Методы решения логических задач (презентация)

Методы решения логических задач

Актуальность работы в том, что знание различных методов решения логических задач увеличивает успешность их решения, позволяет учиться мыслить логически, творчески.
Объект исследования – логические задачи.
Предметом исследования являются методы решения логических задач.

Цели и задачи исследования

Цель - рассмотреть методы решения логических задач.
Задачи: 
изучить литературу по данной теме.
ознакомиться с понятием «логические задачи», исследовать методы их решения; 
показать преимущества решения математических задач на уроке информатики;
научиться решать логические задачи; 
расширить свой кругозор и развивать логическое мышление.

Что такое логическая задача

Логика – древняя наука. Ее название происходит от древнегреческого многозначного слова «логос» - мысль, речь, слово, понятие, разум.
Логические задачи представляют собой текстовые задачи, в которых требуется распознать объекты или расположить их в определенном порядке по имеющимся свойствам. При этом часть утверждений задачи может выступать с различной истинностной оценкой (быть истинной или ложной). А любые вычисления и построения играют вспомогательную роль или вообще отсутствуют. То есть – логические задачи отличаются от обычных тем, что в них чаще не требуется умение вычислять, а требуется умение рассуждать.

Методы решения логических задач

Метод логических рассуждений
Метод таблиц
Метод графов
Метод кругов Эйлера
С помощью таблиц истинности
Средствами алгебры логики
С помощью языка программирования

Метод рассуждений является самым примитивным способом и его обычно применяют для решения самых простых логических задач. Идея метода заключается в проведении рассуждений при последовательном использовании всех условий задачи, вследствие чего приходят к выводу, который является ответом задачи.

Задача. Владимир, Семен и Олег изучают разные иностранные языки: английский, французский и немецкий. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: «Владимир изучает английский, Семен не изучает английский, а Олег не изучает немецкий». Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из студентов?

Решение: Имеем три утверждения. Если принять за истину первое утверждение, то правдиво и второе, т.к. студенты изучают разные языки, что противоречит условию задачи. Таким образом первое утверждение ложно. Если правдивым является второе утверждение, то первое и третье должны быть ложными. В таком случае получаем, что никто не изучает английский. Это противоречит условию, таким образом, второе утверждение также является ложным. Остается третье утверждение, которое можем считать верным, а первое и второе - ложными. Таким образом, Владимир не изучает английский, его изучает Семен. Ответ: Семен изучает английский язык, Олег -- французский, Владимир -- немецкий.

Метод таблиц

Алгоритм метода
Элементы первого множества записываем в строках, элементы второго – в столбцы.
После формирования шапки таблицы заполняются связи между объектами и их свойствами: плюсами отмечаются свойства присущие объекту, а минусами – свойства не характерные для объекта.
В каждой строке и в каждом столбце может стоять только один знак соответствия ( «+»). Если в строке (столбце) все «места», кроме одного, заняты «-», то на свободное место нужно поставить знак «+»,
если в строке (или столбце) уже есть знак «+», то остальные места должны быть заняты знаком «-».
Далее ответ получается автоматически

У трех кукол Маши, Даши и Алены были платья трех разных цветов: красного, зеленого и синего. Туфли у них были таких же цветов. У Маши цвет платья и туфель совпадали. У Алены ни туфли, ни платье не были красными. Даша была в зеленых туфлях и в платье другого цвета. Как были одеты куклы?

Составим таблицу, в которой отметим возможные цвета платьев и туфель кукол.

Метод блок-схем

Идея метода: описать последовательность выполнения операций, определить порядок их выполнения и фиксировать состояния.
Задача. Среди четырех монет одна фальшивая. Она отличается массой, однако неизвестно, легче она или тяжелее. Масса настоящей монеты 5 г. Как при помощи двух взвешиваний на чашечных весах обнаружить фальшивую монету, если имеется одна гиря массой 5 г? Можно ли при этих условиях опознать, легче фальшивая монета или тяжелее?

Метод блок-схем

Метод графов

Граф – множество точек, изображенных на плоскости, некоторые пары из которых соединены отрезками.
Выделяем из условия задачи главное – объекты и отношения между ними, при этом объекты будем изображать точками, а соответствия между ними - отрезками
сплошными – два объекта, соответствующие друг другу,
штриховыми - два объекта, не соответствующие друг другу.

Метод графов

Задача. В начале лета школьники организовали сельскохозяйственную бригаду и избрали бригадира, заместителя бригадира и звеньевых первого, второго и третьего звеньев. Их имена: Аня, Боря, Вася, Гриша и Дина. Звеньевая первого звена решила подружиться со звеньевой второго звена. Дина удивилась, узнав, что бригадир и звеньевая второго звена — брат и сестра. Гриша дружит с бригадиром и его заместителем. У Васи нет сестер. Назовите должности каждого из ребят.

Метод графов

Ответ: Гриша — 3 звено, затем Вася — зам. бригадира, Дина — 1 звено, Аня — 2 звено, Боря — бригадир

Круги Эйлера – это схематическое изображение в виде круга, которое позволяет более наглядно изобразить множества и отношения между ними.
Алгоритм решения логических задач с помощью кругов Эйлера:
1. Внимательно изучаем и кратко записываем условие задачи.
2. Определяем количество множеств и обозначаем их.
3. Выполняем рисунок. Строим пересечение множеств.
4. Записываем исходные данные в круги.
5. Выбираем условие, в котором содержится больше свойств.
6. Записываем недостающие данные в круги Эйлера (рассуждая и анализируя)
7. Проверяем решение задачи и записываем ответ.

