Система тренажеров разработана для самостоятельного решения дома. Обучающиеся имеют возможность на консультативных часах задать вопросы, обсудить методы решения. В каждом блоке есть задания разной сложности, но не существует задач, не обсужденных в классе.
Первый блок «Рациональные неравенства» направлен на отработку метода интервалов, который используется на протяжении всего курса алгебры.
Второй блок «Область определения функции» пригодится как, для решения иррациональных уравнений и неравенств, так и для построения графиков функций, решения логарифмических уравнений и неравенств и т. д.
Следующий тренажер «Показательные уравнения и неравенства» состоит из двух блоков. Первый включает в себя основные типы уравнений и неравенств, решаемых простейшими способами. Второй -- сложнее, он содержит в себе как нетрадиционные способы решения, так и комбинированные задачи.
Следующий блок «Логарифмы». Первая часть - найти область определения логарифмической функции - выделена отдельно для того, чтобы при решении уравнений и неравенств учащиеся без труда находили их область определения. Вторая часть это решение уравнений с использованием различных методов. Третья - логарифмические неравенства.
Все задания даются на достаточно длительное время, в зависимости от загруженности обучающихся, это может быть неделя или несколько дней. После каждой проверки обучающиеся делают работу над ошибками, защищают свои работы в индивидуальном порядке. Ни одно задание не остается непонятым. Так как задание дается после того, как тема пройдена, то обучающиеся имеют возможность повторения ранее изученного материала
Министерство образования и науки Челябинской области
Государственное бюджетное профессиональное
образовательное учреждение
«ЮжноУральский многопрофильный колледж»
Методическая разработка
Система тренажеровг. Челябинск, 2018
ОДОБРЕНО
Цикловой методической комиссией
ЕН дисциплин (ЮК).
Протокол № 8
« 23 » мая 2018 г.
Председатель ЦМК
____________ О.Н.Суханова
Составитель: М.А. Вуйлова, методист, преподаватель математических
дисциплин высшей категорииСОДЕРЖАНИЕ
Пояснительная записка…………………………………………………...4
Рациональные неравенства…………………………………………….…5
Область определения функции………………....…...……………………8
Показательные уравнения и неравенства………………..……………....10
Логарифмы…………….……………………………………………….….15
Ответы к тренажерам……………………………………………………..16
Список использованной литературы…….................................................19Пояснительная записка
Система тренажеров разработана для самостоятельного решения дома.
Обучающиеся имеют возможность на консультативных часах задать вопросы,
обсудить методы решения. В каждом блоке есть задания разной сложности, но не
существует задач, не обсужденных в классе.
Первый блок «Рациональные неравенства» направлен на отработку метода
интервалов, который используется на протяжении всего курса алгебры.
Второй блок «Область определения функции» пригодится как, для решения
иррациональных уравнений и неравенств, так и для построения графиков функций,
решения логарифмических уравнений и неравенств и т. д.
Следующий тренажер «Показательные уравнения и неравенства» состоит из
двух блоков. Первый включает в себя основные типы уравнений и неравенств,
решаемых простейшими способами. Второй сложнее, он содержит в себе как
нетрадиционные способы решения, так и комбинированные задачи.
Следующий блок «Логарифмы». Первая часть найти область определения
логарифмической функции выделена отдельно для того, чтобы при решении
уравнений и неравенств учащиеся без труда находили их область определения.
Вторая часть это решение уравнений с использованием различных методов. Третья
логарифмические неравенства.
Все задания даются на достаточно длительное время, в зависимости от
загруженности обучающихся, это может быть неделя или несколько дней. После
каждой проверки обучающиеся делают работу над ошибками, защищают свои
работы в индивидуальном порядке. Ни одно задание не остается непонятым. Так
как задание дается после того, как тема пройдена, то обучающиеся имеют
возможность повторения ранее изученного материала.0
0
х
16
2
х
х
2
2
2
2
2
х
2
х
х
3
2
х
1
6
х
х
2
х
0
3
2
61
х
2
х
3
х
2
3
х
х
8
2
2
х
х
х
х
1
4
4
х
3
5
х
2
х
х
3
2
2
3
3
1
2
0
х
х
1
1
х
3
2
7
х
2
4
1
2
3
х
х
х
7
2
х
2
х
х
х
5
х
2
2
2
10
2
х
2
х
75
х
1
х
х
1
1
х
4
х
4
х
х
6
х
2
х
2
2
2
х
1
х
4
15
4
0
0
0
2
х
6
х
5
2
х
3
1
5
х
х
Тренажер.
Решить неравенства.
ТРЕНАЖЕР.
