Методическая разработка "Система тренажеров"

Министерство образования и науки Челябинской области Государственное бюджетное профессиональное                               образовательное учреждение   «Южно­Уральский многопрофильный колледж» Методическая разработка   Система тренажеров г. Челябинск, 2018 ОДОБРЕНО                                                                          Цикловой методической  комиссией                                               ЕН  дисциплин (ЮК).                                                                                            Протокол №  8                                                               « 23 »  мая  2018 г. Председатель ЦМК ____________ О.Н.Суханова Составитель: М.А. Вуйлова, методист, преподаватель математических  дисциплин высшей категории СОДЕРЖАНИЕ Пояснительная записка…………………………………………………...4 Рациональные неравенства…………………………………………….…5 Область определения функции………………....…...……………………8 Показательные уравнения и неравенства………………..……………....10 Логарифмы…………….……………………………………………….….15 Ответы к тренажерам……………………………………………………..16 Список использованной литературы…….................................................19 Пояснительная записка Система   тренажеров   разработана   для   самостоятельного   решения   дома. Обучающиеся   имеют   возможность   на   консультативных   часах   задать   вопросы, обсудить методы решения. В каждом блоке есть задания разной сложности, но не существует задач, не обсужденных в классе. Первый  блок «Рациональные  неравенства» направлен  на отработку метода интервалов, который используется на протяжении всего курса алгебры. Второй блок «Область определения функции» пригодится как, для решения иррациональных уравнений и неравенств, так и для построения графиков функций, решения логарифмических уравнений и неравенств и т. д. Следующий тренажер «Показательные уравнения и неравенства» состоит из двух   блоков.   Первый   включает   в   себя   основные   типы   уравнений   и   неравенств, решаемых   простейшими  способами.  Второй   ­­  сложнее,   он  содержит  в   себе  как нетрадиционные способы решения, так и комбинированные задачи. Следующий блок «Логарифмы». Первая часть ­ найти область определения логарифмической   функции   ­   выделена   отдельно   для   того,   чтобы   при   решении уравнений   и   неравенств   учащиеся   без   труда   находили   их   область   определения. Вторая часть это решение уравнений с использованием различных методов. Третья ­ логарифмические неравенства.                        Все задания даются на достаточно длительное время, в зависимости от загруженности обучающихся, это может быть неделя или несколько дней. После каждой   проверки   обучающиеся   делают   работу   над   ошибками,   защищают   свои работы в индивидуальном порядке. Ни одно задание не остается непонятым. Так как   задание   дается   после   того,   как   тема   пройдена,   то   обучающиеся   имеют возможность повторения ранее изученного материала. 