МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ САРАТОВСКОЙ ОБЛАСТИ

Государственное автономное учреждение дополнительного профессионального образования

«Саратовский областной институт развития образования»

Кафедра математического образования

Методы решения рациональных уравнений n-ой степени в 10-11 классах

Выпускная творческая работа

 слушателя курсов повышения квалификации

по дополнительной профессиональной программе

  «Теоретические основы и методика обучения математике

в общеобразовательных организациях (с использованием ДОТ)»

учителя математики МОУ «Лицей №15»  Заводского района г.Саратова

Коповой Ольги Васильевны

Руководитель 

доцент кафедры

математического образования,

Коник О.Ю., к.ф.н.

Саратов 2016

СОДЕРЖАНИЕ

1.     Введение………………………………………………………………….3

2.     Основная часть…………………………………………………………..3

a)     История развития науки о решении алгебраических уравнений.

b)    Теоретические сведения…………………………………………….5

c)     Основные методы решения уравнений высших степеней………11

1.     Разложение на множители…………………………………..11

2.     Введение новой переменной………………………………...23

3.     Функционально-графический……………………………….28

4.     Другие виды уравнений……………………………………...29

3.     Заключение………………………………………………………………33

4.     Список используемых источников…………………………………….35

Введение

Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека.

Практически все, что окружает современного человека – это всё так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему школьного курса математики. Знаменитый русский математик Н.И. Лобачевский говорил о том, что «решение уравнений составляло всегда главный предмет алгебры». Значение теории уравнений состоит в том, что она не только служит теоретической основой для познания естественных законов природы, но и применяется в конкретных практических целях. Большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. С другой стороны при изучении любой темы школьного курса математики уравнения могут быть использованы как эффективное средство закрепления, углубления, повторения и расширения теоретических знаний, для развития творческой математической деятельности учащихся.

1.     История развития науки о решении алгебраических уравнений.

Уже в древности люди осознали, как важно научиться решать алгебраические уравнения. Общее правило решения квадратных уравнений, приведённых к виду  x²+bx=c, было сформулировано немецким математиком М. Штифелем (1487-1567г.). Выводом формулы решения квадратных уравнений общего вида занимался Виет. Одно своё утверждение он высказывал лишь для положительных корней (отрицательных чисел он не признавал). После трудов нидерландского математика А. Жирара (1595-1632), а также Декарта и Ньютона способ решения квадратных уравнений принял современный вид. Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй и высших степеней ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земельными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилоняне. Однако уже при решении уравнений третей степени математики столкнулись с большими трудностями. История открытия способа решения кубических уравнений полна тайн, так как в древности учёные часто на открытых диспутах соревновались в решении трудных задач. От исхода этих состязаний зависела их научная репутация и материальное благополучие. Тот, кто первым овладел решением кубических уравнений, мог легко победить своих соперников давая им задачи, сводящиеся к кубическим уравнениям. Поэтому способы решения уравнения тщательно скрывались. Историки полагают, что первым нашёл способ решения кубических уравнений известный итальянский алгебраист Специна дель Ферро (1465-1576), но впервые опубликовал общую формулу решения кубических уравнений итальянский математик Джераламо Кордано (1501-1576г.). Эта формула носит теперь название формулы Кордано, хотя предполагают, что эту формулу ему передал итальянский математик Николо Тарталья ( 1500-1557). С именами этих же математиков связано открытие способов решения уравнений четвёртой степени.