1
х
2
х
3
х
3
2
30
896
2
х
60
х
2
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
2
4
2
х
2
х
2
х
3
2
х
х
1
2
х
5
х
3
3
1
3
16
2
х
х
х
х
3
7
2
1
365
3
х
1
х
8
3
2
5,37
2,0
55
37
х
1
1
х
4
1
6
5,0
2
4
5
10
16
2
2
34
72
х
х
3
5
2
01,0
10
2
2
38
3
0
х
8
х
15
6
3
15
12
12
6
2
42
х
0
5
1
5
2
2
2
2
1
х
3
53
5
52
7
х
х
3
2
50
16
2
896
2
3
х
3
х
3
2
1
х
57
5
34
5
3
7
4
х
х
4
4
0
7
78
7
2
х
х
2
х
92
43
65
5
2
812
163
1
х
3
1
2
2
х
х
5
4
2
1
х
5
х
х
5
х
9
27
2
12
18
2
х
х
1
90
3
9
2
7
х
8
х
х
2
х
3
4
2
5
5
2
х
х
7
9
2
4
3
х
2
х
х
4
81
2
16
3
3
х
х
7
16
3
27
2
3
х
х
8
х
х
2
4
х
х
2
3
2
3
2
7
10
х
х
х
8
3
3
2
2
4
х
8
6
х
х
01,0
201,0
5
3
х
8
1
х
х
2
32
95
2
4
3
х
2
х
0
28
2
2
х
х
х
1
3
3
3
1
1
1
1
1
х
10
10
х
х
1
3
х
х
2
2
17
2
2
1
25
2
2
х
5
х
1
2
1
х
4
4
3
3
2
1
1
2
х
х
2
2
х
х
4
51
2
3
х
2
2
1
1
х
х
2
х
х
1
х
2
2
2
2
1
х
16
25
х
8
0
4
5
5
6
99
3
3
3
3
х
х
2
х
3
3
х
х
х
х
х
х
х
х
х
2
125,0
4
2
х
3
х
2
8
0
4
0
8
0
10
81
2(показательные уравнения).
Тренажер 2.
Решить уравнения и неравенства.
2
х
х
2
х
5
х
7
0
х
х
1
2
2
х
2
7
5
78
х
1
3
2
3
2
6
5
12
2
3
х
х
х
х
х
49
х
2
6
х
5
7
2
2
х
3
23
х
6
1
9
2
х
1
6
7
2
х
х
87
1
х
3
1
1
270
1
20
х
4
1
27
12
х
1
2
х
х
2
2
535
1
х
2
х
х
2
4
9
2
4
3
45
0
1
36
3
х
1
3
2
8
0
х
х
0
2
35
х
1
2192
3
81
х
1
х
2
2
7
х
0
2
26
х
2
х
х
х
х
2
318
х
4
3
2
1
х
2
х
5
24
25
6
х
8
3
х
3
х
х
1
4
4
2
1
2,05
х
2
6
105
х
18
2
х
х
5
4
1
2
х
27
х
х
64
х
х
х
2
2
7
х
5
3
х
0
х
2
5
х
5
1
5
1
1
2
2
1
5
х
2
1
х
х
х
1
5
х
1
74
7
3
х
3
2
06
20
2
1
х
х
2
х
1
х
3
3
4
2
26
34
3
х
1
Тренажер.
Найдите область определения функции.1
x
2
4
53
x
1
x
x
2
x
2
y
x
y
y
y
y
y
y
x
1
x
4
x
2
x
4
x
3
5
x
xx
x
x
2
2
2
2
2
6
15
x
1
x
x
20
2
x
48
3
3
2
1
4
x
x
x
2
y
y
x
y
24
y
y
2
x
x
y
y
2
y
2
x
x
x
2
x
x
2
y
5
2
x
x
2
x
51
7
x
x
2
x
3
2
3
x
x
7
x
2
6
x
x
1
2
x
10
6
12
3
1Тренажер.
Найдите область определения функции.
y
log
y
log
3
2
y
y
y
5
log
log
5
log
log
3
3
x
2
2
)
16(
x
2
9
x
x
2
((
x
)(1
x
lg(
x
(
)1
x
2
(
x
)9
x
(
)2
2
2
3
x
x
2
))
x
)
x
)1
y
lg
y
log
3
5
x
10
x
24
2
x
y
log
1
x
6(
2
x
)
3
2
lg
x
2
5
16
x
3(
1(
(
x
log
2
x
lg(
x
10
x
)1
x
2
x
4
x
5
lg
lg
log
log
12
1ln(
1lg(
(
2
7
2
x
)3
y
y
y
y
y
y
y
24
)5
6
))3
x
x
)
))6
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
(
x
2(
(
x
)3
)
x
)
2
9(
x
(
)4
x
2
x
2
)
x
5
)6
log
log
log
5
2
1
2
lg(
x
log
log
3
1
2
log
5
5(
log
1
5
3
2
6
x
x
x
2
2
x
8
3
x
2
4
x
x
2
3
x
2
lg(
x
y
log
y
log
7
lg
x
)1
log
log
log
log
3
(
x
5
))5
2,1
3
(
x
x
)
4
log
(
x
)1
((
x
)(1
x
x
1
x
3
(
x
)1
2
5
5
3
2
y
logТренажер 1.
