на одной из трех костей выпадет одно очко, то это будет означать, что система отказала.

Повторим испытание, состоящее в подбрасывании трех игральных костей, много раз подряд и найдем отношение числа отказов (m) системы к общему числу проведенных испытаний (n). Вероятность отказа Р(А)=m/n.

Другое название данного метода метод Монте-Карло.

Зададимся малой погрешностью    и вероятностью, гарантирующей эту погрешность. Тогда, при числе испытаний, можно с вероятностью быть уверенным в том, что абсолютная погрешность приближенного равенства р =m / n не превысит.

2.    Моделирование случайных величин

Оказывается, что для имитации на ЭВМ случайных явлений самой различной природы достаточно получить на ЭВМ последовательность значений случайной величины, равномерно распределенной на отрезке [0; 1]. Процесс получения значений случайной величины называется ее моделированием.

Существует три способа получения последовательности чисел, равномерно распределенной на интервале [0; 1].:

С помощью генератора случайных чисел.

С помощью таблицы случайных чисел.

Методом псевдослучайных чисел.

3.    Моделирование последовательности случайных испытаний

а) Пусть производится последовательность K независимых испытаний. В результате каждого испытания может произойти одно из двух противоположных событий A или B. Р(А)=р, Р(В)=1-р.

Моделирование последовательности испытаний осуществляется таким образом:

Получаем последовательность значений  r1,  r2, ..., rk  случайной величины R, имеющей равномерное распределение на отрезке [0; 1]. Если  ri < р, i=1, 2, 3, …k, то считаем, что в i-ом испытании наступило событие А, если   ri > р, то считаем, что в i-ом испытании наступило событие В.

б) Теперь предположим, что результатом каждого из k независимых испытаний может быть появление одного из n несовместных событий А1, А2, … Аn, образующих полную группу событий. Известна вероятность появления каждого события Р(Аi)=рi, i=1, 2, …n, которая не меняется при переходе от одного испытания к другому. Заметим, что р1+р2+…+рn=1.

Моделирование такой последовательности испытаний осуществляется следующим образом:

Разделим отрезок [0; 1] на n участков, …,, длины которых соответственно равны р1, р2, …, рn. Получаем последовательность значений  r1, r2, ..., rk случайной величины R. Если, то считаем, что в i-ом испытании наступило событие Аm.

Пример:

Проводится последовательность независимых испытаний. в результате каждого испытания может произойти одно из несовместных событий А1, А2, А3, образующих полную группу. Р(А1)=0,35; Р(А2)=0,25; Р(А3)=0,4

Моделирование такой последовательности испытаний осуществляется следующим образом: разделим отрезок [0; 1] на три участка:

Получим последовательность значений R равномерной случайной величины (Можно взять из готовых таблиц случайных чисел) r1=0,15; r2=0,34; r3=0,75 и т.д.

Значение r1 попало в первый интервал, значит в первом испытании произойдет событие А1 . r2 попало так же в первый интервал, т.е. во втором испытании произойдет событие А1 . r3 попало в третий интервал, т.е. в третьем испытании произойдет событие А3 и т.д.

в) Пусть производится последовательность зависимых испытаний. В результате каждого испытания может произойти одно из противоположных событий А и В.

Моделирование этой последовательности испытаний осуществляется следующим образом:

1) Получаем значение r1 случайной величины R. Если r1 <Р1(А), где Р1(А)- вероятность наступления события А в первом испытании, то считаем, что в первом испытании произошло событие А. Если r1   Р1(А), то фиксируем появление события В.

Допустим, что в первом испытании появилось событие А.

2) Получим следующее значение r2. Если r2<Р2(А/А), где Р2(А/А)- условная вероятность появления во втором испытании события А, при условии, что в первом – произошло тоже А, то фиксируем появление во втором испытании события А. Если r2 > Р2(А/А), то считаем, что произошло событие В.

Допустим, что произошло событие В.

3) Получим следующее значение r3. Если r3<Р3(А/А,В), где Р3(А/А,В)- вероятность появления в третьем испытании события А, при условии наступления в первом и втором – событий А и В, то считаем, что в третьем испытании появилось событие А, в противном случае- событие В и т.д.

Этот алгоритм моделирования зависимых испытаний легко обобщить на случай, когда результатом каждого испытания может быть появление не только двух, а и большего числа событий.