В дальнейшем математики активно пытались найти формулы вычисления корней уравнений пятой и более степени. И только почти через три столетия впервые итальянский учёный Паоло Руффини (1765-1822), а затем норвежский математик Нильс Хенрих Абель (1802-1829г.) доказали, что не  существует формулы, выражающей корни любого целого уравнения пятой степени через конечное число алгебраических операций над его коэффициентами. Да и найденные формулы вычисления корней для уравнений третьей и четвёртой степени столь сложны, что ими практически не пользуются. Поэтому в современной математике разработаны методы, позволяющие находить с любой степенью точности приближенные значения корней уравнений. Использование компьютеров значительно облегчают эту работу. И сегодня на уроках математики, начиная с первой ступени обучения, решению уравнений различных видов уделяется большое внимание.                                                          

2.    Теоретические сведения

           Алгебраическим многочленом  n-ой степени называют выражение вида:

          a0 xⁿ +а₁х     + a₂ x        + …+а_n-1х  + an    , (1)

где n принадлежит  Z , n≥0,  a 0, a1  ,...an  принадлежат  R  и a0≠0, и обозначают его через Pn (х).

Равенство Pn (х)=0 называют алгебраическим уравнением  n-ой степени.   (2)

Число  α  называют корнем многочлена (1) , а также корнем (решением) уравнения (2) , если α удовлетворяет уравнению (2) ,

 т.е. если верно числовое равенство P_n(ɑ)  =0  .

 Решить уравнение (2) −значит найти  множество всех его корней (решений).

Если  n=1 , то уравнение (2) называют уравнением 1-ой степени, а при n=2 – квадратным уравнением. Формулы для решения таких уравнений хорошо известны и они достаточно просты. Однако для  уравнений выше  2-ой  степени таких простых формул нет. Для уравнений третьей степени  существуют  формулы Кардано и Феррари, выражающие  корни этих уравнений через радикалы. Но эти формулы слишком  громоздки и неудобны. Поэтому на практике  ими редко пользуются. Таким образом, если n≥3, а коэффициенты многочлена (1) −произвольные действительные числа,  отыскание корней уравнения (2) −задача непростая.

Тем не менее, во многих частных случаях эта задача решается до конца. Остановимся на некоторых из них.

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена P_n  (х)  на двучлен x- α равен P_n (х).

Основой многих знаний о делении многочлена на двучлен является теорема, принадлежащая французскому математику Этвену Безу (1730-1783) и носит его имя.

Докажем эту теорему для случая, когда n=3. Для этого разделим многочлен P3 (х)  на двучлен x- αn  уголком.

Обозначим остаток от деления P3(х) на x- α через r. Тогда:

r=a3+ α (a2 + α(a1 + αa0))=a3+ αa2+ α²a1 + α³+a0=a0a³+ a1 α² + a2 α +a3=P3(α) ,

т.е. остаток r=P3(∞)

Из теоремы Безу вытекают следующие практические следствия:

Следствие 1. Если многочлен Pn(x)  делится без остатка  на двучлен x- α,(т.е.r=0) то α является корнем многочлена Pn(x) ,т.е. Pn(α) =0. поэтому решения уравнения Pn  (x)=0 сводится к решению уравнения Pn-1(x) =0 , на единицу меньшей степени.

Следствие 2. Если число  α является корнем многочлена P_n (x) , то Pn (x)  делится без остатка на двучлен x- α , т.е. в этом  случае справедливо  разложение: Pn (x)=(x- α)∙Pn-1 (x) .

Следствие 3. Если многочлен Pn-1 (x) делится без остатка  на двучлен x- α , то Pn (x)=(x- α)² ∙Pn-2 (x)

Если при этом многочлен Pn-2 (x) не делится на x- α, то число α называют двукратным корнем  многочлена (1) или уравнения (2).

Число α называется m-кратным корнем  многочлена Pn (x) если Pn (x)=Pn-m (x)  ∙(x- α) в m-ой степени и многочлена Pn-m  (x)  не делится на x- -α .

Однократные корни называются  простыми, m-кратные корни, при m>1  называются кратными.

Особо отметим: Теорема о целых корнях. Если целое число α - корень многочлена с целыми  коэффициентами, то α - делитель его свободного члена.

Доказательство. Пусть:

P (x)=a0xⁿ +a1xⁿ-¹ +…+an-1x +an−многочлен с целыми коэффициентами и целое число α −его корень.

