МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ПО ТЕМЕ "РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ"

Автор работы: учитель математики школы № 206, города Новосибирска, Куслина Елена Владимировна ВИДЫ И СПОСОБЫ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ 2.1 Простейшие тригонометрические уравнения и их решения sinx=b, tgx=b, ctgx=b принято Уравнения cosx=b, называть простейшими тригонометрическими уравнениями. Решение простейших тригонометрических уравнений можно найти с помощью единичной окружности. Для этого нужно: найти все углы в диапазоне 0 ≤ θ ≤ 2π, которые удовлетворяют данному уравнению. Написать общее решение. В частности, рассмотрим решение уравнения sinθ = √3 2 с помощью единичной окружности. Чертим единичную окружность. sinθ = √3 2 можно перефразировать так "какой угол(ы) соответствует координате Y равной √3 2 ?" Постройте прямую Y = √3 2 и выделите точки пересечения прямой Y = √3 2 с единичной окружностью. Ответ θ = π/3 и 2π/3. Это решение если угол θ принадлежит промежутку от нуля до 2π (0 ≤ θ ≤ 2π). В общем решении, мы должны учитывать периодичность функции (у синуса период равен 2π). Если совершить полный оборот от угла π/3 против часовой стрелки, мы получим уголки 7π/3, ещё один оборот и 13π/3 и так до бесконечности. Таким образом, общее решение будет следующим θ = π/3+2πk, где. Теперь полный оборот совершим от угла 2π/3 против часовой стрелки, мы получим угол 8π/3, ещё один полный оборот и угол 14π/3 и т. д. Второе общее решение θ =2π/3 + 2 πk Итак, с помощью числовой окружности можно находить как частное, так и общее решение простейшего тригонометрического уравнения [11]. Формулы нахождения корней некоторых часто встречающихся простейших тригонометрических уравнений: Таблица 1 Уравнение sinx=0 sinx=1 sinx=−1 cosx=0 cosx=1 cosx=−1 tgx=0 Его корни x=πn,n∈Z x=π 2 +2πn,n∈Z x=−π 2 +2πn,n∈Z x=π 2 +πn,n∈Z x=2πn,n∈Z x=(2n+1),n∈Z x=πn,n∈Z tgx=1 tgx=−1 ctgx=0 ctgx=1 ctgx=−1 x=π 4+πn,n∈Z x=−π 4 +πn,n∈Z x=π 2 +πn,n∈Z x=π 4+πn,n∈Z x=3π 4 +πn,n∈Z Все тригонометрические уравнения решаются сведением к одному из четырёх простейших: (1) sinx=b {x=(−1)narcsinb+πn,n∈Z,если|b|≤1; неимеетрешения,если|b|>1. (2) cosx=b {x=±arcsinb+2πn,n∈Z,если|b|≤1; неимеетрешения,если|b|>1. x=arctgb+πn,n∈Z x=arcctgb+πn,n∈Z (3) tgx=b (4) ctgx=b Формулы нахождения корней некоторых часто встречающихся простейших тригонометрических уравнений: 4)=−1 Пример 1. Решить уравнение cos(2x−π 2 Решение. По формуле (2) находим 2x−π 4 =±arcsinb+2πn, где 1 2 −¿=2π 3 . arcsin¿ Отсюда следует, что 2x=π 4 ±2π 3 +2πn,x=π 8 ±π 3 +πn,n∈Z. Пример 2. Решить уравнение x2−1 ¿= 1 √2 sin ¿ Решение. Согласно формуле (1) получаем x2−1=(−1)narcsin 1 4 +πn, √2 x2=1+(−1)nπ +πn=(−1n) π откуда 4+πn. Так как правая часть этого равенства должна быть неотрицательной, то n может принимать только значения 0, 1, 2…, то есть n ∈ N, где N это множество натуральных чисел. Отсюда находим 4 +πn, где n ∈ N. 4 +πn, где n∈Z, x=√1+(−1)nπ Пример 3. Решить уравнение tgx3=−1 Решение. Применяя формулу (3), находим x3=arctg(−1)+πn=−π откуда x=3√−π Пример 4. Рассмотрим решение уравнения sinπ√x=−1 Решение. π√x=−π Для нахождения x, следует возвести обе части последнего равенства в квадрат, но при этом