x
Решить логарифмическое уравнение.
lg
4
log
1
2
3
2
2lg
1
2
1
x
2
9
7
2
1
x
x
2
75
1
x
lg
x
log
9
2
2lg
4lg
lg1
x
x
01,0
lg
7
x
4
3
x
log
log
3
log2
log
3
lg2
log
log
log
3
4
2
log
log
2
2
3
3
3
1
lg
x
10
log
log
log
log
8
2
3
log
3
x
2
log
x
2
)1
x
lg(
)4
x
3(
2
log
x
)1
x
x
x
x
1
log
x
log33
x
log2
2
a
lg
log
5(
4
x
2
3
log
13(
2
log
log2
log
2
x
2
x
(
2
2
12
3
0
9
x
2
5
2
x
)
5,0
x
)
log3
125,0
5,0
3
x
1
2
4
log
2
2(
x
)5
log
(
x
)20
2
1
2lg
lg
7
x
4
2
x
log
log
log
3
2lg(
2(
x
1
3(
x
x
lg
1
3(
x
)5
x
)
)8
10
x
log
2
log
2
x
x
3
x
2
3
)4
lg
x
x
2(
1(
x
2
)2
x
)
x
x
5lg
3
lg3
x
x
56lg(
x
3
100
x
25
20
)
10
lg
25
xТренажер.
Решите логарифмическое неравенство.
)1
log
5,0
3(
x
)
log
3/1
8(
x
)
2)43
x
)2
)5
lg(
x
log
7
)2
2
x
log
2
2
lg2
2
x
2(
x
1(2
0
64,0
log
log
2
x
)
2(
x
1
)2
2
1
2
log
5,0
log
3/1
x
3(
x
x
2
lg(
log
lg(
log
5
x
7
(
x
2
x
2
)1
4
3
x
x
2
log
log
lg
2
1
2
x
log
2
lg
lg3
x
11
0)2
x
lg(
x
2(
7
21
x
1
x
x
3
lg
2
x
0
1
lg
x
1
4
8
1
1
3
x
)1
1
12
2
lg
8,0
log
log
log
log
2
3
2
x
x
2
3
(
1
5
log
1
2
log
2
2
x
2
x
14
1
2
x
x
x
3
x
2
1
3
1
x
2
x
2
)2
6
x
8
x
0)15
1
1
log2
log
log
(
4
x
(
3(
2
2
x
2
2
x
log
)8
(
3
4
0)14
x
12
x
1)5х
2
1
0
х
х
2
2
3
5
4
3
х
х
2
х
3
х
3
4
х
х
3
3
2
3
53
140
х
22
8
0
2
9
х
4
32
1
1
8
5,1
х
х
5,2
32
1
9
016
10
х
1
3
0
х
х
3
4
2
х
х
4
3
3
4
х
1
4
х
4,0
1
3
х
2
х
3
2
2
х
7
2
х
4
х
2
7
х
х
4
2
х
х
х
2
1
15
6
1
5
х
1
х
2
5
7,3
х
1,5
х
2
2
х
10
1
2
3
2
1,5
1,5
х
1
1
2
1
х
25,4
50
1
х
25
х
х
1
3
25,0
х
х
3
2
2
1
3
4
3
хх
5,04
х
2
х
х
1
1
3
2
1
х
5
25,0
3
2
4Решите показательное неравенствоТренажер. Понятие модуля. Геометрический смысл. Линейные уравнения и
неравенства.
Определение: Модулем числа х (обозначается |x|) называется расстояние от начала
отсчета до точки, изображающей число х.
Модуль числа х можно записать формулой
х
,
х
если
х
,
если
х
0
х
0
Теорема. Модуль разности двух чисел равен расстоянию между точками,
изображающими эти числа.
Доказательство: Возьмем числа х и х1. Обозначим на числовой оси точки,
изображающие числа х, х1
И хх1 через М, М1 и М/. При сдвиге вдоль оси х на х1 точка О перейдет в точку М1, а
точка М/ в М, т.е. |OM/|=|M1M|. Т.к. по определению модуля |OM/|=|xx1|, то |xx1|=|
M1M|, ч.т.д. (доказательство не зависит от взаимного расположения точек М и М1).
Модуль разности можно «раскрыть» аналитически:
х
х
1
х
х
1
х
1
х
,
,
если
если
х
х
х
1
x
1
Простые уравнения и неравенства с модулем удобно решать, используя его
геометрический смысл.