0  0   х  16 2 х х 2 2  2 2 2 х 2 х х 3 2 х 1  6  х х 2   х 0   3 2   61 х    2 х 3 х   2 3 х   х 8 2  2 х х  х х 1   4 4 х   3 5 х  2 х  х 3 2 2   3  3 1 2 0 х х       1 1 х 3  2 7  х 2 4 1 2 3 х х х 7  2  х  2 х х х 5 х     2  2 2 10 2 х 2 х  75 х  1 х  х 1   1 х  4 х 4 х  х 6 х  2 х  2 2 2  х 1  х  4  15 4 0  0  0 2 х 6  х  5 2 х  3 1 5    х х Тренажер. Решить неравенства. ТРЕНАЖЕР.  1 х 2 х    3 х  3 2  30   896   2 х 60 х 2 х х х х х х х х х х х х х х х   х х х 2  4 2 х 2 х 2 х  3 2 х х  1 2 х  5 х 3 3 1 3  16 2 х  х х х 3 7 2 1    365 3 х    1 х  8 3 2   5,37 2,0 55    37 х 1 1 х 4  1   6 5,0 2 4 5 10 16 2     2   34 72 х х      3 5 2 01,0 10     2 2     38 3 0 х 8 х 15 6 3    15 12 12 6 2 42 х  0    5 1 5 2 2 2  2 1 х    3 53 5 52   7 х х 3      2 50 16 2 896   2 3 х 3 х    3 2 1 х 57 5 34 5   3 7 4 х х    4 4 0 7 78 7   2 х х 2  х 92 43 65 5  2    812 163 1 х   3 1  2 2 х х 5 4    2 1 х 5 х х 5 х   9 27   2 12 18 2 х х      1 90 3 9    2 7 х 8 х х 2 х   3 4    2     5 5 2 х х 7 9     2 4 3 х 2 х х 4     81 2 16        3   3 х х 7 16 3     27           2 3 х х 8 х х 2 4 х х   2 3 2 3   2 7 10 х х х            8 3 3       2 2 4 х 8 6 х х  01,0 201,0 5  3 х 8          1 х х 2 32 95 2 4   3 х 2 х 0 28  2    2 х х х 1 3 3 3 1 1   1     1 1 х 10 10   х х 1 3   х х 2 2 17  2 2    1 25 2 2   х 5 х 1      2 1 х 4 4 3 3   2 1 1 2 х х     2 2 х х 4 51 2  3 х   2 2 1 1 х х     2 х х 1 х 2 2 2 2  1 х   16   25     х    8  0  4 5 5 6 99        3 3 3 3 х х  2 х 3 3 х х х х х х х х х 2 125,0  4 2 х  3  х     2 8     0 4   0 8  0  10 81 2 (показательные уравнения). Тренажер 2. Решить уравнения и неравенства. 2 х  х 2 х  5 х  7  0 х х  1 2 2  х 2 7 5  78  х 1 3 2 3 2 6 5   12  2 3 х х х х х   49  х 2 6  х 5 7  2 2  х  3  23   х 6 1 9  2  х 1 6 7 2 х х  87  1  х 3  1  1 270  1 20  х 4 1 27  12  х 1 2 х х   2   2 535 1 х 2 х х 2   4 9 2 4 3  45 0  1 36 3    х 1    3 2 8 0 х х  0  2  35 х  1  2192 3 81  х 1  х 2 2  7 х 0 2 26 х 2  х х х х  2    318 х 4 3 2 1   х 2 х 5  24  25 6  х 8  3  х  3 х  х 1 4 4  2  1 2,05  х 2 6  105  х 18 2 х х 5 4      1 2  х  27 х х 64  х х х 2 2 7 х  5  3 х  0 х  2  5 х  5  1  5    1 1  2 2     1   5    х 2 1 х х   х    1 5 х  1     74 7   3  х 3 2 06 20   2 1 х х  2 х  1 х           3 3 4 2   26  34  3 х  1 Тренажер. Найдите область определения функции. 1  x 2  4 53  x  1  x x 2 x 2 y  x  y y y y y y  x 1   x 4   x 2  x 4   x 3 5 x xx  x  x  2 2 2 2   2 6 15  x 1  x  x 20 2 x 48  3     3 2 1 4  x x x 2 y  y  x y  24 y  y  2 x  x  y  y  2  y   2 x x  x 2 x x 2 y  5 2 x    x 2  x 51  7 x  x  2   x 3  2  3 x   x 7   x 2 6 x x   1 2 x 10  6 12 3  1 Тренажер. Найдите область определения функции. y  log y  log 3 2 y y y    5 log log 5 log log 3 3 x 2 2 )  16( x  2 9 x  x 2   (( x )(1 x  lg( x ( )1 x  2 ( x )9  x ( )2  2 2 3 x x 2 ))  x ) x  )1 y  lg y  log 3  5 x  10 x 24 2 x  y  log  1 x 6(  2 x ) 3 2 lg x 2 5 16  x  3( 1( ( x log 2 x lg( x  10 x  )1 x  2 x   4  x  5 lg lg log log 12  1ln(  1lg( ( 2  7        2 x  )3 y y y y y y y  24 )5 6 ))3  x  x ) ))6 y y y y y y y y y y y y y ( x 2(  (   x )3 ) x ) 2  9( x ( )4 x  2 x  2 ) x 5  )6    log log log 5 2 1 2 lg( x log log 3 1 2     log 5 5(  log 1 5 3 2 6   x x  x 2 2 x 8  3 x  2 4 x x  2 3 x  2 lg( x y  log y  log 7  lg x  )1  log   log log  log 3  ( x 5 ))5 2,1 3 ( x  x )  4   log ( x )1   (( x )(1 x  x 1  x 3  ( x )1 2 5 5 3 2 y  log Тренажер 1.    