обе части уравнения должны быть неотрицательны. Правая часть неотрицательна при k 2 +2πk,k∈Z; √x=−1 4 +πn, n∈Z. 2 +2k,k∈Z. 2 +2k) 2, k ∈N. ∈N, левая часть является неотрицательной по свойству арифметического квадратного корня. Таким образом, ответ x=(−1 Пример 5. Решить уравнение sinx=2sin47°cos44° Решение. Для решения данного уравнения необходимо исследовать правую часть уравнения на соответствие области значения синуса, так как область значения функции sinx : [−1;1] выясним в каких пределах находится значение выражения 2sin 47°cos44°. Так как функция sinx , на промежутке [0°; 90°] возрастает, то следовательно sin 47°>sin 45°=√2 2 . Так как функция cosx, на промежутке [0°; 90°] убывает, то следовательно, 44°>cos45°=¿ √2 2 . cos¿ 2 ∙√2 Итак, имеем 2sin 47°cos44°>2∙√2 2 =1 . Вывод: так как правая часть заданного уравнения больше единицы, то оно не имеет решения. Ответ: решений нет. Пример 6. Решить уравнение sin πx2 1+x2=1 Решение. Имеем, πx2 1+x2=π 2 +2πk,k∈Z, откуда следует равенство X2 1+x2 =1 2 +2k,k∈Z. Так как 0≤ x2 1+x2 <1 , то должно выполняться неравенство 0≤1 2 +2k<1 . Этому неравенству удовлетворяет единственное значение k=0. Следовательно, уравнение x2 1+x2 =1 2 +2k,k∈Z. Равносильно уравнению X2 1+x2 =1 2 , решением которого являются числа x1,2= ±1. Ответ: x1,2= ±1. 2.2 Решение тригонометрических уравнений разложением на множители и способом группировки Одним из наиболее употребительных методов решения тригонометрических уравнений является метод разложения на множители. Пример 1. Решить уравнение 2 sinxcos2x−1+2cos2x−sinx=0 Решение. Вынося общий множитель первого и третьего слагаемых, запишем данное уравнение в виде 2 cos2x(sinx+1)−(sinx+1)=0 или (2 cos2x−1 )( sinx+1 )=0. Исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений: 2 cos2x−1=0 , sinx+1=0 или cos2x=1 2 , sinx=−1. 6 +πn,x=−π 2 +2πn,n∈Z. Ответ: x=±π Пример 2. Решить уравнение cos(3π получим Решение. Используя формулы приведения, sinx+√2sinxcosx=0, и далее общий множитель sinx можно 2 +x)=√2sin(x+π)cosx вынести за скобки. sinx(1+√2cosx)=0. Последнее уравнение равносильно совокупности двух простейших: простейших уравнения. Ответ: x=πk,k∈Zилиx=±3π sinx=0или(1+√2cosx)=0. Остаётся лишь решить эти два 4 +2πk,k∈Z. Пример 3. Решить уравнения cos3x+sin3x=cos2x cos2x, разложив по формуле двойного Решение. Справа аргумента и далее по формуле разности квадратов, а слева, используя формулу суммы кубов и основное тригонометрическое тождество, можно записать уравнение равносильное данному: cosx+sin ¿(1−sinxcosx)=(cosx+sinx) (cosx−sinx). x ¿ Вынося за скобки общий множитель cosx+sin ¿ x ¿ получим: cosx+sin ¿ x ¿ ¿ . Далее предстоит рассматривать решение двух уравнений cosx+sinx=0(1)и 1−sinxcosx+(sinx−cosx)=0 (2). Уравнение (1) равносильно уравнению tgx=−1 , а корни этого простейшего уравнения можно найти (таблица 1), x=−π 4 +πn,n∈Z. Уравнение (2) заменой  sinx−cosx=t приводится к уравнению   t2+2t+1=0 , откуда t= −1, т.е.   sinx−cosx=−1 или sinx+1−cosx=0,     используя   формулы   двойного   аргумента   (гл.1,   §2   формулы   (8,14))   и следствия из них, получим   2 sin x 2 cos x 2 +2sin2x 2=2sin x 2(cos x 2+sin x 2)=0.   Откуда   если sinx 2=0,тоx=2πn,аеслиcos x 2 +sin x 2=0,тоtgx 2=−1иx=−π 2 +2πn,n∈Z. Ответ:   x=−π 4 +πn,x=2πn,x=−π 2 +2πn,n∈Z[9]. 