Методическая разработка "Основные понятия теории вероятности"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

ЛЕКЦИОННОГО ЗАНЯТИЯ № 10

по теме:

«Основные понятия теории вероятности. Определение вероятности события»

 

Дисциплина: Математика

 

Специальность 31.02.01. Лечебное дело

 

Курс 1               

 

 

 

 

 

 

 

 

Балашов 2022

                                             СОДЕРЖАНИЕ

 

1.	Пояснительная записка……………………………………….	4
2.	Технологическая карта……………………………………….	5
3.	План изложения теоретического материала……………..….	6
4.	Содержание теоретического материала…….……………….	6
5.	Контрольно-оценочный материал……………………………	12
6.	Список рекомендуемой литературы…………………………	13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пояснительная записка

Данная методическая разработка предназначена для реализации требований Федерального государственного образовательного стандарта среднего профессионального образования по специальности 31.02.01 – «Лечебное дело» к минимуму содержания и уровню подготовки выпускников по учебной дисциплине «Математика».

Тема «Основные понятия теории вероятности. Определение вероятности события» входит в программу по дисциплине «Математика» и занимает в ней значительное место, т.к. навыки, полученные при изучении данной темы необходимы для изучения других смежных тем, и для профессиональной деятельности среднего медицинского работника.

Основная цель данного занятия состоит в том, чтобы дать студентам набор математических знаний и навыков, необходимых для изучения других программных дисциплин, использующих в той или иной мере математику, для умения выполнять практические расчеты, для формирования и развития логического мышления.

В данной работе последовательно вводятся все базовые понятия раздела, рассматриваются  основные задачи и методы их решения.

На данное занятие отводится 2 учебных часа. Изучение нового материала проходит в виде лекции с последующим закреплением через решение задач. Контроль уровня усвоения нового материала проводится в форме беседы со студентами. Методами обучения служат устный опрос, метод упражнений. При проведении занятия возможны беседы с учащимися, обсуждение возникающих по ходу изложения материала вопросов.

Формы обучения имеют фронтальный, индивидуальный и групповой характер. Самостоятельная работа предусматривает написание докладов по теме занятия.

 

 

 

Технологическая карта лекционного занятия

 

Учебные цели занятия: формирование представлений об основных понятиях и теоремах теории вероятности.

знать:

1. Основные понятия теории вероятности: испытание, событие.

2. Виды событий: случайное, невозможное, достоверное.

3. Определение вероятности и способы её вычисления.

 

ОК 1–5, 12

Тип занятия: информационная, проблемная, эвристическая, бинарная

                                                 (нужное подчеркнуть)

Уровень освоения: 2

Материальное обеспечение учебного занятия:

1. Ноутбук, проектор.

2. Мультимедийная презентация

 

Распределение рабочего времени на учебном занятии:

 

Содержание занятия	Время	Методические указания
1. Организационный момент	2 мин	Взаимное приветствие. Проверка состава студентов и их готовности к занятию.
2. Формулировка темы, ее мотивация	3 мин	Сообщение темы занятия, раскрытие её теоретической и практической значимости.
3. Определение целей занятия	2 мин	Сообщение целей занятия. План занятия.
4. Работа над изучаемым материалом	60 мин	Изложение нового материала, конспектирование студентами основных понятий и теорем.
5. Закрепление нового материала	20 мин	С целью закрепления изученного материала идёт повторение основных понятий и определений, решение примеров
6. Подведение итогов занятия. Задание на дом	3 мин	Подведение итогов занятия, работа группы в целом и отдельных студентов. Выдача домашнего задания.

 

 

 

 

План изложения теоретического материала

 

1. Теория вероятности – раздел математики.

2. Понятие о случайном событии. Виды событий. Вероятность события.

3. Классическое определение вероятности.

 

Содержание теоретического материала

1. Теория вероятности – раздел математики

Теория вероятности – это один из разделов высшей математики, но как ни странно мы часто применяем её в реальной жизни. Ежедневно нам приходится принимать решения, которые впоследствии повлияют на нашу жизнь. И для того, чтобы эти решения оказались для нас благоприятными мы пользуемся данной теорией.