Тогда по определению корня выполняется равенство P (α)=0;

a0 αⁿ+a1 αⁿ-¹+…+an-1 α +an=0

Вынося общий множитель α за скобки, получим равенство:

α(a0 αⁿ-¹ +a1 αⁿ-² +…+an-1)+ad=0, откуда

an= -α(a0 αⁿ-¹ + a1 αⁿ-² +…+ αn-1)

Так как числа a0, a1,…an-1, an и α −целые, то в скобке  стоит целое число, и, следовательно, an делится, на α, что и требовалось доказать.

Доказанная теорема  может быть сформулирована и следующим  образом: всякий целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем  его свободного члена.

Дополнительная теорема о целых корнях

  Если целое число α−корень многочлена P(x) с целыми        коэффициентами, то α-1−делитель числа P(1), α+1−делитель числа P(-1)

Доказательство. В самом деле, при a=1, P (α)-P (1),а значит, и P(1) делится на α-1. Аналогично рассматривается второй случай.

На теореме (1) основан алгоритм поиска целых корней многочлена с целыми коэффициентами: выписать все делители свободного члена и поочерёдно  выписать значения многочленов этих чисел.

В то же время проведение этого алгоритма с вычислительной точки зрения может показаться достаточно трудным, однако он может быть существенно упрощён, если применить дополнительное утверждение, основанное на одной из известных формул  сокращённого умножения.

Именно: из тождества

xⁿ-yⁿ=(x-y)(xⁿ-¹+xⁿ-²y+…+  xyⁿ-²+yⁿ-¹)

вытекает, что для целых чисел b и c число bⁿ-cⁿ делится на b∙c. Но для любого многочлена P разность

P (b)-P(c)= (a0bⁿ+a1bⁿ-¹+…+an-1b+an)-(a0cⁿ+a1cⁿ-¹+…+an-1c+an)=a0(bⁿ- cⁿ)+a1(bⁿ-¹-cⁿ-¹)+…+an-1(b-c)

и, следовательно, для многочлена P с целыми коэффициентами и целых чисел b и c разность P(b)-P(c) делится на b-c.

Итак, задача нахождения целых корней многочлена с целыми коэффициентами  полностью решена −с помощью теоремы делимости целых чисел.   A(x)=B(x)*a(x)+R(x)

СхемаГорнера.                                                                                                        Пусть дан произвольный многочлен Р(х)=а₀хⁿ+ а₁х^n-1+ …+ а_n-1х+ а_n. Деление этого многочлена на х-с – это представление его в виде Р(х)=(х-с)g(х) + r(х).  Частное  g(х)=в₀х^n-1+ в_nх^n-2 +…+в_n-2х + в_n-1, где в₀=а₀, в_n=св_n-1 +а_n,   n=1,2,3,…n-1. Остаток r(х)= св_n-1 +а_n . Этот метод вычисления и называется схемой Горнера. Слово « схема» в названии алгоритма связана с тем, что обычно его выполнение оформляют следующим образом. Сначала рисуют таблицу 2(n+2). В левой нижней клетке записывают число с, а в верхней строке коэффициенты  многочлена Р(х). При этом левую верхнюю клетку оставляют пустой.

Число, которое после выполнения алгоритма оказывается записанным в правой нижней клетке, и есть остаток от деления многочлена Р(х) на х-с. Другие числа в₀, в₁, в₂,… нижней строки являются коэффициентами частного. Найдём остаток от деления многочлена    A(x)=x⁴-6x³+8 на x+2.                            Решение: по теореме Безу остаток от деления на x+2 равен                                         А(-2)= (-2)⁴-6(-2)³+8=72. Чтобы вычислить A(-2) в верхней строке таблицы перечисляем коэффициенты данного многочлена, записанного в стандартной форме x⁴-6x³+8=x⁴-(6)x³+0x²+0x+8. Коэффициенты при старшей степени дублируем в нижней строке, а перед ним записываем значение переменной x=-2, при котором вычисляем значение многочлена. Получается следующая таблица:

Пустые клетки таблицы заполняем по следующему правилу: крайнее справа число нижней строки умножается на -2 и складывается с числом, стоящим над пустой клеткой. По этому правилу в первой пустой клетке стоит число (-2)1+(-6)=-8, во второй клетке становится число (-2)8+0=16, в третьей клетке – число (-2)16+0=-2, в последней клетке – число (-2)*(-32)+8=72.

