Методичка по комбинаторике "Заряжай мозги!"

                                                                                                                 

                                                                                                                            

 

 

                                                                                                                      МЕТОДИЧКА

                                                                по комбинаторике                                                                                             

                                                            «Заряжай мозги!»

                                                                                                             

    Из истории комбинаторики                            

                                                                              

           Блез Паскаль                         Пьер Ферма                                  

       Комбинаторика – ветвь математики,  изучающая

       комбинации и перестановки  предметов, возникла

       в 17 веке. С задачами, в которых приходилось выбирать

      те или иные предметы, располагать их в определенном

      порядке и отыскивать среди разных расположений

      наилучшие, люди столкнулись еще в доисторическую

      эпоху, выбирая наилучшее положение охотников во

      время  охоты, воинов – во время битвы, инструментов

      во время работы. Комбинаторные навыки оказались

      полезными и в часы досуга. Со временем появились

      различные игры: нарды, шахматы, шашки, карты.

      Но не только азартные игры давали пищу для

     комбинаторных размышлений математиков. Еще с

      давних пор дипломаты, стремясь к тайне переписки,

      изобретали сложные шифры, а секретные службы

      других стран пытались эти шифры разгадать.

      Первые научные исследования по комбинаторике

       принадлежат итальянским ученым Дж.Кардано,

 

                                                                                                                                 Н.Тарталье (ок.1499-1557), Г.Галилею (1564-1642)

                                                                                                                                 и французским ученым Б.Паскалю (1623-1662)

                                                                                                                                 и П.Ферма. Комбинаторику как самостоятельный

                                                                                                                                 раздел математики первым стал рассматривать

                                                                                                                                 немецкий ученый Г.Лейбниц в своей работе «Об   

                                                                                                                                 искусстве комбинаторики», опубликованной в

                                                                                                                                1666 году. Он также впервые ввел термин

                                                                                                                               «комбинаторика». Значительный вклад в развитие

                                                                                                                                Комбинаторики внес Л.Эйлер.

                                                                                                                                     В современном обществе с развитием  

                                                                                                                                вычислительной техники комбинаторика добилась

                                                                                                                                новых успехов. Так с помощью ЭВМ была решена

                                                                                                                                комбинаторная задача, известная под названием

                                                                                                                                «проблема четырех красок»: удалось доказать,

                                                                                                                                что любую карту можно раскрасить в четыре

                                                                                                                               цвета так, что никакие две страны, имеющие

                                                                                                                               общую границу, не будут окрашены в один и тот

                                                                                                                               же цвет.

                                                                                                                                        

                                                                                                                                                                                                                                                                  

                   

 

 

 

                         Разнообразие задач                                                                              Разнообразие задач

 

                                                                                                                         

 

     Задача.  Запишите все трехзначные числа,                                  Задача. Сколько четырехзначных чисел можно

    для записи которых употребляются только                                    составить из нечетных цифр, если цифры в записи

     цифры     1 и 2.                                                                                                  числа не повторяются?

    Решение: 111, 112, 121, 122, 211, 212, 221, 222                               Нечетные цифры: 1, 3, 5, 7, 9

                         8 чисел                                                                                     Решение: 5 х 4 х 3 х 2 = 120 чисел

 

     Задача.  запишите все трехзначные числа,                                Задача. В среду в 5 классе пять уроков: матема

      для записи которых у потребляются только                                  тика, русский язык, история, физкультура,

      цифры 0 и 7.                                                                                                   природоведение. Сколько разных расписаний в сре-

     Решение: 700, 707, 770, 777                                                             ду можно составить?

                           4 числа                                                                               Решение: 5!= 5 х 4 х 3 х 2 х 1 = 120 расписаний

  

     Задача. В правлении фирмы входят 5 человек.                         Задача. В медицинский кабинет на осмотр

     Из своего состава правление должно выбрать                              пригласили 10 девочек. Они встали в очередь друг

     Президента и вице – президента. Сколькими                                  за другом. Сколько вариантов прохождения

     Способами это можно сделать?                                                           осмотра  существует?

      Решение: 5 х 4 = 20 способов                                                       Решение: 10 х 9 х 8 х 7 х 6 х 5 х 4 х 3 х 2 х 1 х =

                                                                                                                                              3 628 800 вариантов

        

            Разнообразие задач                                                             Разнообразие задач

 

       Задача. Сколькими способами 16 футбольных                                          Задача. Сколько букетов, состоящих из 3

        Команд могут разыграть между собой золо-                                             цветов, можно составить, если имеется 6

        тые, серебряные и бронзовые медали?                                                           цветов разного цвета.

