Метод рационализации при решении неравенств,
содержащих иррациональные выражения.
Метод рационализации — это процедура, позволяющая в определённых
случаях упростить неравенство и свести его к рациональному неравенству
(которое решается методом интервалов).
Если f(x) — монотонно возрастающая функция, то разность f(a) − f(b)
совпадает по знаку с разностью a − b. То есть в неравенстве (f(x) − f(a))( g(x) −
g(b)) > 0, где f(x) и g(x) — монотонно возрастающие функции, разность f(x)
−f(a) можно заменить разностью x − a (того же знака), а разность g(x) − g(b)
можно заменить разностью x − b (того же знака). Получим рациональное
неравенство (x – a)( x – b) > 0, решаемое методом интервалов. При этом
неравенство (2) является следствием неравенства (1). Это означает, что
неравенство (2) содержит все решения неравенства (1) и, возможно, некоторые
другие решения. Чтобы отфильтровать лишние решения, нужно найти ОДЗ
исходного неравенства.
При решении неравенств, содержащих иррациональные выражения,
используем следующее правило √f √g˅0↔f−g˅0 (на области
определения)
№1.Решите неравенство:
√x2−1−2√1−x
≤0
√x+7−1
≤0
Решение.
√x2−1−2√1−x
√x+7−1
1−x
√x2−1− √4(¿)
√x+7−1
¿
≤0
1≤0
(x+7)−1
x2−1≥0
1−x≥0
x+7≥0
{(x2−1)−4(1−x)
{x2+4x−5
x+6 ≤0
[ x≥1
x≤−1
x≤1
x≥−7
{(x+5)(x−1)
[−7≤x≤−1
x=1
x+6
≤0
7 ≤x<−6;−5≤x≤−1;x=1
Ответ: 7 ≤x<−6;−5≤x≤−1;x=¿ 1
№2.Решите неравенство
√x4−2−1
x+1 ≤x−1
Решение:
√x4−2−1
x+1 ≤x−1
√x4−2−x2
x+1 ≤0
{x4−2−x4
x+1 ≤0
x≠−1
[x<−4√2
x>4√2
{ 2
x> 4√2 { x≥−1
x+1≥0
[x<−4√2
[x<−4√2
x> 4√2
x≥4√2
Ответ:
x≥4√2
2№3Решите неравенство
√x+1−√1−x
3x2+5x−2
<0
Решение:
√x+1−√1−x
3x2+5x−2
<0,{(x+1)−(1−x)
(x+2)(3x−1)
x≥−1
x≤1
<0
,{
<0
(x+2)(3x−1)
2x
x≥−1
x≤1
0
рационализация иррац неравенств.docx