Полностью заполненная по схеме Горнера таблица выглядит так:

Число в последней клетке и есть остаток от деления на x+2, A(-2)=72.

Процесс отыскания решений уравнения заключается обычно в замене уравнения равносильным. Замена уравнения равносильным основана на применении четырёх аксиом:

1. Если равные величины увеличить на одно и то же число, то результаты будут равны.

2. Если из равных величин вычесть одно и то же число, то результаты будут равны.

3. Если равные величины умножить на одно и то же число, то результаты будут равны.

4. Если равные величины разделить на одно и то же число, то результаты будут равны.

Поскольку левая часть уравнения Р(х) = 0 представляет собой многочлен n-й степени, то полезно напомнить следующие утверждения:

Утверждения о корнях многочлена и его делителях:

1. Многочлен n-й степени имеет число корней не превышающее число n, причем корни кратности m встречаются ровно m раз.

2. Многочлен нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень.

3. Если α – корень Р(х), то Р_n (х) = (х - α)·Q_{n - 1}(x), где Q_{n - 1}(x) – многочлен степени (n – 1).

4. Всякий целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем свободного члена.

5. Приведенный многочлен с целыми коэффициентами не может иметь дробных рациональных корней.

6. Для многочлена третьей степени

Р₃(х) = ах³ + bx² + cx + d возможно одно из двух: либо он разлагается в произведение трех двучленов

Р₃(x) = а (х - α)(х - β)(х - γ), либо разлагается в произведение двучлена и квадратного трехчлена Р₃(x) = а(х - α)(х² + βх + γ).

7. Любой многочлен четвертой степени раскладывается в произведение двух квадратных трехчленов.

8. Многочлен  f (x) делится на многочлен  g(х) без остатка, если существует многочлен  q(x), что f(x) = g(x)·q(x). Для деления многочленов применяется правило «деления уголком».

9. Для делимости многочлена P(x) на двучлен (x – c) необходимо и достаточно, чтобы с  было корнем P(x) (Следствие теоремы Безу).

10. Теорема Виета: Если х₁, х₂, …, х_n – действительные корни многочлена

Р(х) = а₀хⁿ + а₁х^{n - 1} + … + а_n, то имеют место следующие равенства:

х₁ + х₂ + … + х_n = -а₁/а₀,

х₁ · х₂ + х₁ · х₃ + … + х_{n - 1} · х_n = a₂/а₀,

х₁ · х₂ · х₃ + … + х_{n - 2} · х_{n - 1} · х_n = -a₃/а₀,

х₁ · х₂ · х₃ · х_n = (-1)ⁿ a_n/а₀.

3.  Основные методы решения уравнений высших степеней

1)    Разложение на множители

2)    Введение новой переменной

3)    Функционально-графический

1)    Разложение на множители

a)    формулы сокращенного умножения

b)    способ группировки

c)     теорема Безу

d)    схема Горнера

e)     метод неопределенных коэффициентов

a-b). Разложение на множители методом группировки и формул сокращенного умножения

Основа данного метода заключается в группировке слагаемых таким образом, чтобы каждая группа содержала общий множитель. Для этого иногда приходится применять некоторые искусственные приемы.

Пример 1. х⁴ - 3x² + 4х – 3 = 0.

Решение. Представим - 3x² = -2x² – x² и сгруппируем:

(х⁴ - 2x²) – (x² - 4х + 3) = 0.