Например, она нужна, когда страховое агентство рассчитывает, сколько денег с вас взять, оно исходит из расчета, какова вероятность того, что такие люди как вы попадают в неприятное происшествие? Она нужна, когда вы раздумываете, купить ли лотерейный билет – насколько велика вероятность выигрыша? Что безопаснее – лететь на самолете или ехать поездом? Врачи знают примерную вероятность наступления каждого из исходов в случае любого заболевания, а  пациент всегда спрашивает: «Доктор, какие у меня шансы?»

Теория вероятностей изучает объективные закономерности массовых случайных событий. Она является теоретической базой для математической статистики, занимающейся разработкой методов сбора, описания и обработки результатов наблюдений. Путем наблюдений (испытаний, экспериментов), т.е. опыта в широком смысле слова, происходит познание явлений действительного мира.

В своей практической деятельности мы часто встречаемся с явлениями, исход которых невозможно предсказать, результат которых зависит от случая.

Случайное явление можно охарактеризовать отношением числа его наступлений к числу испытаний, в каждом из которых при одинаковых условиях всех испытаний оно могло наступить или не наступить.

Теория вероятности – раздел математики, в котором изучаются случайные явления (события) и выявляются закономерности при массовом их повторении.

Математическая статистика – это раздел математики, который имеет своим предметом изучения методов сбора, систематизации, обработки и использования статистических данных для получения научно обоснованных выводов и принятия решений.

При этом под статистическими данными понимается совокупность чисел, которые представляют количественные характеристики интересующих нас признаков изучаемых объектов. Статистические данные получаются в результате специально поставленных опытов, наблюдений.

Статистические данные по своей сущности зависят от многих случайных факторов, поэтому математическая статистика тесно связана с теорией вероятностей, которая является ее теоретической основой.

 

2. Понятие о случайном событии. Виды событий. Вероятность события

 Всякое действие, явление, наблюдение с несколькими различными исходами, реализуемое при данном комплексе условий, будем называть испытанием, а результат этого действия или наблюдения называется событием.

Например: подбрасывание монеты или кубика – это испытание, а выпадение орла или решки при бросании монеты – это событие; выпадение 1,2,3,4,5,6 при бросании кубика – это тоже событие.

 Если событие при заданных условиях может произойти или не произойти, то оно называется случайным.

Например: выпадение 5 очков при бросании кубика; выигрыш, проигрыш или ничья в матче двух футбольных команд.

В том случае, когда событие должно непременно произойти, его называют достоверным.

Например: после 10 февраля наступит 11 февраля; вытаскивание белого шарика из мешка, содержащего только белы шары.

В том случае, когда событие заведомо не может произойти, его называют невозможным.

Например: заката солнца сегодня не будет; выпадение больше шести очков при броске игрального кубика.

События называются совместными, если в данных условиях появление одного из этих событий не исключает появление другого при том же испытании.

Например: выпадение числа большего 5 очков и чётного числа очков при подбрасывании игрального кубика; солнце и дождь одновременно.

События называются несовместными, если каждый раз возможно появление только одного из них.

Например: выпадение 3 очков и чётного числа очков при подбрасывании игрального кубика; выигрыш и ничья команды одновременно.

Введём понятие противоположного события.

Под противоположным событием понимается событие, которое обязательно должно произойти, если не наступило некоторое событие.

Противоположные события несовместны и единственно возможны.

Например: орёл и решка при подбрасывании монеты; если партия изготовленных изделий состоит из годных и бракованных, то при извлечении изделия оно может оказаться годным, либо бракованным; событие – выпадение 2 при бросании игрального кубика, а противоположное ему событие – не выпадение 2, т.е. выпадение 1,3,4,5,6.

События принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С, D и т.д. Противоположные события обозначаются А и .

Полной системой событий А₁, А₂, А₃, … , А_n называется совокупность несовместных событий, наступление хотя бы одного из которых обязательно при данном испытании.

Например: на тарелке лежат один банан, два яблока, две груши, четыре апельсина. Событие А – возьмут банан, событие В – возьмут яблоко, событие С – возьмут грушу, событие D – возьмут апельсин. События А, В, С, D образуют полную группу событий.

Пример № 1. В коробке находится 30 пронумерованных шаров. Установить, какие из следующих событий являются невозможными, достоверными, противоположными:

достали пронумерованный шар (А);

достали шар с четным номером (В);

достали шар с нечетным номером (С);

достали шар без номера (D).

