Методическая разработка для самостоятельной работы студентов Основы интегрального исчисления

ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ НОВОСИБИРСКОЙ ОБЛАСТИ «КУПИНСКИЙ МЕДИЦИНСКИЙ ТЕХНИКУМ»                                                                          МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА Для самостоятельной работы студентов По дисциплине: МАТЕМАТИКА Тема: «Основы теории вероятностей» Специальность: 34.02.01 Сестринское дело   Курс: 2 (базовой подготовки)   Купино 2018  Рассмотрено на заседании   предметной цикловой Методической комиссии по общеобразовательным дисциплинам,  общему гуманитарному и социально­экономическому, математическому и  естественно­научному циклу Протокол № _____ от «_____» _________20____г. Автор – составитель: преподаватель математики высшей категории Тюменцева О.Н. Купино 2018 г Пояснительная записка Методическое пособие предназначено для самостоятельного изучения  теоретических и практических знаний по теме. повторить понятия: функции и ее свойств, производной функции, ее  геометрического и механического смысла, правил дифференцирования и  подготовиться к занятиям по теме «Основы дифференциального исчисления». Данное пособие рекомендовано для студентов второго курса специальности  34.02.01 Сестринское дело. Пособие содержит определения основных  понятий по теме Основы дифференциального исчисления, вопросы для  самопроверки, образцы решения задач и задачи для самостоятельного  решения. Пособие направлено на формирование навыков самостоятельной работы с  учебным материалом, формирование навыков решения задач, формирование и развитие творческого потенциала, повышение интереса к дисциплине. Основы дифференциального исчисления  Функцией называется правило f, по которому каждому элементу х  множества Х ставится в соответствие единственный элемент у множества У. Свойства функций 1. Область определения функции — это множество всех значений  переменной x, которые имеют соответствующие им значения функции.  Обозначают: D(f). 2. Область значений функции — это множество всех ее значений у.  Обозначают: E(f). 3. Монотонность 4. Функцию можно назвать возрастающей на промежутке, если большему из  любых двух взятых из него чисел всегда соответствует большее значение  функции. Функцию можно назвать убывающей на промежутке, если из любых  двух взятых из него чисел большему из них всегда соответствует  меньшее значение функции. 5. Промежутки знакопостоянства — промежутки, на которых значения  функции имеют постоянный знак (положительный или отрицательный).На  графике — это части оси абсцисс, у которых соответствующие кусочки  графика выше оси ОХ. Без графика их тоже можно найти, составив и  решив неравенство f (x) > 0. 6. Нули функции — это значения переменной х, при которых у (х) = 0. Без  графика нули функции тоже можно найти, составив и решив уравнение f  (x) = 0. По графику нули определяют как абсциссы точек пересечения  графика с осью ОХ. 7. Четность и нечетность функции. Функция называется четной, если ее график симметричен относительно оси  ϵ ϵ ОУ и для любого x   D(f) верно: ­х   D(f) и f (­x) = f (x). На графике четная  функция имеет ось симметрии OY. Функция называется нечетной, если ее область определения симметрична  относительно нуля и для любого x  функция называется нечетной, если любым двум противоположным значениям  D(f) и f (­x) = ­f (x). Т.е.  ϵ  D(f) верно: ­х  ϵ аргумента соответствуют противоположные значения функции. На графике  нечетная функция симметрична относительно начала координат. 8. Периодичность функции. Функция y = f (x) называется периодической с периодом Т > 0, если для  ϵ ϵ  D(f), (х + Т)  ϵ  D(f) верно: (х — Т)  любого x  (x). 9. Точки экстремума функции (точки максимума и минимума). Точка х0   D(f) и f (х — Т) = f (х + Т) = f  называется точкой минимума, если для всех х  окрестности этой точки выполняется равенство f (x) ≥ f (x0). Точка х0   D(f) в некоторой  ϵ называется точкой максимума, если для всех х  окрестности этой точки выполняется равенство f (x) ≤ f (x0). ϵ  D(f) в некоторой  10. Наименьшее и наибольшее значение функции. Число y = t называется  наименьшим значением функции на промежутке [a, b], если для любого  значения аргумента х   [a, b] из этого промежутка верно неравенство t ≥ f  ϵ (x). Число y = t называется наибольшим значением функции на промежутке  [a, b] из этого промежутка  [a, b], если для любого значения аргумента х  ϵ верно неравенство t ≤ f (x). Допустим, х – некоторая произвольная точка, которая лежит в какой­либо  окрестности точки х0.  