(х⁴ - 2x² +1 – 1) – (x² - 4х + 3 + 1 – 1) = 0.

(х² – 1)² – 1 – (x – 2)² + 1 = 0.

(х² – 1)² – (x – 2)² = 0.

(х² – 1 – х + 2)(х² – 1 + х - 2) = 0.

(х² – х + 1)(х² + х - 3) = 0.

х² – х + 1 = 0 или х² + х - 3 = 0.

В первом уравнении нет корней, из второго: х_{1, 2} = (-1 ± √13)/2.

Пример 2.     Дано:

Решение. Сгруппируем слагаемые в левой части, но следует заметить, что х=0; х=-1; х=-3; х=-4 не могут быть решениями. Получим:

,

Проводим преобразования и получаем:

+           2(х+2)(,

2(х+2)=0,              или          

х₁=-2.                                   Введем замену: х²+4х=t, тогда

                                            Решая уравнения, получаем:

Подставляем значение t, получаем уравнение:

х²+4х=,      х²+4х+1,5=0,      D=16-6=10,                                       

х_2,3=                         Ответ: х₁=-2; х₂=-2+; х₃= -2-.

Пример 3. Дано: х⁴+2х³+2х+1=0

Решение. Поделим на уравнение на х², получим:

х²+2х+ перегруппируем слагаемые таким образом:

(х²+      (х+²-2+2(

вводим новую переменную: t= х+, t²+2t-2=0, D=4+8=12,

t_1,2==

Подставляем обратно:

1)  х+

x² + (1− )x +1 = 0, D=-1-2 <0 – решений нет.

2)   х+=,     x² + (1+ )x +1 = 0, D=,

х_1,2=.

Ответ. х_1,2=

Пример4.   Дано:  х⁴+х³-72х²+9х+81=0

Решение. Поделим уравнение на х² и сгруппируем:

х²+х-72+=0,

(х²++(х+ проведем некоторые преобразования до полного квадрата в одной из скобок, получим:

(х²+18++(х+,

(х+)²+( х+)-90=0, вводим новую переменную: t= х+, решаем уравнение:

t²+t-90=0, D=1+360=361,

t_1,2= Решаем уравнения, подставляя значения t:

1)   х+=-10,    х0      х²+10х+9=0, D=100-36=64

х_1,2=

2)   х+=9,   х0       х²-9х+9=0, D=81-36=45     х_3,4=.

Ответ: х₁ х₂=-1; х_3,4=

c). Теорема Безу

При делении многочлена n-й степени относительно x на двучлен x-a остаток равен значению делимого при x=a. (Буква a может обозначать любое действительное или мнимое число, т.е. любое комплексное число.)

При решении уравнений с помощью теоремы Безу необходимо:

·          найти все целые делители свободного члена;

·          из этих делителей найти хотя бы один корень уравнения (a);

·          левую часть уравнения разделить на (x-a);

·          записать в левой части уравнения произведение делителя и частного;

·          решить полученное уравнение.

1.     Решить уравнение x⁴+3x³-13x²-9x+30=0.

301; 2, 3, 5, 6, 10.

(x-2)(x³+5x²-3x-15)=0

(x-2)(x+5)(x²-3)=0

_x⁴+3x³-13x²-9x+30               x-2

  x⁴-2x³                                                         x³+5x²-3x-15

    _5x³-13x²

           5x³-10x²

            _-3x²-9x

                -3x²+6x

                   _-15x+30

                        -15x+30

                                 0

Ответ: x₁=2, x₂=-5, x_3,4=.

2. Решить уравнение x⁶+x⁵-7x⁴-5x³+16x²+6x-12=0.

-12 1; 2; 3; 4; 6; 12.