x Решить логарифмическое уравнение.   lg 4  log  1 2  3 2  2lg   1   2 1 x 2  9  7 2 1 x x   2 75  1   x lg  x log 9 2   2lg 4lg   lg1 x x 01,0  lg 7  x 4 3 x log log 3 log2  log 3  lg2 log log log 3 4 2 log log 2 2 3 3 3  1 lg x  10 log log log log 8 2  3 log 3 x 2  log x 2  )1 x lg(   )4 x 3( 2  log x   )1 x  x  x  x 1  log x  log33 x log2 2 a lg log 5( 4  x 2 3 log 13(  2 log log2 log 2 x  2 x ( 2  2  12 3   0 9 x  2 5 2 x )  5,0  x ) log3 125,0 5,0 3 x 1 2  4 log 2 2( x  )5  log ( x  )20  2 1 2lg lg 7  x 4 2 x log log log 3 2lg( 2(  x 1 3( x x lg  1  3( x )5 x ) )8  10  x log 2  log  2 x x  3 x  2 3 )4 lg x x 2( 1( x 2   )2 x ) x x 5lg 3 lg3 x  x 56lg( x   3 100  x 25 20 ) 10  lg 25  x Тренажер. Решите логарифмическое неравенство. )1  log 5,0 3(  x )  log 3/1 8(  x )  2)43  x )2  )5 lg( x  log 7 )2 2  x log  2 2 lg2  2 x 2( x   1(2 0  64,0  log log 2 x ) 2( x  1  )2 2 1 2 log 5,0 log 3/1 x 3( x x 2 lg( log lg( log 5 x 7 (  x 2  x 2 )1  4 3     x x 2   log log lg 2 1 2 x log 2  lg lg3 x  11   0)2 x lg( x 2( 7  21 x 1  x x  3 lg 2 x   0  1 lg x 1 4 8 1 1 3 x  )1 1 12 2 lg 8,0 log log log log 2 3 2 x  x  2 3 (    1 5    log 1 2 log 2 2 x 2 x 14  1  2  x x x 3 x 2   1 3  1  x 2  x 2 )2 6 x  8 x  0)15   1  1 log2 log log ( 4 x ( 3( 2 2 x 2   2  x   log )8  ( 3  4 0)14 x 12 x  1)5 х 2  1  0  х х  2 2 3 5 4 3 х  х 2 х  3 х   3 4 х  х 3 3 2  3   53 140  х 22 8 0 2  9 х  4  32     1  1  8   5,1 х х  5,2  32  1  9   016 10   х 1 3 0   х х 3 4 2  х х  4 3 3 4   х   1   4   х 4,0  1   3   х 2  х 3   2 2  х 7  2  х 4 х 2 7  х  х 4 2 х х х 2 1  15 6  1  5 х  1 х  2  5 7,3 х 1,5 х 2 2 х 10    1 2    3  2   1,5 1,5   х 1 1 2 1 х  25,4  50 1 х  25 х х   1 3  25,0   х х 3 2  2   1   3    4 3   хх 5,04 х  2 х  х 1  1  3   2 1 х      5 25,0   3  2 4 Решите показательное неравенство Тренажер. Понятие модуля. Геометрический смысл. Линейные уравнения и неравенства. Определение: Модулем числа х (обозначается |x|) называется расстояние от начала  отсчета до точки, изображающей число х. Модуль числа х можно записать формулой  х , х  если х , если х     0  х 0 Теорема. Модуль разности двух чисел равен расстоянию между точками,  изображающими эти числа. Доказательство: Возьмем числа х и х1. Обозначим на числовой оси точки,  изображающие числа х, х1  И х­х1 через М, М1 и М/. При сдвиге вдоль оси х на х1 точка О перейдет в точку М1, а точка М/ ­ в М, т.е. |OM/|=|M1M|. Т.к. по определению модуля |OM/|=|x­x1|, то |x­x1|=| M1M|, ч.т.д. (доказательство не зависит от взаимного расположения точек М и М1). Модуль разности можно «раскрыть» аналитически:  х х 1   х х 1  х 1 х , ,    если если х х   х 1 x 1 Простые уравнения и неравенства с модулем удобно решать, используя его  геометрический смысл. Пример 1. |x|=3. Это соотношение геометрически означает, что расстояние от точки  х до начала координат равно 3, т.