Методическая разработка «Прямая и обратная пропорциональные зависимости.docx

  • docx
  • 04.04.2024
Публикация в СМИ для учителей

Публикация в СМИ для учителей

Бесплатное участие. Свидетельство СМИ сразу.
Мгновенные 10 документов в портфолио.

Иконка файла материала Методическая разработка «Прямая и обратная пропорциональные зависимости.docx

Конспект урока

Математика

6 класс

Урок № 7

Прямая и обратная пропорциональность. Решение задач

Перечень рассматриваемых вопросов:

  • Понятия прямой и обратной пропорциональной зависимости.
  • Краткая запись условия задачи.
  • Составление и решение пропорций по условию задачи.
  • Решение задач на прямую и обратную пропорциональную зависимость.

Тезаурус

Равенство двух отношений называют пропорцией.

Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая увеличивается во столько же раз.

Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз.

Основная литература

  1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017. — 258 с.

Дополнительная литература

  1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина — М.: Просвещение, 2009. — 142 с.
  2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин — М.: Просвещение, 2014. — 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Прямая пропорциональность.

Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая увеличивается во столько же раз.

https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/6840/20200110174728/OEBPS/objects/c_math_6_7_1/a6b80abe-609d-4bd8-a49b-37b9a9d765dc.png

Обратная пропорциональность.

Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз.

https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/6840/20200110174728/OEBPS/objects/c_math_6_7_1/e686cd82-ab97-40f9-a729-a67ab6961484.png

Для решения задач на пропорциональную зависимость, удобно составить таблицу или сделать краткую запись условия.

https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/6840/20200110174728/OEBPS/objects/c_math_6_7_1/59dc11a3-c381-4c27-82d9-05a7e5def62b.png

Столбцы таблицы соответствуют наименованиям зависимых величин.

Строки таблицы соответствуют значениям величин при первом и втором измерении.

Одинаково направленные стрелки показывают прямо пропорциональную зависимость, противоположно направленные – обратно пропорциональную.

Задача.

Поезд, скорость которого 55 км/ч, был в пути 5 часов. За сколько часов пройдёт этот же участок пути товарный поезд, скорость которого 45 км/ч?

Решение.

При постоянном пути скорость и время движения обратно пропорциональны.

Допустим, товарный поезд пройдёт этот же путь со скоростью 45 км/ч за x ч.

Сделаем краткую запись условия.

https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/6840/20200110174728/OEBPS/objects/c_math_6_7_1/8581b53f-f6ec-4ab7-867b-620a9dd245b7.png

https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/6840/20200110174728/OEBPS/objects/c_math_6_7_1/04abe17a-4928-4dbe-993c-5924b1e937de.jpeg

Задача.

Двигаясь с постоянной скоростью, велогонщик проезжает 40 метров за 3 с. Какой путь проедет велогонщик за 45 с?

Решение.

При постоянной скорости путь прямо пропорционален времени движения.

Пусть х м проедет велогонщик за 45 с.

Сделаем краткую запись условия.

https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/6840/20200110174728/OEBPS/objects/c_math_6_7_1/4cae56ba-43b4-4df3-ab15-387c72755085.png

https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/6840/20200110174728/OEBPS/objects/c_math_6_7_1/014a4365-73a1-4610-8ceb-679937eff76d.jpeg

Задача.

Усилие при восхождении на высоту 600 м равно усилию, требуемому для перехода 25 км по равнине. Турист поднялся в горы на 792 м. Какому расстоянию на равнине соответствует этот подъём?

Решение:

https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/6840/20200110174728/OEBPS/objects/c_math_6_7_1/cb332fa4-1a5e-4271-8ff9-c0b666d4a00d.png

Решение.

https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/6840/20200110174728/OEBPS/objects/c_math_6_7_1/b8086093-1ef8-44d8-bb5c-0f17ddab30a4.jpeg

Задача.

Четыре программиста могут написать игру за 12 месяцев. За сколько месяцев эту работу могут выполнить три программиста?

Решение.

Количество программистов и скорость написания игры – это обратно пропорциональная зависимость.

https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/6840/20200110174728/OEBPS/objects/c_math_6_7_1/ecb78d2a-0888-493c-8e4d-e18494ca9fbf.png

https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/6840/20200110174728/OEBPS/objects/c_math_6_7_1/ed2619db-83b5-42b7-9257-51cf289a6bca.jpeg

Разбор заданий тренировочного модуля

№ 1. Подстановка элементов в пропуски в тексте.

Подставьте нужные элементы в пропуски.

Пешеход шёл 3 часа со скоростью 8 км/ч. За сколько часов он пройдёт то же расстояние со скоростью 6 км/ч?

Решение:

При фиксированном расстоянии время в пути и скорость – ______ пропорциональны.

Пусть _____ часов – пешеход идёт со скоростью 6 км/ч.

Составим пропорцию:

_________

х=_______

х=_______(ч).

https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/6840/20200110174728/OEBPS/objects/c_math_6_7_1/0c2699e5-d19d-4a0f-955c-5c66684b2b79.jpeg

Правильный ответ.

Решение:

При фиксированном расстоянии время в пути и скорость – обратно пропорциональны.

Пусть х часов – пешеход идёт со скоростью 6 км/ч.

https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/6840/20200110174728/OEBPS/objects/c_math_6_7_1/3fe6d220-697b-4052-88fc-0b1527206e1e.jpeg

№ 2. Подстановка элементов в пропуски в таблице.

Заполните таблицу.

Поезд движется со скоростью 45 км/ч. Какое расстояние он пройдёт, если будет в пути 3 ч; 4 ч; 5 ч; 6 ч.

https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/6840/20200110174728/OEBPS/objects/c_math_6_7_1/fc8ce484-6a31-4f03-9a9b-13cdae61f092.png

Варианты ответов:

135 км;

180 км;

225 км;

270 км.

Решение.

При постоянной скорости пройденный путь и время прямо пропорциональны. Скорость движения поезда 45 км/ч означает, что за 1 час поезд преодолевает расстояние в 45 км. Обозначим за x км – расстояние, которое поезд пройдёт за 3, 4, 5 и 6 часов.

https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/6840/20200110174728/OEBPS/objects/c_math_6_7_1/6a55340d-d648-4e38-b444-b71718092f4e.jpeg

Таким же способом находим расстояние, которое пройдёт поезд за 4, 5 и 6 часов, и подставляем соответствующие варианты в таблицу.

Ответ:

https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/6840/20200110174728/OEBPS/objects/c_math_6_7_1/67cefde5-40b5-4a55-ab00-24f907f9c77e.png