 

       Решение: 16 х 15 х 14 = 3360                                                                        Решение: 6 х 5 х 4 = 120 букетов

 

       Задача. Сколько различных трехзначных чисел                                 Задача. У жителей планеты АХО в алфави-

       Можно составить при помощи цифр 1,3,7,4, если                                те три буквы: А, О, Х. Слова в языке состоят

       Цифры в числе не могут повторяться и на месте                               из трех букв. Какое наибольшее количество

       десятков может быть только четное число.                                         слов может быть в словаре жителей этой

                                                                                                                                           планеты?

       Решение: 143, 147, 341, 347, 741, 743                                                 Решение: Аох, Ахо, Оах, Оха, Хао, Хоа.

                                  3 х 1 х 2 = 6 чисел                                                                                                   3 х 2 х 1 = 6

 

        Задача. У дрессировщика 7 львов, 5 тигров,                                        Задача. В некотором царстве, в некотором

         3 леопарда, 4 пумы. Для выступления ему                                            государстве жил-был Иван-царевич. Пошел

        нужно выбрать по одному хищнику каждого                                       он Василису Прекрасную спасать от Кощея.

        вида. Сколькими способами он может это                                            на пути ему встретилась Кикимора. От

        сделать?                                                                                                              Кикиморы до Бабы Яги три дорожки ведут,

         Решение:   5 х 5 х 3 х 4 = 420 способов                                          а от Бабы Яги до Кощея – две. Сколько вари-

                                                                                                                                        антов есть у Ивана-царевича, чтобы

         Задача. В собачьем питомнике 8 овчарок                                           дойти до Кощея?

          И 9 ротвейлеров. Собаковод хочет приобрес-                                        Решение: 3 х 2 = 6

         ти себе одну овчарку и одного ротвейлера.                                           

                                                                                                                                          Задача. Сколько двузначных чисел можно

         Сколькими способами он может это                                                        составить из цифр 9, 7 и 0?

         сделать?                                                                                             

 

        Решение: 8 х 9 = 72 способа                                                                      Решение: 2 х 3 = 6

 

                     Разнообразие задач                                                                                          Разнообразие задач 

 

         Задача. Саша выбрал в библиотеке 5 книг,                                            Задача.  В школьной столовой на обед приго-                                      

       но одновременно можно взять  только две книги.                                  товили в качестве вторых блюд кашу, плов

       Сколько  вариантов выбора  двух книг есть у Саши?                            и макароны. На сладкое – пирожное, фрукты,   

                                                                                                                                           Йогурт. Можно выбрать одно второе блюдо

       Ответ: 10 вариантов                                                                             и одно блюдо на диссерт. Сколько существует

                                                                                                                                    различных вариантов обеда?

                                                                                                                                          Решение: 3 х 3 = 9

       Задача. Школьники из Волгограда собрались

       на каникулы поехать в Москву, посетив по                                             Задача. В классе 25 учеников. Сколькими

       дороге Нижний Новгород. Сколькими различными                                способами можно выбрать старосту класса

       способами могут ребята осуществить свое                                           и его заместителя?

      путешествие, если из Волгограда в Нижний                                            Решение: 25 х 24 = 600 способ

      Новгород можно отправиться на теплоходе или

      поезде, а из Нижнего Новгорода в Москву – на                                Задача. Из группы теннисистов, в которую

      самолете, теплоходе, поезде или автобусе?                                       входят 5 человек: Антонов, Борисов, Григорьев

      Решите задачу с помощью построения дерева.                                 Сергеев, Федоров, тренер выделяет пару для

                                                                                                                                    участия в соревнованиях. Сколько существует

       Ответ: 8 способов.                                                                             Вариантов выбора такой пары?

                                                                                                                                    Решение: АБ, АГ, АС, АФ, БГ, БС,БФ,ГС,ГФ, СФ.

      Задача. Начертите окружность и отметьте                                                     

      на ней три точки. Обведите получившиеся при                              Задача. Четверо мальчиков работают у доски

      этом дуги карандашом разных цветов. Сколько                             Эти мальчики. Приходя утром в школу, пожи -

      карандашей вам понадобилось? Сколько дуг у вас                            мают друг другу руки в знак приветствия.

     получилось?                                                                                                        Определите сколько рукопожатий сделали

                                                                                                                                       мальчики?

      Ответ:   6 дуг                                                                                            Решение: 3 х 2 х 1 =6 рукопожатий

 

 

 

 

                

                       Разнообразие задач

   

         Задача. Несколько стран в качестве символа

         своего государства решили  использовать флаг

         в виде четырех вертикальных полос одинаковых

         по ширине, но разных по цвету: белой, красной,

         синей, зеленой. Сколько всего стран могут

         использовать такую символику?

 

         Решение: 4 х 3 х 2 х 1 = 24 страны

 

 

         Задача. Слог называется открытым, если он

         начинается с согласной буквы, а заканчивается

          гласной. Сколько открытых двухбуквенных

          слогов можно написать, используя буквы:

           А, Б, В, Г, Е, И, О.    

          

          Решение: гласных – 4, согласных – 3

                                        4 х 3 = 12 слогов