_x⁶+x⁵-7x⁴-5x³+16x²+6x-12          x-1

   x⁶-x⁵                                             x⁵+2x⁴-5x³-10x²+6x+12

  _  2x⁵-7x⁴

           2x⁵-7x⁴

          _-5x⁴-5x³

             -5x⁴+5x³

_-10x³+16x²                                           _x⁵+2x⁴-5x³-10x²+6x+12         x+2

  -10x³-10x²                                                 x⁵+2x⁴                                                        x⁴-5x²+6

          _6x²+6x                                   _ -5x³-10x²

              6x²-6x                                      -5x³-10x²

                   _  12x-12                                              _ 6x+12

                   12x-12                                                 6x+12

                    0                                                      0

    x⁶+x⁵-7x⁴-5x³+16x²+6x-12=(x-1)(x⁵+2x⁴-5x³-10x²+6x+12)=0

x⁶+x⁵-7x⁴-5x³+16x²+6x-12=(x-1)(x+2)(x⁴-5x²+6)=0

x⁴-5x²+6=0 – биквадратное уравнение, x_1,2=, x_3,4=.

Ответ: x_1,2=, x_3,4=, x₅=1, x₆=-2.

3. Решить уравнение x³-5x²+8x-6=0.

-6 1; 2; 3; 6.

_x³-5x²+8x-6             x-3

  x³-3x²                       x²-2x+2

    _-2x²+8x

      -2x²+6x

             _2x-6

               2x-6

                     0

x³-5x²+8x-6=(x²-2x+2)(x-3)=0

x²-2x+2=0 – квадратное уравнение, корней не имеет, т.к. D<0.

Ответ: x=3.

4. Решить уравнение 6x³+11x²-3x-2=0.

-2 1; 2.

_6x³+11x²-3x-2             x+2

 6x³+12x²                       6x²-x-1

          _-x²-3x

            -x²-2x

                 _-x-2

                   -x-2

                        0

6x³+11x²-3x-2=(6x²-x-1)(x+2)=0

6x²-x-1=0 – квадратное уравнение, x₁=½, x₂=-⅓.

Ответ: x₁=½, x₂=-⅓, x₃=-2.

d). Схема Горнера

Схема Горнера, основанная на теореме Безу, позволяет за

считанные секунды решить сложное уравнение без мучительных подстановок и деления многочленов  в столбик.

Пример 1. Решить уравнение 2х⁴ - 5х³ + 5х² - 2 = 0                                    Решение: Так как сумма коэффициентов многочлена , записанного в левой части уравнения, равна нулю, то один из корней 1. Воспользуемся схемой Горнера:

Получаем  Р(х)=(х-1) (2х³ -3х²+2х +2). Будем искать корни среди делителей свободного члена 2.

Выяснили, что целых корней больше нет. Проверим 1/2; -1/2.

Итак (х-1) (х+1/2) (2х² – 4х +4)=0.  Далее решаем квадратное уравнение 2х²-4х +4 = 0.  Д/4=1-2= -1. Значит это уравнение корней не имеет.                          Ответ: 1; -1/2.                                                                                                   Пример 2. Решить уравнение 5х⁴ – 3х³ – 4х² -3х+ 5 = 0.                             Решение:                                                                                                                     Корни данного уравнения будем искать среди делителей свободного члена 5: 1;-1;5;-5. х=1 - корень уравнения, так как сумма коэффициентов равна нулю. Воспользуемся схемой Горнера:

Можно записать (х-1) (5х³ +2х² -2х-5)=0.   Для 5х³ +2х² -2х-5=0  х=1 также является корнем и

уравнение представим в виде произведения трех множителей: (х-1) (х-1) (5х² -7х + 5)=0. Решая квадратное уравнение 5х² -7х+5=0, получили Д=49-100=-51, корней нет.                                                                                                               Ответ:1.                                                                                                                     Пример 3. Дано: . Делители свободного числа: , но это  очень большое количество делителей, поэтому можно воспользоваться тем, что если сумма коэффициентов равна 0, то один из корней 1.

1-5-9+41+32-60=0 1 – корень.

х-1=0,    или    х-3=0,    или   х-5=0,    или   (х+2)²=0,

х=1.                 х=3.                 х=5.                 х=-2.    