Приращением аргумента в точке х0 называется разность х­х0.  Обозначается приращение следующим образом: ∆х.  ∆х=х­х0. Иногда эту величину еще называют приращением независимой переменной  в точке х0. Из формулы следует: х = х0+∆х. В таких случаях говорят, что  f(x) – f(x0) = f(x0 + ∆х) – f(x0). начальное значение независимой переменной х0, получило приращение ∆х. Если мы изменяем аргумент, то и значение функции тоже будет  изменяться.  Приращением функции f в точке x0, соответствующим приращению ∆х  называется разность f(x0 + ∆х) – f(x0). Приращение функции обозначается  следующим образом ∆f. Таким образом получаем, по определению:  ∆f= f(x0 +∆x) – f(x0). Иногда, ∆f еще называют приращением зависимой переменной и для  обозначения используют ∆у, если функция была, к примеру, у=f(x). Производной функции f в точке х0 называется число, к которому стремится  отношение приращения функции ∆f к приращению аргумента ∆x при  стремлении ∆х к нулю. Производная функции f в точке х0 обозначается следующим образом ­  f’(x0). Таким образом, по определению f’= ∆f/∆x. Используя формулы  приращений, можем записать f’(x0) = ∆f/∆x = (f(x0 + ∆x) – f(x0))/(∆x). Механический смысл производной Пусть задан путь  материальной точки в момент времени   есть производная от пути   по   движения материальной точки. Скорость данной  времени  :   тело, можно найти скорость тела в любой момент времени. Скорость изменения скорости, по определению, – это ускорение. Значит,   . Таким образом, зная закон, по которому движется  можем записать, что  Действительно, для равномерного движения вторая производная будет  . равна нулю (ускорение рано нулю), а для равноускоренного движения по­ . Это ещё один механический  лучим постоянное ускорение:  смысл производной. Геометрический смысл производной Производная функции  , вычисленная при заданном значении  ,  равна тангенсу угла, образованного положительным направлением оси  положительным направлением касательной, проведенной к графику этой   и функции в точке с абсциссой  : Геометрически производная представляет собой угловой коэффициент  касательной к графику функции   в точке  . Производные основных элементарных функций Дифференцирование функции [ derivation  ] — операция  определения производной рассматриваемой функции.  Правила дифференцирования Пусть функции  1. Константу можно выносить за знак производной.  имеют производные в точке  . Тогда  и  2. Производная суммы/разности. Производная   суммы/разности   двух   функций   равна   сумме/разности производных от каждой из функций. 3. Производная произведения. 4. Производная частного. 5. Производная сложной функции. Производная   сложной   функции   равна   производной   этой   функции   по промежуточному   аргументу  , промежуточного аргумента   по основному аргументу  .   умноженной   на   производную   от и   имеют производные соответственно в точках   и    . Тогда Дифференциалом функции называется линейная относительно  приращения функции. Она обозначается как   или  часть  . Таким образом:          Вопросы для самопроверки 1. 2. 3. 4. Сформулируйте определение функции  Перечислите основные свойства функции Сформулируйте определение аргумента и приращения функции  Сформулируйте определение производной Примеры   решения   задач   по   теме: исчисления   Основы   дифференциального 1.Найти производные следующих постоянных  функций  Решение. В первом случае мы имеем производную натурального числа 3, во  втором случае нам приходится брать производную от параметра а, который  может быть любым действительным числом, в третьем ­ производную  иррационального числа  , в четвертом случае имеем производную нуля  (ноль является целым числом), в пятом – производную рациональной  дроби  Ответ: производные всех этих функций равны нулю для любого  . действительного x (на всей области определения) 2. Найти производные функций  . ,  Решение. Первую и третью функцию приведем к табличному виду  используя свойства степени, и применим формулу производной степенной  функции: 3.Найти производные показательных  функций  Решение. Воспользуемся доказанной выше формулой производной  . показательной функции из таблицы и свойствами логарифма. 4.Вычислить производные логарифмических  функций  Решение. Формулу мы уже вывели, так давайте ею и воспользуемся (в первом  . случае основание логарифма равно натуральному логарифму трех a = ln3, во втором a = e): Таким образом, производная натурального логарифма равна единице деленной на x. 5.