2.3 Решение тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям Умения решать алгебраические квадратные уравнения являются универсальными. Эти умения применяются при решении сложных тригонометрических уравнений. Итак, требуется с помощью тригонометрических тождеств выразить все тригонометрические функции, участвующие в рассматриваемом уравнении, через какую-нибудь одну тригонометрическую функцию. При этом необходимо контролировать проводимых обратимость преобразований, а в случаях нарушения обратимости обязательна проверка. Пример 1. Решить уравнение 2 sin2x−cosx−1=0 Решение. Пусть cosx=t,тогдаsin2x=1−t2 и уравнение примет всех вид 2(¿¿2)−t−1=0или2t2+t−1=0, 1−t ¿ решая квадратное уравнение, находим t1= −1, t2= 1 2 . Если t1= −1, то cosx=−1,x=π+2πn, а если t2= 1 2 , то cosx=1 2 ,x=±π 3 +2πn,n∈Z. Ответ: x=π+2πn, x=±π 3 +2πn,n∈Z. Пример 2. Решить уравнение x+¿ 6cos2¿ 13 sinx=12 из следствие Решение. основного тригонометрического тождества (§2 формула (1)), получим 6(1 Применяя x −sin2¿¿+13sinx=12, 6 sin2x−13sinx+6=0. Положив sinx=t,будемиметь 6t2−13t+6=¿ 0, откуда t1= 3 2 , t2= 2 3 . Следовательно получены два простейших уравнения sinx=3 2 ,sinx=2 3 . Первое уравнение не имеет решений так как 3 2 >1. Второе уравнение имеет решение x=(−1)narcsin 2 3+πn,n∈Z. Ответ: x=(−1)narcsin 2 3+πn,n∈Z. Пример 3. Решить уравнение sin4x+cos4x−2sin2x+ 3 4 Решение. Так sin22x=0 как sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2−2sin2xcos2x=1−1 2 уравнение исходное Тогда sin22x. примет вид 1−1 2 sin22x−2sin2x+ 3 4 sin22x=0. Приведя подобные и умножив обе части равенства на 4, получим sin22x−8sin 2x+4=0. Обозначая sin2x через y, получим y2−8y+4=0 , откуда y1= 4−2 √3, y2 ¿4+2√3. Второй корень не подходит так как 4+2√3>1. Исходя из первого корня, имеем уравнение sin2x=4−2√3, откуда 2x=(−1)narcsin⁡(4−2√3)+πn,n∈Z . x= (−1)n 2 arcsin⁡(4−2√3)+πn 2 ,n∈Z . Ответ: x= (−1)n 2 arcsin⁡(4−2√3)+πn 2 ,n∈Z . Пример 4. Решить уравнение 1 + sin2xcos2x 3 sinxcosx−4=0 Решение. Введение подстановки 1 sinxcosx=y. Тогда заданное уравнение примет вид y−4=0, решив это квадратное y2+ 3 1 получим корни: y1=1, y2=−4. Так как уравнение, sinxcosx= 2 1 sin2x (по формуле синус двойного аргумента) и | 2 sin2x|≥2, то корень y1=1 не подходит. Следовательно, 2 sin 2x=−4, sin2x=−1 2 12+πk Ответ: x=(−1)k+1 π 2 ,k∈Z. , x=(−1)k+1 π 12+πk 2 ,k∈Z. Пример 5. Решить уравнение 5−2cosx=5√2sin x 2 Решение. Преобразуем cosx ( cos2x 2 ,исходяизосновноготригонометрическоготождества(1),заменим н а 1 −sin2 x 2 и подставим в формулу (9) §2), получим cosx=1−2sin2 x 2 . Исходное уравнение примет вид: 2)=5√2sin x 2 , 5−2(1−2sin2 x 2 =¿5√2sin x x , 2 +4sin2¿ 3 4sin2 x 2−5√2sin x 2+3=0. Заменим sin x 2=y . Последнее уравнение примет вид 4y2−5√2y+3=0, откуда y1= √2 2 , y2= 3√2 4 . Уравнение sinx 2=√2 x=(−1)kπ 2 имеет решение 2 +2πк,k∈Z. Уравнение sinx 2=3√2 4 не имеет решения, так как 3√2 4 >1. Ответ: x=(−1)kπ 2 +2πк,k∈Z. Пример 6. Решить уравнение 1 −sinx=cosx−sin 2x Решение. 