4.    Моделирование дискретной случайной величины

а) Общий алгоритм моделирования

Моделирование дискретной случайной величины можно свести к моделированию последовательности независимых испытаний.

Пусть имеет место следующий ряд распределения:

Обозначим через Ai событие, состоящее в том, что случайная величина Х примет значение хi.

Тогда нахождение значения, принятого случайной величиной Х в результате испытания, сводится к определению того, какое из событий А1, А2, … Аn появится. Т.к. А1, А2, … Аn – несовместны, образуют полную группу случайных событий и вероятность появления каждого из них не изменяется от испытания к испытанию, то для определения последовательности значений, принятых случайной величиной Х, можно использовать процедуру моделирования последовательности независимых испытаний.

Помимо рассмотренного выше общего алгоритма моделирования случайной дискретной величины для  многих законов распределения существуют специальные алгоритмы.

б) Моделирование случайной величины с биномиальным распределением.

р- вероятность появления события в каждом испытании.

Введем случайную величину Хi- число появления события в i-ом испытании (i=1, 2, … n). Очевидно, что эта величина может принимать только 2 значения: 1 (с вероятностью р) и 0 (с вероятностью 1-р), т.е.

Тогда случайное число m – появлений события в n испытаниях вычисляется по формуле: m =X1 +X2 +... +Xn

Т.е. определение значения случайной величины m сводится к следующей процедуре:

1) Получают последовательность значений r1, r2, r3, ... rn случайной величины R- равномерно распределенной на отрезке [0; 1].

2) Для каждого ri (i= 1, 2, … , n) проверяют, выполняется ли неравенство ri <p. Если неравенство выполняется, то полагают Хi=1, в противном случае Хi=0.

3) Находят сумму значений n случайных величин Хi (это значение m).

Повторяя эту процедуру получают последовательность  значений m1, m2, m3, ... – случайных величин с биномиальным распределением.

Пример:

Найдем последовательность  значений случайной величины m с биномиальным распределением, если n= 7, р=0,3. Из таблицы случайных чисел берем 7 значений r1=0,15, r2=0,34, r3=0,71, r4=0,06, r5=0,28, r6=0,36, r7=0,78. Три числа из них не превосходят р=0,3. Следовательно m принимает значение 3. Из той же таблицы берем очередные 7 чисел: 0,73; 0,55; 0,74; 0,75; 0,45; 0,61; 0,28. Одно из них не превосходит р=0,3. Поэтому следующее значение величины m равно 1 и т.д.

5.    Моделирование непрерывной случайной величины

а) Метод обратных функций

Допустим, что нужно найти последовательность значений случайной величины Х, имеющей монотонно возрастающую функцию Fx(x).

Случайная величина Х с монотонно возрастающей функцией распределения  y=Fx(x) связана со случайной величиной R. Значения х случайной величины Х являются решением уравнения Fx(x)=r, где r- значение случайной величины R, т.е.

Последовательности значений r1, r2, r3, ...- случайной величины R соответствует последовательность значений случайной величины Х с функцией распределения Fx(x).

Метод получения значений случайной величины Х, использующий функцию обратную функции Fx(x) называется методом обратной функции.

б) Моделирование случайной величины с равномерным распределением на отрезке [a; b].

Пусть случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке [a; b]. тогда для х [a; b]:

Последовательность значений r1, r2, r3… случайной величины R соответствует последовательности значений х1=a+r1(b-a); х2=a+r2(b-a); х3=a+r3(b-a)… случайной величины Х, равномерно распределенной на отрезке [a; b].

в) Моделирование случайной величины с нормальным распределением.

Для моделирования случайной величины с нормальным законом распределения можно использовать как метод обратных функций, так и методы, специально разработанные для нормального закона.

Допустим, что требуется получить значения нормально распределенной случайной величины Х с известными математическим ожиданием и дисперсией.

Значения случайной величины Х находим по формуле:

Например, при n=12

где r1, r2, r3, ... r12 – значения случайной величины R, равномерно распределенной на [0; 1]. Т.о., имея 12 значений случайной величины R и подставив их в формулу, получают значение случайной величины Х; имея следующие 12 значений  величины R и подставив их в формулу, получают следующее значение величины Х и т.д.