Ответ: 1; 3; 5; -2.

Пример 4. . Делители свободного числа:

(х-1)³=0,   или     х+1=0,    или    х+3=0,         х-2=0,

х=1.                     х=-1.                  х=-3.            х=2.

Ответ: 1; -1; -3; 2.

Пример 5. Решить уравнение: х³ – 5х + 4 = 0

Определим корни многочлена третьей степени

:± 1; ± 2; ± 4

f(1) = 1 – 5 + 4 = 0

Одним из корней является  х = 1

х³ – 5х + 4 = 0

(х – 1) (х² + х – 4) = 0

х-1=0,          или     х² + х – 4=0

х=1.                       D = 1 + 16 = 17

                              х₁ = ;   х₂ =

Ответ: 1; ; .

Пример 6. Дано: 6х⁴-29х³-89х²-19х+35=0

Решение. Делители свободного числа: .

Находим по схеме Горнера целочисленные решения уравнения:

Итак, 6х⁴-29х³-89х²-19х+35=(х+1)(х-7)(6х²+7х-5)=0,

х+1=0   или х-7=0    или  6х²+7х-5=0         

х₁=-1, х₂=7, х_3,4=.

Ответ:

Пример 7. Решить уравнение: х⁵+5х-42=0

Решение. Делители свободного числа:

Находим по схеме Горнера целочисленные решения уравнений:

Ответ: х=2.

Пример 8. Дано: х⁴-8х+63=0

Решение. Делители свободного числа:   Решаем по схеме Горнера:

Ответ: решений нет.

Пример 9. Решить уравнение: х⁴-4х³-13х²+28х+12=0

Решение. Делители свободного числа:

По схеме Горнера находим целочисленные решения уравнения:

Уравнение принимает вид: (х-2)(х+3)(х² -5х-2)=0

х-2=0    или   х+3=0   или  х² -5х-2=0

х₁=2, х₂=-3, х_3,4=

Ответ:  х₁=2, х₂=-3, х_3,4=

e). Разложение на множители  методом неопределенных коэффициентов

Суть метода состоит в том, что исходный многочлен раскладывается на множители с неизвестными коэффициентами. Используя свойство, что многочлены равны, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях, находят неизвестные коэффициенты разложения.

Пример1: х³ + 4x² + 5х + 2 = 0.

Решение. Многочлен 3-й степени можно разложить в произведение линейного и квадратного множителей.

х³ + 4x² + 5х + 2 = (х - а)(x² + bх + c),

х³ + 4x² + 5х + 2 = х³ +bx² + cх - ax² - abх - ac,

х³ + 4x² + 5х + 2 = х³ + (b – a)x² + (c – ab)х – ac.

Решив систему:      

получим

х³ + 4x² + 5х + 2 = (х + 1)(x² + 3х + 2).

Корни уравнения (х + 1)(x² + 3х + 2) = 0 находятся легко.

Ответ: -1; -2.

2)    Метод введения новой переменной

1)    Биквадратные уравнения

2)    Возвратные и симметрические уравнения

Метод введения новой переменной заключается в том, что для решения уравнения f(x) = 0 вводят новую переменную (подстановку) t = xⁿ или t = g(х) и выражают f(x) через t, получая новое уравнение r(t). Решая затем уравнение r(t), находят корни: (t₁, t₂, …, t_n). После этого получают совокупность n уравнений q(x) = t₁, q(x) = t₂, … , q(x) = t_n, из которых находят корни исходного уравнения.

Пример 1; (х² + х + 1)² – 3х² - 3x – 1 = 0.

Решение: (х² + х + 1)² – 3х² - 3x – 1 = 0.

(х² + х + 1)²  – 3(х² + x + 1) + 3 – 1 = 0.