2x=¿sinx+cosx 1+sin¿ , x+cos2x+2sinxcosx=¿sin x+cosx sin2¿ , ( sin2x+cos2x )2 = sinx+cosx. После замены sinx+cosx=y, получим квадратное уравнение y2 = y, откуда y1= 0, y2= 1. Значит исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений: sinx+cosx=0илиsinx+cosx=1 , √2sin(x+π x+π 4)=0или√2sin(x+π 4)=1, 4=πk,k∈Zилиx+π 4=(−1)kπ Ответ: x=−π 4 +πk,k∈Z; x=(−1)kπ 4 +πk,k∈Z. 4 +πk,k∈Z. 4−π 2.4 Решение однородных тригонометрических уравнений Рассмотрим уравнение вида a0sinnx+a1sinn−1xcos+a2sinn−2xcos2x+...+an−1sinxcosn−1+ancosn¿0. В каждом слагаемом левой части уравнения сумма степеней синуса и косинуса одинаковая и равна n. Такое уравнение называется однородным относительно sinx,cosx и число n – называется показателем однородности. Примеры: sinx+4cosx=0 - однородное уравнение первой степени. sinxcosx+cos2x=0 - однородное уравнение второй степени. sin2xcos22x+cos2xsin22x+sin32x=0 третьей степени. - однородное уравнение Пример 1. Решить уравнение 12sin2x+3sin 2x−2cos2x=2 Решение. Используя формулу (8) §2 и основное тригонометрическое тождество, преобразуем уравнение к виду: 12sin2x+3sin 2x−2cos2x=2sin2x+2cos2x, 10sin2x+6sinxcosx−4cos2x=0. (*) Значения x, при которых cosx обращается в нуль, не являются корнями уравнения (*). Действительно, подставив cosx=0 в уравнение (*), получим а это противоречит основному 10sin2x=0,откудаsinx=0, тригонометрическому тождеству (§2 формула (1)), значит cosx≠0 . Можно поделить уравнение (*) на cos2x . Получим уравнение 10 tg2x+6tgx−4=0. Введя подстановку tgx=y, получим 10 y2+6y−4=0 , откуда y1= −1, y2= 2 5 . Решая уравнения tgx=−1и tgx= 2 5 , получим x=−π 4 +πn,n∈Z;x=arctg2 5+πn,n∈Z. 5+πn,n∈Z. 4 +πn,n∈Z;x=arctg2 Ответ: x=−π Пример 2. Решить уравнение sin4x+sin3xcosx+sin2xcos2x+sinxcos3x+cos4x=1 Решение. Исходя из основного тригонометрического тождества (§2 формула (1)), можно единицу расписать как ( sin2x+cos2x )2 и Имеем: раскрыть скобки. x+sin3xcosx+sin2xcos2x+sinxcos3x+cos4x=sin4x+2sin2xcos2x+¿cos4x. sin4¿ Пр иведя подобные слагаемые, получим выражение xcosx−¿sin2xcos2x+sin xcos3x=0 sin3¿ . Выносим общий множитель sinxcosx за скобки. Итак, sinxcosx(sin2x−sinxcosx+cos2x)=0 . Последнее уравнение есть уравнений sinx=0,cosx=0,sin2x−sinxcosx+cos2x=0. совокупность Первые два уравнения трёх имеют решения x= πk, k ∈ Z; x= π 2 +πk,k∈Z соответственно. Третье уравнение является однородным второй степени и сводится к уравнению tg2x−tgx+1=0, не имеет действительных корней, ибо дискриминант отрицательный. Объединив два найденных решения, будем иметь x= π 2 n,n∈Z. Ответ:x= π 2 n,n∈Z. Пример 3. Решить уравнение x+√3sinxcosx+¿6cos2x=5 5sin2¿ 5∙1=5∙(¿¿2x+cos2x) sin ¿ , приведём подобные. Решение. Распишем x+¿cos2x=0. √3sinxcos¿ (*) Решать это однородное уравнение второй степени делением на cos2x нельзя, так как те значения x, при которых cos2x=0 , удовлетворяют уравнению (*), а поэтому деление на cos2x приведёт к потере корней. Для решения уравнения (*) нужно разложить левую часть на множители: cosx(√3sinx+cosx)=0 . Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений: cosx=0,√3sinx+cosx=0. Первое уравнение даёт решение x=π будем иметь 2 +πk,k∈Z. Разделив второе уравнение на cosx , tgx= −√3 3 , откуда x=−π 6 +πn,n∈Z. 6 +πn,n∈Z. 2 +πk,k∈Z,x=−π Ответ: x=π Есть тригонометрические уравнения, которые однородными не являются, но легко сводятся к ним путём использования основного тригонометрического тождества sin2x+cos2x=1. Пример 4. Решить уравнение 2sin2x+6=13sin2x Решение. Приведём данное тригонометрическое уравнение к однородным для этого запишем 6= 6∙1=6∙( sin2x+cos2x ) и подставим в уравнение, предварительно разложив sin2x по формуле синуса двойного аргумента (§2 формула (8)). 