Методическая разработка практического занятия для преподавателя по теме «Производная функции. Уравнение касательной к графику функции»

1.

Тема занятия

Производная функции

2.

Содержание темы

Касательная к графику функции. Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции с применением производной (2 часа)

3.

Тип занятия

Практическое занятие

4.

Формы организации учебной деятельности

Фронтальная, индивидуальная

5.

Планируемые образовательные результаты

ОК 1, ОК 4

Структурные элементы занятия

Деятельность преподавателя

Деятельность обучающихся

1. Организационная часть

Приветствует обучающихся, фиксирует отсутствующих и готовность к занятию

Приветствуют преподавателя.

Проверяют готовность к занятию.

2. Актуализация опорных знаний и способов деятельности

Чтобы настроиться на урок, повторим ранее изученный материал. Внимание на экран. Вычислите устно, пользуясь таблицей производных в тетради.

1)       ;

2)      ;

3)      ;

4)      ;

5)      ;

6)      .

Рассмотрите внимательно чертеж.

Прямая x = 1 имеет с параболой y = x² одну общую точку M(1; 1), прямая же y = 2x – 1, также проходит через эту точку.

Какая из данных прямых является касательной? Почему?

Прямая x = π  имеет единственную точку с графиком функции y = cos x  K(π; 1). Прямая y = - 1, проходит через ту же точку, но при этом имеет с ним бесконечно много общих точек вида  (π+2 πk; 1), где k – целое число, в каждой из которых она касается графика.

Какая из данных прямых является касательной? Почему?

Попробуйте самостоятельно сформулировать цель нашего сегодняшнего занятия.

Слушают преподавателя. Отвечают на поставленные вопросы. Формулируют цель занятия.

3. Мотивация деятельности

Сообщает тему и цели занятия, обосновывает значимость урока. Тема: «Производная функции. Уравнение касательной к графику функции»

Цели урока:

- изучить понятие касательной к графику функции;

- изучить алгоритм составления уравнения касательной к графику функции;

-изучить основные типы задач на составление уравнения касательной.

Слушают преподавателя.

Акцентирует внимание на плане урока

1. Понятие касательной графику функции;
2. Алгоритм составления уравнения касательной.
3. Основные типы задач на составление уравнения касательной.

Слушают преподавателя.

Фокусируют внимание на предстоящей работе на занятии.

4.  Изучение нового материала

1. Понятие касательной к графику функции

Примем, что касательная это предельное положение секущей.

Раз касательная это прямая линия, а нам нужно составить уравнение касательной, то нам нужно вспомнить общий вид уравнения прямой (у= кх+b)

Как называют число к?  (угловой коэффициент)

Где мы уже встречались с понятием углового коэффициента касательной? (геометрический смысл производной).

В чем заключается геометрический смысл производной? (Производная от функции в данной точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке).

Можно  записать tg α = yˈ(а) = к.

Посмотрите внимательно на рисунок. Видим касательные к графику функции y = f(x)  в точках х₁, х₂, х₃,  и отметим углы, которые они образуют с осью абсцисс. (Это угол, отсчитываемый в положительном направ­лении от положительного направления оси до прямой.)

Мы видим, что угол α₁ острый, угол α₃ тупой, а угол α₂ равен нулю, так как прямая l параллельна оси Ох. Тангенс острого угла   положителен,   тупого — отрицателен. Поэтому  f '(х₁)>0, f '(х₂) = 0, f '(х₃) < 0.

Проиллюстрируем касательную к графику функции самостоятельно на чертеже.

Пусть дана функция y = f (x) и точка М принадлежащая графику этой функции. Давайте определим её координаты следующим образом: х=а, у= f (а), т.е. М (а, f (а) ) и пусть существует производная f '(а), т.е. в данной точке производная определена. Проведем через точку М касательную.  Уравнение касательной – это уравнение прямой, поэтому оно имеет вид: y = kx + b. Следовательно, задача состоит в том, чтобы отыскать k и b. Обратите внимание на доску, из того что там записано, можно ли найти к? (k = f '(а).)

Как теперь найти b?  Искомая прямая походит через точку М(а; f(a)), подставим эти координаты в уравнение прямой: f(a) = ka +b , отсюда b = f(a) – ka,  т. к. к =  tg α= yˈ(x), то b = f(a) – f '(а)а

Подставим значение b и к в уравнение y = kx + b.

y = f '(а)x + f(a) – f '(а)a, вынося за скобку общий множитель, получаем:

y = f(a) + f '(а) · (x-a).

Нами получено уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке х = а.

Чтобы уверенно решать задачи на касательную, нужно четко понимать смысл каждого  элемента  в данном уравнении. Давайте ещё раз остановимся на этом:

1. (а, f (а)) – координаты точки касания
2. f '(а) = tg α = к тангенс угла наклона или угловой коэффициент
3. (х,у) – координаты любой точки  касательной.

И так мы вывели уравнение касательной, проанализировали смысл каждого элемента в данном уравнении. Теперь определение касательной становится более очевидным.