Пример 1. |x|=3. Это соотношение геометрически означает, что расстояние от точки
х до начала координат равно 3, т.е. х=3 или х=3.
Пример 2. |x+5|=2. Рассматривая |x+5| как |x(5)|, прочтем исходное соотношение
так: расстояние от точки х до точки –5 равно 2. Откладывая на числовой оси от
точки –5 отрезок длиной 2 ед. (в обе стороны), получим ответ х1=7, х2=3.
Пример 3. |x|<2. Задачу решения этого неравенства геометрически можно
сформулировать так: найти точки х, расстояния от которых до начала координат
меньше 2. Ответ (2;2).
Следующие примеры полезно решить именно этим способом.
|x1|=2
|x+3|=1
|x|>1
|x1|<5|2x+1|=4
|3x2|=6
|5x+2|=2
||x|1|=2
||x|+4|=1
||x1|1|=2
|x+2|>2
|x+5|<1
|2x|>3
|x+3|<1
|2x3|<5
|1+2x|>1
Тренажер. Уравнения, содержащие два и более модулей.
Подобные уравнения удобно решать, используя метод интервалов.
Пример. |x+1|+|x+2|=1
X+1
X+2
Рассмотрим крайне левый промежуток:
х1х2=1
2х=4
х=2
Рассмотрим отрезок от –2 до –1
х1+х+2=1
1=1 истинное равенство, т.е. отрезок и есть решение.
Рассмотрим правый промежуток:
Х+1+х+2=1
2х=2
х=1
Ответ. [2,1]
|x|+|x3|=5
|x+3||x2|=5
|x+1|=|x5|
|x2|3|3x|+x=0
|x|+|3x+2|+|2x1|=5
|x29|+|x3|=6
|x24x+3|+|x25x+6|=1
||x+1||x3||=|x|
|4x|+|2x2|=52x
|x1|+|x5|=3
|x5||x1|=2
|x1|=2|x4|
|x|+|x2|+2|x5|=6
|x1|+|x2|=|x3|+4
|x25x+4|+|x25x+6|=2
x|x|+2|x2|=3
||x+2||x6||=|x|
|x+3||52x|=23xТренажер. Решить неравенство.
3
5
1
1
x
1
3
1
х
3
5
х
2
x
1
2
3
x
2
x
3
x
x
5
x
3
2
x
x
4
1
1
|2
2|
2
x
x
2
9
2
x
3|
x
3
x
x
|1
2
x
2
2
x
1
x
x
5
x
4
1
18
2
x
25
x
32
24
x
x
2
x
4
x
2
2
x
x
7
2
x
4
x
x
4
1
8
3
12
39
x
x
2
2
x
4
x
x
x
6
2
3
x
5
x
x
x
3
6
12
2
2
2Ответы к тренажерам
Показательные
уравнения и
неравенства
Решений нет
Область определения
функции
0; 0,5
2; 3
1
0,25
9
0
0
1
1; 2
9
1; 1
1; 3
2
0
0
2
1; 3; 4; 5
Тренажер №1.
Неравенства.
Показательные
уравнения.
2; 18
1; 5
0; 1
3; 9
2
1
1
0; 0,25
0; 1
0; 0,5
2
1,5625
2
1
0
0
0
0,5
4; 4
1; 2
Решений нет
1
0,4Область определения
логарифмической
функции
Логарифмическо
е уравнение
Логарифмические
неравенства
Показательное
неравенство
)
х
х
5; 95
1; 2
2; 4
0,1; 100
0,0001; 10
16
;
2
; 3
6+
2; 8
4
0,00001; 10
0; 3
2
(1;3)
(0;+
(2;3)
(
;(4;+
(1;2)
(3;+
(
(
(0;4)
(
(
(
(1;3)
(0;+
(
(5;3);(4; +
(
(3;
(2;1,375);
(1;+
(0;2);(4;6)
(2
4
0,1; 10
Уравнения, сод.
два и более
модулей
1;4
2
2,2; 7
1; 0,8
3;2;
2;
2,2
2
3; 7
Решить неравенство с
модулем.
(
(
(5;3+
(
(
(
(4;2);(3+
(
Понятие модуля.
Линейные уря и нерва.
1;3
4;2
2,5;1,5
2;4
(
(4;6)
(
(6;4)(
(4;2)
(1;4)
(
(6;6)
(4;6);(6;8)
(2;1,5)
(2;3);
1Список использованной литературы
В.К. Егерев, В.В. Зайцев и др.; под редакцией М.И. Сканави «Сборник задач по
математике для поступающих в вузы», изд. «Высшая школа», 1998г.
В. М. Говоров «Сборник конкурсных задач по математике», изд. «Наука», 1983г.
Система тренажеров .doc