2sin2x+6(sin2x+cos2x)=13∙2sinxcosx , нужно привести Имеем, подобные слагаемые и заметить, что получено однородное уравнение второй степени: 4 sin2x−13sinxcosx+3cos2x=0 . Разделив обе части уравнения на cos2x (убедившись, что те значения x, при которых cos2x=0,неявляются решением исходного уравнения) получим 4tg2x−13tgx+3=0 . Решая это квадратное уравнение относительно tgx (§3), получим два простейших уравнения tgx=1 4 , tgx=3 , откуда x=arctg1 4+πn,n∈Z;x=arctg3+πn,n∈Z. Ответ: x=arctg1 4+πn,n∈Z;x=arctg3+πn,n∈Z. 2.5 Решение уравнений преобразованием суммы тригонометрических функций в произведение и произведения тригонометрических функций в сумму При решении ряда уравнений применяются формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и произведения тригонометрических функций в сумму (гл. 1, §2, формулы: (15)- (19) и (20)- (22)). Сначала рассмотрим несколько несложных примеров, иллюстрирующих наиболее распространённые схемы решений. Пример 1. Решить уравнение cos3x+sin 5x=0 Решение. Используя формулу приведения sinα=cos(π формулу суммы косинусов (гл. 1, §2 формула преобразуем данное уравнение к виду: 2−α) и (17) ), cos3x+cos(π 2−5x)=0,cos(π 4−x)cos(4x−π 4 )=0,откуда x=3π 4 +πn,x=3π 16 +πn 4 ,n∈Z. Пример 2. Решить уравнение sin(x−π 6 )−sin(x+2π 3 )=cos(x+π 4) Решение. Воспользовавшись формулой разности синусов (гл. 1, §2 формула (16) ), исходное уравнение преобразуем к виду 2cos(x+π 4)sin(−5π 6 )=cos(x+π 4 ), x=π 4+πn,n∈Z. Ответ: x=π 4+πn,n∈Z. Пример 3. Решить уравнение cos2(π 8−x)−cos2(π 8 +x)=1 2 Решение. ( π 8−x ¿ ¿ cos¿ )( cos(π 8−x)+cos(π 8 +x) )= cos(x+π 4 )=0 , откуда 1 2 , воспользовавшись формулами разности и суммы косинусов (гл. будем иметь 1, §2 формула (17,18)), 8−x+π π 2 8 +x sin −4sin 8−x−π π 2 8−x ×cos 8−x+π π 2 8 +x cos 8−x−π π 2 8−x =1 2 , 2 sin π 8 sinx(2cos π 8 cosx)= 1 2 , 2 sin π 8 cosπ 8 (2sinxcosx)= 1 2 , далее применяя формулу синуса двойного аргумента (гл. 1, §2 формула (8)), получим sinπ 4 2 , преобразуем это уравнение к sin 2x=1 простейшему относительно синуса. sin2x= 1 √2 , x=(−1)nπ 8 +π 2 n,n∈Z. Ответ: x=(−1)nπ 8 +π 2 n,n∈Z. Пример 4. Решить уравнение sin(πcosx)=cos(πsinx) Решение. Для того чтоб применить одну из формул преобразования суммы или разности тригонометрических выражений в произведение, воспользуемся формулами приведения (гл. 1, §2 формулы приведения). Уравнение примет вид: sin(πcosx)−sin(π формулу разность синусов (гл. 1, §2 формула (16) ), получим: 2−πsinx)=0, используя 2 +πsinx 2 2 sin(πcosx−π sin(πcosx−π 2 +πsinx 2 2−πsinx 2 )=0, )cos(πcosx+π )=0или cos(πcosx+π 2 −πsinx 2 )=0 ; πcosx−π 2 +πsinx=2πk,k∈Zили πcosx+π 2−πsinx=π+2πn,n∈Z; cosx+sinx= 4k+1 2 ,k∈Z (*) или cosx−sinx=4n+1 2 ,n∈Z. (**) Рассмотрим уравнение (*). Так как −√2≤sinx+cosx≤√2 , то из всех k∈Z, следует взять лишь k=0. Тогда имеем , применяя формулы приведения, для замены sinx+cosx= 1 2 sinx на cos(π 2−x) и далее преобразуя сумму косинусов в произведение(гл. 1, §2 формула (17)), получим: cos(x−π 4 )= 1 2√2 , а это уже простейшее тригонометрическое уравнение и x=2πm±arccos 1 2√2 +π 4 ,m∈Z. Рассмотрим уравнение (**). Рассуждая аналогично первому случаю, подходит значение n=0. Поэтому cos(x+π 4 )= 1 2√2 , x=2πl±arccos 1 2√2 −π 4 ,l∈Z. Ответ: 2πm±arccos 1 2√2 ±π 4 ,m∈Z. Другая схема состоит из двух этапов. На первом этапе произведения тригонометрических функций преобразуются в сумму (гл. 1, §2 формула (20,21,22)). На втором, наоборот, суммы преобразуются в произведения (гл. 1, §2 формула (15,16,17,18,19))[10]. Пример 5. Решить уравнение cos3x+sinxsin 2x=0 Решение. Применяя формулу (22) (гл. 1, §2 ), получим cos3x+ 1 2 cosx−1 2 cos3x=0, 1 2 cos3x+1 2 cosx=0, сумму косинусов преобразуем в произведение cos2xcosx=0 , cos2x=0илиcosx=0 , x=π 4+π 2 k,k∈Zилиx=π 2 +πn,n∈Z. Ответ: x=π 4+π 2 k,k∈Z; x=π 2 +πn,n∈Z. Пример 6. Найти решения уравнения cos3xcos6x=cos4xcos 7x Решение. Преобразуем обе части уравнения по формуле (21) x cos13x+cos¿, 2 (cos9x+cosx)=1 1 2 ¿ далее по формуле (18) разность косинусов преобразуем в произведение и рассматриваем два простейших уравнения. cos9x−cos13x=0,2sin11xsin2x=0. 1) sin2x=0,x=π 2 k; 2) sin11x=0,x= π 11 k. Ответ: x=π 2 k; π 11 k. Пример 7. Решить уравнение tgx+tg2x−tg3x=0 Решение. Имеем: ( sinx cosx− sin3x cos3x)+ sin 2x cos2x=sin xcos3x−cosxsin3x cosxcosx + sin2x cos 2x= −sin 2x cosxcos3x+ sin2x cos2x=sin 2x(cosxcos3x−cos2x) Итак, исходное уравнение приняло вид −sinxsin 2xsin 3x . cosxcos2xcos3x Это уравнение равносильно совокупности трёх систем: { cosxcos2xcos 3x≠0 { cosxcos2xcos 3x≠0 или или sin2x=0, sinx=0, { cosxcos2xcos 3x≠0; sin 3x=0, x=πn,n∈Z, { cosxcos2xcos 3x≠0 или { x=π 2 m,m∈Z, cosxcos2xcos 3x≠0 или { x=π 3 k,k∈Z, cosxcos2xcos3x≠0. Множества x=πn,n∈Z, x=π 3 k,m=2p,p∈Zвходятвмножествоx=π 3 k,приk=3nиk=3p.Приm=2p+1корниx=π обращают в ноль знаменатель, то есть являются посторонними. Ответ: x=π 3 k,k∈Z. 2.6 Решение тригонометрических уравнений с помощью введения вспомогательного аргумента Рассмотрим уравнение вида asinx+bcosx=c Разделив левую и правую часть исходного уравнения на √a2+b2,будемиметь √a2+b2 sinx+ b √a2+b2 cosx= c √a2+b2. a Так как ( a √a2+b2)2 √a2+b2)2 +( b =¿ 1, то существует угол φ такой, что , √a2+b2 cosφ= a φ=¿ b √a2+b2 , sin ¿ при этом φ=arccos a исходное Тогда √a2+b2 или φ=arcsin b √a2+b2 уравнение . примет вид sinxcosφ+cosxsinφ= c √a2+b2 , sin(x+φ)= с √a2+b2. Решением последнего уравнения будет x+φ=(−1)karcsin c √a2+b2 +πk,k∈Z; x=−arccos c √a2+b2 k +(−1) arcsin c √a2+b2 +πk,k∈Z. Условие. Уравнение sin(x+φ)= с √a2+b2 (и равносильное ему уравнение x=с asinx+bcos ¿ ¿ имеет корни тогда и только тогда, когда | с √a2+b2| ≤ 1, т.е. c2≤a2+b2. Если же это условие не выполняется, т.е. c2>a2+b2 , то уравнение корней не имеет. Пример 1. Решить уравнение 4sinx+3cosx=5 Решение. Разделив обе части уравнения на √42+32=5, получим равносильное уравнение 4 5 Пусть φ− такой угол, что cosφ= 4 5 . Так как ,sinφ= 3 5 sinx+3 5 cosx=1. sinφ>0,cosφ>0, то в качестве φ можно взять угол φ ¿arcsin 3 5 илиφ=arccos 4 5 . Получаем уравнение sin(x+φ)=1, откуда x=−arcsin 3 5 +π 2 +2πn,n∈Z. Пример 2. Решить уравнение sinx+cosx=3 2 Решение. Это уравнение в котором a=b=1, c= 3 2 . Так как ,тоc2>a2+b2ипоэтому