Найти производную функции  Решение. Из таблицы производных для тригонометрических функций  . видим  производной: . Воспользуемся правилом вынесения множителя за знак  Задачи для самостоятельного решения ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ (ПЗ)№ 1 Текст задания: Представьте верный ответ  ′ 4  =           (­15)  =               ′ (7,81)  =   ′ ′ (√2) =              (5/7)  =′ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ (ПЗ)№ 2 Текст задания: Представьте верный ответ  (101х)  =  ′ ′ (­56х)  =  ⅞ ′ ( х)   =  ′ (√8х)   =   (­2,8х)  =  ′ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ (ПЗ)№ 3 Текст задания: ′ Представьте верный ответ  (х⁶) =  (3х⁴)  =  ′ (­¼х4)  =′ (х21)' =    (10х4)' =  (­ х⅓ 3)' =  (х1/2)' =   ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ (ПЗ)№ 4 Текст задания: Представьте верный ответ  (2sinx) =  (x+2cosx) =′  (1/2tgx) =  ′ ′ ′ (сosx­tgx) =  ′ (2tgx­sinx) = Критерии оценивания задач: ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ (ПЗ)№ 1 ′ Текст задания: Представьте верный ответ  ′ 4  =           (­15)  =               (7,81)  =   (√2) =              (5/7)  =′ Критерии ′ ′ Оценка  (да­1\нет 0) Представлен верный ответ при решении задачи При   дихотомической   системе   оценивания   критерием   оценки   выступает правило: за правильный ответ (соответствующий эталонному – показателю) выставляется 1 балл, за неправильный ответ (несоответствующий эталонному – показателю) выставляется  0 баллов. Оценивание осуществляется по критериям: «5» ­ 5 баллов «4» ­ 4 балла «3» ­ 3 балла «2» ­ 0 баллов Условия выполнения задания 1. Место выполнения задания в учебной аудитории. 2. Максимальное время выполнения задания: 2 мин. 3. Вы можете воспользоваться лекциями, учебником, калькулятором. Разработчик: Тюменцева О. Н. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ (ПЗ)№ 2 Текст задания: Представьте верный ответ  ′ (101х)  =  ′ (­56х)  =  ⅞ ′ ( х)   =  ′ (√8х)   =   (­2,8х)  =  ′ Критерии Оценка  (да­1\нет 0) Представлен верный ответ при решении задачи При   дихотомической   системе   оценивания   критерием   оценки   выступает правило: за правильный ответ (соответствующий эталонному – показателю) выставляется 1 балл, за неправильный ответ (несоответствующий эталонному – показателю) выставляется  0 баллов. Оценивание осуществляется по критериям: «5» ­ 5 баллов «4» ­ 4 балла «3» ­ 3 балла «2» ­ 0 баллов Условия выполнения задания 1. Место выполнения задания в учебной аудитории. 2. Максимальное время выполнения задания: 2 мин. 3. Вы можете воспользоваться лекциями, учебником, калькулятором. Разработчик: Тюменцева О. Н. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ (ПЗ)№ 3 ′ Текст задания: Представьте верный ответ  (х⁶) =  (3х⁴)  =  ′ (­¼х4)  =′ (х21)' =    (10х4)' =  (­ х⅓ 3)' =  (х1/2)' =   Критерии Оценка Представлен верный ответ при решении задачи При   дихотомической   системе   оценивания   критерием   оценки   выступает правило: за правильный ответ (соответствующий эталонному – показателю) (да­1\нет 0) выставляется 1 балл, за неправильный ответ (несоответствующий эталонному – показателю) выставляется  0 баллов. Оценивание осуществляется по критериям: «5» ­ 6­7 баллов «4» ­ 5 баллов «3» ­ 4­3 балла «2» ­ 0 баллов Условия выполнения задания 1. Место выполнения задания в учебной аудитории. 2. Максимальное время выполнения задания: 5 мин. 3. Вы можете воспользоваться лекциями, учебником, калькулятором. Разработчик: Тюменцева О. Н. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ (ПЗ)№ 4 ′ Текст задания: Представьте верный ответ  (2sinx) =  (x+2cosx) =′  (1/2tgx) =  ′ (сosx­tgx) =  ′ (2tgx­sinx) =  ′ Критерии Оценка  (да­1\нет 0) Представлен верный ответ при решении задачи При   дихотомической   системе   оценивания   критерием   оценки   выступает правило: за правильный ответ (соответствующий эталонному – показателю) выставляется 1 балл, за неправильный ответ (несоответствующий эталонному – показателю) выставляется  0 баллов. Оценивание осуществляется по критериям: «5» ­ 5 баллов «4» ­ 4 балла «3» ­ 3 балла «2» ­ 0 баллов Условия выполнения задания 1. Место выполнения задания в учебной аудитории. 2. Максимальное время выполнения задания: 5 мин. 3. Вы можете воспользоваться лекциями, учебником, калькулятором. Разработчик: Тюменцева О. Н.