Задача. Из 100 туристов немецким языком владеют 30 человек,
английским – 28, французским – 42, английским и немецким владеют 8 человек, английским и французским -10 ,
немецким и французским – 5, всеми тремя языками – 3.
Сколько туристов не владеют ни одним языком?

При решении задач круги Эйлера помогают более наглядно представить схему решения.
 

Идея метода:
нарисовать бильярдный стол
и интерпретировать действия движениями бильярдного шара, фиксирование состояний в отдельной таблице.

Пример. Дано два сосуда - объемом 33 и 55 л. С помощью этих сосудов необходимо получить 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77 и 88 литров воды. Имеется водопроводный кран и раковина, в которую можно выливать воду.

Построим для данной задачи параллелограмм со сторонами 33 и 55 единиц. По горизонтали будет откладываться количество воды в литрах в пятилитровом сосуде, а по вертикали -- в трехлитровом.

Внимательно изучить условие задачи;
Выделить простые высказывания и обозначить их буквами;
Записать условие задачи на языке алгебры логики;
Составить единое логическое выражение для всех требований задачи;
Построить таблицу истинности для рассматриваемого выражения;
Найти набор значений переменных, при которых выражение является истинным;
Проанализировать полученный результат.

Задача. Определить участника преступления, исходя из двух посылок:
   1) «Если Иванов не участвовал или Петров участвовал, то Сидоров участвовал»;
   2) «Если Иванов не участвовал, то Сидоров не участвовал»

Ответ: преступление совершил Иванов

Выделить из условия задачи элементарные (простые) высказывания и обозначить их буквами.
Записать условие задачи на языке алгебры логики, соединив простые высказывания в составные с помощью логических операций.
Составить единое логическое выражение, учитывающее все требования задачи.
Используя законы алгебры логики, упростить полученное выражение и вычислить его значение.
Выбрать решение – набор логических переменных (элементарных высказываний), при котором построенное логическое выражение является истинным.
Убедиться, что полученное решение удовлетворяет условиям задачи.

Задача «Прогноз погоды»
На вопрос, какая завтра будет погода, синоптик ответил:
1.  Если не будет ветра, то будет пасмурная погода без дождя.
2.  Если будет дождь, то будет пасмурно и без ветра.
3.  Если будет пасмурная погода, то будет дождь и не будет ветра.
Так какая же погода будет завтра? 

A – «Ветра нет», B – «Пасмурно», С – «Дождь»
F=(A→ B & C) & (C→B & A) & (B→ C & A) 
Упростим F=(A→ B & ¬C) & (C→B & A) & (B→ C & A)=
= (¬A v B & ¬C) & (¬C v B&A) & (¬B v C&A) = (¬A v B & ¬C) & (¬B v C&A) & (¬C v B&A) = (¬A&¬ B v B&¬C&¬B v ¬A&C&A v B&¬C&C&A) & (C v B&A)= ¬A & ¬B &(C v B&¬A) =A&¬B&C v ¬A&¬B &B &¬A = ¬A&¬B&¬C
Приравняем результат  единице, т.е. наше выражение должно быть истинным:
F = ¬A &¬ B & ¬C = 1 и проанализируем результат:
Логическое произведение равно 1, если каждый множитель равен 1.
¬A = 1; ¬B = 1; ¬C = 1.значит: A = 0; B = 0; C = 0;
Ответ: погода будет ясная, без дождя, но ветреная.

В соревнованиях по гимнастике участвуют Алла, Валя, Сима и Даша. Болельщики высказали предположения о возможных победителях:
Сима первой, Валя — второй.
Сима будет второй, Даша — третьей.
Алла будет второй, Даша — четвертой.
По окончании соревнований оказалось, что в каждом из предположений только одно из высказываний истинно, другое — ложно.
Какое место на соревнованиях заняла каждая из девушек, если все они оказались на разных местах?

А = Сима первая, В = Алла вторая, С = Даша третья, D = Валя вторая.

Метод рассуждений – простой, доступный, надо только думать, развивает мышление, память, применим ко всем задачам.
Метод графов, метод таблиц, метод блок-схем, метод кругов Эйлера, метод математического бильярда – быстрота, наглядность, привлекательность, контроль над процессом рассуждений, избавляют от лишних рассуждений, сокращают нагрузку на память.

1) Существуют разные типы логических задач и разные методы их решения.
2) Каждый из этих методов обладает своими достоинствами при решении задач определенного типа.
3) Логика помогает нам не только при решении задач, но и в повседневной жизни: правильно строить свои мысли, и верно их выражать, убеждать других людей, отстаивать свою точку зрения.
4) Решение логических задач – это не только увлекательный, но и полезный способ времяпровождения.
Логические задачи - это зарядка для ума!

Литература

1. Босова Л.Л. Информатика: учебник для 8 класса. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2018.
2. Андреева Е. В., Босова Л. Л., Фалина И. Н. Математические основы информатики. Учебное пособие. - М.: БИНОМ,
3. Лыскова В., Ракитина Е. Логика в информатике. - М.: БИНОМ, Шауцукова Л. З. Информатика : Учебное пособие для 10 кл. – М. Просвещение, 2005