уравнение корней не имеет a2+b2=2,c2=9 4 (см. условие в начале параграфа). Пример 3. Решить уравнение 8sin 3x−3cos3x=4 Решение. Разделим обе части заданного уравнения на число √82+(−3)2=√73. Получим уравнение 8 √73 cos 3x= 4 √73 sin3x− 3 √73 . Заметим ещё раз, что мы осуществили деление на √73 для того, чтобы получить равенство ( 8 √73)2 +( −3 √73)2 =1. Тогда если , α=¿ 3 √73 sin ¿ откуда α=arcsin 3 √73 (нам потребуется конкретное значение α, поэтому незачем брать бесконечную серию), то по основному тригонометрическому тождеству cosα= 8 √73 Итак, имеем sin3xcosα−cos3xsinα= 4 √73 , . (3x−α)=¿ 4 √73(заметим,что0< 4 √73 <1), sin¿ 3x−α=(−1)narcsin 4 √73 +πn,n∈Z, x=1 3 (−1) n arcsin 4 √73 + 1 3 arcsin 3 √73 +πn 3 ,n∈Z, Ответ: x=1 3 (−1) n arcsin 4 √73 + 1 3 arcsin 3 √73 +πn 3 ,n∈Z. Пример 4. Решить уравнение √3sin 3x−cos3x=1 Решение. Разделив обе части уравнения на 2, √a2+b2=√(√3)2+(−1)2=2 , получим √3 2 sin 3x−1 2 cos3x=1 2 . В качестве угла φ можно взять, например, φ ¿−π 6 . Будем иметь cos(−π 6 )sin3x−sin(−π 6 )cos3x= 1 , 2 2 . 6)=1 sin(3x−π Последнее уравнение имеет решение 3x−π x= π 6 =(−1)nπ 18 +(−1)n π Ответ: x= π 6 +πn,n∈Z, 18 +π 3 18 +(−1)n π n,n∈Z. 18 +π 3 n,n∈Z. 2.7 Решение тригонометрических уравнений с применением формул понижения степени Решение ряда тригонометрических уравнений предполагает использование следующих формул: (13) cos2x = 1 2 ( 2x 1+cos¿ ¿ 1 2 ( 2x 1−cos ¿ ¿ (14) sin2x = Пример 1. Решить уравнение sin2(x+π Решение. Используя формулу (13), получим 1−cos2(x+π 3) =√3 2 , 2 3)=√3 2 3)=1−√3. cos2(x+π Так как |1−√3|<1, то отсюда следует, что 1−√¿ 3 ¿ 2x+2π 3 =±arccos⁡¿ 3 1−√¿ ¿ arccos⁡¿ x=±1 2 Ответ: 3 1−√¿ ¿ arccos⁡¿ x=±1 2 Пример 2. Решить уравнение sin2x+sin22x=sin23x Решение. Попытаемся здесь использовать формулу (14), хотя на первый взгляд кажется, что эта формула малоэффективна. cos2x+cos4x=1+cos6x. После преобразований получим Преобразуя, далее, правую часть последнего уравнения по формуле (13), а левую по формуле суммы косинусов, получаем cosx−cos¿=0 3x ¿ 3x¿ cos ¿ или cos3x∙sinx∙sin2x=0. (*) Остаётся решить элементарные тригонометрические уравнения (глава 2, §1). 6 +lπ Ответ: x=kπ 2 Замечание. К этому же ответу можно прийти и другим путём. Если исходное виде 3 , где l , k ϵZ. уравнение записать ;x=π в sin22x=(sin 3x−sinx)×(sin 3x+sinx) , используя формулу разности квадратов двух выражений. А дальше преобразовать в произведения выражения, стоящие в скобках, и снова получим уравнение (*). Пример 3. Решить уравнение cos 4 3 Решение. cos 4 3 2+2sin2 5 6 x+2sin2 5 6 x=cos2 3 2 x=cos2 3 2 x−sin2 3 2 x+sin2 3 x , Преобразуем выражение, используя формулу понижения степени для синуса и формулу двойного аргумента (9)cos2x=cos2x−sin2x,получим cos 4 3 cos 4 3 3 x+(1−cos 5 x+1−cos 5 3 x)=cos3x, x=cos2∙3x , 2 cos 4 3 x+1−cos 5 3 x=1−2sin2 3x , 2 cos 4 3 x−cos 5 3 x=2sin2 3x , 2 2sin 3 2 xsin 1 6 x=2sin2 3x , 2 1 6 x−¿sin 3 2 x sin ¿ ¿ sin 3 2 x¿ 2sin 3 2 xcos 5 6 xsin 2 3 x=0. Решаем три простейших тригонометрических уравнения: sin 3 2 x=0 или sin 2 3 x=0, x=0 или cos 5 6 5 (2n+1),n∈Zилиx= 3 2 πn,n∈Zилиx=3π x=2 3 πn,n∈Z. πn,n∈Z; Ответ: x=2 3 x=3π 5 (2n+1),n∈Z; x= 3 2 πn,n∈Z. 2.8 Решение тригонометрических уравнений методом