е. х=3 или х=­3. Пример 2. |x+5|=2. Рассматривая |x+5| как |x­(­5)|, прочтем исходное соотношение  так: расстояние от точки х до точки –5 равно 2. Откладывая на числовой оси от  точки –5 отрезок длиной 2 ед. (в обе стороны), получим ответ х1=­7, х2=­3. Пример 3. |x|<2. Задачу решения этого неравенства геометрически можно  сформулировать так: найти точки х, расстояния от которых до начала координат  меньше 2. Ответ (­2;2). Следующие примеры полезно решить именно этим способом. |x­1|=2 |x+3|=1 |x|>1 |x­1|<5 |2x+1|=4 |3x­2|=6 |5x+2|=­2 ||x|­1|=2 ||x|+4|=1 ||x­1|­1|=2 |x+2|>2 |x+5|<1 |2­x|>3 |x+3|<1 |2x­3|<5 |1+2x|>1 Тренажер. Уравнения, содержащие два и более модулей. Подобные уравнения удобно решать, используя метод интервалов. Пример. |x+1|+|x+2|=1 X+1 X+2  Рассмотрим крайне левый промежуток: ­х­1­х­2=1 ­2х=4 х=­2 Рассмотрим отрезок от –2 до –1 ­х­1+х+2=1 1=1 истинное равенство, т.е. отрезок и есть решение. Рассмотрим правый промежуток: Х+1+х+2=1 2х=­2 х=­1 Ответ. [­2,­1] |x|+|x­3|=5 |x+3|­|x­2|=5 |x+1|=|x­5| |x­2|­3|3­x|+x=0 |x|+|3x+2|+|2x­1|=5 |x2­9|+|x­3|=6 |x2­4x+3|+|x2­5x+6|=1 ||x+1|­|x­3||=|x| |4­x|+|2x­2|=5­2x |x­1|+|x­5|=3 |x­5|­|x­1|=2 |x­1|=2|x­4| |x|+|x­2|+2|x­5|=6 |x­1|+|x­2|=|x­3|+4 |x2­5x+4|+|x2­5x+6|=2 x|x|+2|x­2|=3 ||x+2|­|x­6||=|x| |x+3|­|5­2x|=2­3x Тренажер. Решить неравенство.  3   5 1 1 x 1 3    1 х 3  5 х  2 x 1  2 3 x   2 x 3 x   x 5 x 3   2 x x   4 1 1  |2 2| 2 x x  2 9 2 x 3| x 3 x x |1  2  x 2 2 x  1 x x 5 x  4 1 18 2 x  25 x  32 24  x  x 2 x 4 x 2 2 x x 7 2 x 4    x x 4 1     8  3 12 39 x   x 2  2 x  4 x  x x  6 2  3 x  5 x  x  x   3 6 12    2 2 2 Ответы к тренажерам Показательные  уравнения и  неравенства Решений нет Область определения  функции 0; 0,5 2; 3 1 0,25 9 0 0 1 1; 2 9 ­1; 1 1; 3 ­ 2 0 0 2 1; 3; 4; 5 Тренажер №1. Неравенства. Показательные уравнения. ­2; 18 1; 5 0; 1 3; 9 2 1 ­ 1 0; 0,25 0; 1 0; 0,5 2 1,5625 2 ­ 1 0 0 0 ­0,5 4; 4­ ­1; 2 Решений нет 1 0,4 Область определения  логарифмической  функции Логарифмическо е уравнение Логарифмические  неравенства Показательное  неравенство ) х х 5; 95 1; 2 2; 4 0,1; 100 0,0001; 10 16 ;  2 ; 3 ­6+ 2; 8 4 0,00001; 10 0; 3 2­ (1;3) (0;+ (2;3) ( ;(4;+ (1;2) (3;+ (­ (­ (0;4) (­ (­ (­ (1;3) (0;+ (­ (­5;3);(4; + (­ (­3;­ (­2;­1,375); (­1;+ (0;2);(4;6) (­ 2 4 0,1; 10 Уравнения, сод.  два и более  модулей ­1;4 2 2,2; 7 ­1; 0,8 ­3;2;  2; 2,2 2 3; 7 Решить неравенство с  модулем. (­ (­ (­5;3+ (­ (­ (­ (­4;2);(3+ (­ Понятие модуля.  Линейные ур­я и нер­ва. ­1;3 ­4;­2 ­2,5;1,5 ­2;4 (­ (­4;6) (­ (­6;­4) (­ (­4;­2) (­1;4) (­ (­6;6) (4;6);(6;8) (­2;­1,5) (­2;3); ­1­ Список использованной литературы В.К. Егерев, В.В. Зайцев и др.; под редакцией М.И. Сканави «Сборник задач по  математике для поступающих в вузы», изд. «Высшая школа», 1998г. В. М. Говоров «Сборник конкурсных задач по математике», изд. «Наука», 1983г.