Касательная к графику в точке х=а функции y=f(x) – это прямая, проходящая  через точку  (а, f (а)) и имеющая угловой коэффициент f '(а).

Слушают преподавателя. Отвечают на вопросы.

Записывают определения в тетрадь.

2. Алгоритм составления уравнения касательной.

Давайте попробуем теперь вывести  алгоритм  составления уравнения касательной к графику функции y = f (x)

1. Обозначим абсциссу точки касания буквой а.
2. Вычислим f(a).
3. Найдем f '( х) и вычислим f '( а).
4. Подставим найденные значения числа а, f( а), f '( а) в уравнение касательной.
5. y = f(a) + f '(а) · (x-a).

Слушают преподавателя. Записывают алгоритм в тетрадь

3. Есть три основных типа задач на составление уравнения касательной.

1. Дана абсцисса точки касания x₀

Пример 1. Составить уравнение касательной к графику функции f(x)=x²-3x+5 в точке с абсциссой x₀=-1.

Решение: Составим уравнение касательной (по алгоритму)

f(x₀) = f(-1) = 1+3+5 =9

f '(x₀) = 2x-3

f '(x₀) = f '(-1)=-2-3=-5

y= 9-5 (x+1) = 4-5x

Ответ: y =  4-5x.

2. Дан угловой коэффициент наклона касательной, то есть значение производной.

Пример 2. Дана функция f(x) =x³+3x²-2x-2. Напишите уравнение касательной к графику функции y = f(x), параллельной прямой y = -2x+1.

Решение: Производная данной функции существует для всей числовой прямой.

f '(x) = 3х²+6х-2.

Поскольку касательная параллельная графику y = -2x+1, получим уравнение.

3х²+6х-2= -2

3х²+6х=0

3х(х+2)=0

х₁=0, х₂=-2

Подставим данные значения в уравнение функции.

y₁=(1+3-2-2)=0

y₂=(-8+12+4-2)=6

Подставляем найденные координаты в уравнение касательной и вычислив, получим:

y=-2x, y=-2x+10.

3. Даны координаты точки, через которую проведена касательная, но не является точкой касания.

Пример 3. Напишите уравнение всех касательных к графику функции y=-x²-4x+2, проходящих через точку М(-3;6).

Решение: Точка М(-3;6) не принадлежит графику функции, так как f(-3)≠6.

Х₀ – абсцисса точки касания, f(x₀)= -x²₀-4x₀+2

Производная данной функции существует на всей числовой прямой. Найдем ее:

f '(x)=-2х-4, f '(x₀)=-2 x₀-4.

Запишем уравнение касательной:

6=-x²₀-4x₀+2+(2 x₀-4)(-3- x₀)

x₀=-4, x₀=-2.

Это значит, что через точку М можно провести две касательные к графику функции.

Если x₀= -4, то уравнение касательной имеет вид y=4x+18.

Если x₀=-2, то уравнение касательной имеет вид y=6.

Слушают преподавателя. Записывают в тетрадь примеры задач.

5. Систематизация и закрепление изученного материала. Проверка и корректировка качества освоения нового материала

Задание 1.

Составить уравнение касательной, проведенной к графику функции у = -х²+4 в точке а= -1 и в точке а=0.

Задание 2.

Написать уравнение касательной к заданной функции f(x) в точке с заданной абсциссой.

1)  f(x) = х² – 2х – 8, в точке с абсциссой -1.                    

2)  f(x) = 2х² – 4х + 12, в точке с абсциссой 2.                  

Координирует ход решения.

Слушают преподавателя.

Выполняют задания преподавателя в тетради. 1 студент фиксирует решение на доске

Предлагает выполнить тестовые задания в тетрадях (приложение 1), с проведением взаимопроверки ответов с соседом по парте.

Отвечают на вопросы теста, обмениваются тетрадями с соседом для проверки правильности выполнения, сверяют работу  с ответами на доске.

6. Подведение итогов и рефлексия занятия

Подведем итоги сегодняшнего занятия:

-Что называется касательной к графику функции  в точке?

- В чем заключается геометрический смысл производной?

- Сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной  в точке.

Мобилизует студентов на рефлексию результатов проведения урока. Подводит итоги и выставляет оценки.

Отвечают на вопросы. Самостоятельно оценивают результаты проделанной на занятии работ.

7. Задание на дом

Домашнее задание:

Написать уравнение касательной к заданной функции f(x) в точке с заданной абсциссой

1) f(x) = 3х² – х – 9, в точке с абсциссой 1.                      

2) f(x) = 4х² + 2х + 3, в точке с абсциссой -0,5.               

Записывает домашнее задание.

1. f(x)=-x-4x+2, х=-1.

а) y=-2x-3;

б) y=2x-1;

в) y=-2x+3;

г) y=2x+3.

2. f(x)=-x+6x+8, х=-2.

а) y=2x-6;

б)y=10x+12;

в) y=4x+8;

г) y=-10x+8.

a.                 

b.     

c.      

d.      .

a.                 

b.     

c.      

d.     

a.                 

b.     

c.      

d.      .