универсальнойподстановки R(sinx,cosx)=0 с помощью Рациональное уравнение tgx=t приводится к тригонометрической подстановки рациональному уравнению R1(t)=0 относительно новой неизвестной t. В этом случае используются следующие формулы: 1∗¿ 2tgx 2 ¿ 1+tg2 x 2 sinx= x=¿ 2∗¿ 1−tg2 x 2 ¿ 1+tg2x 2 cos ¿ x= x= 3∗¿ 2tgx 2 ¿ 1−tg2 x 2 tg¿ 4∗¿ 1−tg2 x 2 ¿ 2tgx 2 ctg¿ Заметим, что использование формул 1∗¿ ¿ 4∗¿ ¿ может приводить к сужению области определения уравнения, поскольку tgx определён при x = π+2 πk,k∈Z, поэтому в таких случаях нужно проверять, 2 не являются ли углы уравнения. x = π+2 πk,k∈Z корнями исходного Пример 1. Решить уравнение x+¿tgx cos¿ 2 =1 Решение. Произведём подстановку tgx 2=t. Применив формулу 2∗¿ ¿ , получим 1−t2 1+t2 +t=1. Это уравнение равносильно уравнению t3−2t2+t=0, откуда 2=0иtgx t1=0,t2=t3=1 . Имеем два уравнения tgx 2=1. Первое уравнение имеет корни x= 2πn,n∈Z. Второе уравнение имеет корни x= π 2 +2πn,n∈Z. Заметим, что значения x=(2 π+1¿n,n∈Z не являются корнями исходного уравнения. Ответ: x = π 2 +2πn,n∈Z; x = 2πn,n∈Z. Пример 2. Решить уравнение √3sin 3x−cos3x=1 Решение. С помощью универсальной подстановки tg3x получим уравнение, рациональное относительно t: 2 √3t−1+t2=1+t2 , 2 = 1 откуда tg3x √3 . 2 =t Последнее уравнение имеет решения x= 2 3 ∈Z. Проверим теперь, не являются ли значения πn+π 9 =π 9 (6n+1), n x= π 3 (2n+1),n∈Z корнями исходного уравнения (при этих значениях теряет смысл функция tg3x 2 =t¿. Подставив x= π 3 (2n+1),n∈Z в исходное уравнение, получим √3sin (2n+1)π−cos (2n+1)π=1, √3∙0−(−1)=1,1=1. Следовательно, значения x= π 3 (2n+1),n∈Z являются корнями заданного уравнения. Ответ: x=π 9 (6n+1), n ∈Z; x = π 3 (2n+1),n∈Z. ЗАКЛЮЧЕНИЕ а В данной работе были рассмотрены: общие вопросы изучения тригонометрических функций в школьном курсе, формирование понятия тригонометрических уравнений; охарактеризованы основные формулы тригонометрии, дано понятие решения тригонометрических уравнений. Приведены основные виды тригонометрических уравнений и способы их решения, элементарных тригонометрических уравнений, решение тригонометрических уравнений путём преобразований, сводящихся к алгебраическим; решение однородных тригонометрических уравнений, решение тригонометрических уравнений с помощью введения вспомогательного аргумента, решение тригонометрических уравнений с применением формул понижения степени и методом универсальной подстановки. Материал простейших систематизирован решение от именно: тригонометрических уравнений, которые подробно рассмотрены, к наиболее сложным уравнениям, в которых используются комбинированные способы решения. Описан процесс акцентировано внимание на преобразованиях. Продемонстрирован творческий подход к решению тригонометрических уравнений школьного курса, как базового уровня, так и профильного. решения, СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 1. Адрова И. А. , Ромашко И. В. Модульный урок в Х классе по теме «Решение тригонометрических уравнений»// математика в школе.2011. №4. С.28-32. 2. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 11 кл. общеобразоват. учреждений / С. М. Никольский, М. П. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин. – 3-е изд. – М.: Просвещение, 2004. 448 с.