Решение:  А – достоверное событие; В – случайное событие; С – случайное событие; D – невозможное событие; В и С – противоположные события.

 

3. Классическое определение вероятности

Число, являющееся выражением меры объективной возможности наступления события, называется вероятностью этого события и обозначается символом Р(А).

Определение. Вероятностью события А называется отношение числа исходов m, благоприятствующих наступлению данного события А, к числу n всех исходов, т.е.

.

Следовательно, для нахождения вероятности события необходимо, рассмотрев различные исходы испытания, подсчитать все возможные исходы n, выбрать число интересующих нас исходов m и вычислить отношение m к n.

Из этого определения вытекают следующие свойства:

1.                 Вероятность любого испытания есть неотрицательное число, не превосходящее единицы.

Действительно, число m искомых событий заключено в пределах . Разделив обе части на n, получим

.

2. Вероятность достоверного события равна единице, т.к. .

3. Вероятность невозможного события равна нулю, поскольку .

4.  Сумма вероятностей всех событий в полной группе всегда равна 1.

5. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

Задача №1. (устно) Найдите вероятность выпадения орла при бросании монеты. Случайными событиями при подбрасывании монеты могут быть выпадение орла либо решки, причём события эти равновозможные. Очевидно также, что эти события являются несовместимыми и противоположные, так как наступление одного из них исключает наступление другого.

Решение:

Пусть событие А –  выпадение герба, общее число исходов равно 2, тогда по формуле, получаем .

Ответ: .

Кстати говоря, опыт с многократным подбрасыванием монет проводили в своё время французский естествоиспытатель Жорж Луи Леклерк Бюффон (1707-1788) и английский статистик Карл Пирсон (1857-1936).

	Число бросков	Выпадение герба	Частота
Опыт на занятии	20	13	0,65
Ж. Бюффон	4040	2048	0,5069
К. Пирсон	12000	6014	0,5011
К. Пирсон	24000	12012	0,5005

 

Как мы видим, при многократном повторении опыта число выпадений герба незначительно отличается от 0,5.

Задача  №2.  В лотерее из 1000 билетов 200 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный?

Решение:

1) общее число различных исходов есть n=1000;

2) число исходов, благоприятствующих получению выигрыша, составляет m=200;

3) Согласно формуле, получим       .

Ответ: 0,2.

 

 

 

 

 

 

Контрольно-оценочный материал

(фронтальный опрос по пройденной теме)

1. Что изучает теория вероятности?

2. Что называют испытанием? событием? Приведите примеры.

3. Какое событие называют случайным? Приведите примеры.

4. Какое событие называют достоверным? Приведите примеры.

5. Какое событие называют невозможным? Приведите примеры.

6. Какие события называют совместными? Приведите примеры.

7. Какие события называют несовместными? Приведите примеры.

8. Какие события называют противоположными? Приведите примеры.

9. Что называют полной системой событий? Приведите примеры.

10. Что называют вероятностью наступления события?

11. Перечислите свойства вероятности.

 

Задание на дом

Выучить основные понятия теории вероятности, решить задачу.

Задача 1. На тарелке 12 пирожков: 5 с мясом, 4 с капустой и 3 с вишней. Наташа наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

 

Основная литература:

1.   Балдин К. В. Математика и информатика: учебное пособие / К.В. Балдин, В. Н. Башлыков, А. В. Рукосуев., В. Б. Уткин под рук. Балдина К. В.- М.: КНОРУС, 2020.

2.   Гилярова М. Г. Математика для медицинских колледжей /М. Г. Гилярова. - Р.н/Д.: Феникс, 2018

Дополнительная литература:

1.   Колесов В. В., Романов М. Н. Математика для медицинских колледжей / В. В. Колесов, М. Н. Романов. - Р.н/Д.: Феникс, 2018

Интернет – ресурсы:

1.       Математика для всех. Доступ: http://konkurs-kenguru.ru

2.       Материалы по математике в Единой коллекции цифровых образовательных ресурсов Доступ: http://www.math.ru

3.       Математические олимпиады для школьников. Доступ: http://www.math-on-line.com

4.       Математические олимпиады и олимпиадные задачи. Доступ: http://www.olimpiada.ru

 

 

 

Скачано с www.znanio.ru