Замена (х² + х + 1) = t.

t²  – 3t + 2 = 0.

t₁ = 2, t₂ = 1. Обратная замена:

х² + х + 1 = 2 или х² + х + 1 = 1;

х² + х - 1 = 0 или х² + х = 0;

Из первого уравнения: х_{1, 2} = (-1 ± √5)/2, из второго: 0 и -1.

1)    Биквадратные уравнения

Уравнение вида:  ax ⁴ + bx ² + c = 0  называется биквадратным.

Оно приводится к квадратному уравнению заменой:     x² = z .    

Если уравнение имеет вид:    ax²ⁿ + bxⁿ +  c = 0  ,

оно приводится к квадратному уравнению заменой:  xⁿ = z ;

действительно, после этой замены получаем:   az ²+ bz + c = 0 .

Пример 1. Решим уравнение:     x ⁴ – 13 x ² + 36 = 0 .

После замены:  x ² = z  получим уравнение:     z ² – 13 z + 36 = 0 .

Его корни:  z₁ = 4  и  z₂ = 9. Теперь решаем  уравнения:   x ² = 4  и  x ² = 9 . Они имеют соответственно корни:  x₁ = 2 ,  x₂ = – 2 ,   x₃ = 3 ;   x₄  = – 3 .             Эти числа являются  корнями исходного уравнения

Пример 2. Решить биквадратное уравнение:  3x ⁴ – 123x ² + 1200 = 0 .

Решение.  Заменяя:  x ² = z ,  и решая уравнение:  3z ² – 123z + 1200 = 0, получаем: 

 отсюда,  z₁ = 25 и  z₂ = 16. Используя нашу замену, получим:

 x ² = 25 и  x ² = 16,  отсюда,  x₁ = 5,  x₂ = – 5,  x₃ = 4,  x₄ = – 4.

2)    Возвратные и симметрические уравнения

Метод введения новой переменной находит применение при решении возвратных уравнений.                                                                        Алгебраические уравнения вида a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n=0 называют возвратными уравнениями, если его коэффициенты, одинаково удалены от начала и от конца, равны между собой (a_k=a_n-1, k=0, 1, … , n).

Примерами таких уравнений являются:

X³-2x²-2x+1=0, a₀=a₃=1, a₁=a₂=-2

2x⁴-3x³+5x²-3x+2=0; a₀=a₄=2; a₁=a₃=-3;

Уравнения вида    ах³  + вх²  + вх + а = 0, а ≠ 0,   (1) называются  возвратными уравнениями третьей степени.                                                                   Поскольку ах³  + вх²  + вх + а = а (х³ + 1) + вх (х+1) = а (х+ 1) (х²  - х+ 1) + вх (х+ 1) = (х+1) (ах² + (в - а) х + а), то уравнение (1) равносильно совокупности уравнений      х + 1 = 0    и     ах² + (в - а) х + а = 0, решить которую просто.

Пример 1. Решить уравнение.   3х³ + 4х² + 4х + 3 = 0. – возвратное, уравнение третьей степени,  т.к.   a₀= a₃ =3; a₁=a₂=4.                             Разложим на множители левую часть уравнения                                                                  3х³ + 4х² + 4х + 3 = 3 (х³ + 1) + 4х (х + 1) = ( х + 1) (3х² – 3х + 3 + 4х) = ( х+ 1) (3х² + х + 3). Уравнение равносильно совокупности уравнений                           х + 1 = 0    и    3х² + х + 3 = 0,     х= - 1    D< 0 , уравнение решений не имеет.                                                                                                                       Ответ: - 1.                                                                                                                Пример 2.   Решить уравнение.     2x³+7x²+7x+2=0 – возвратное, уравнение третьей степени,  т.к.   a₀= a₃ =2; a₁=a₂=7. Разложим левую часть на множители: 2(x³+1)+7x(x+1)=2(x+1)(x²-x+1)+7x(x+1)=(x+1)(2x²-2x+2+7x)=(x+1)(2x²+5x+x)               Ответ: - 1.                                 

Уравнения вида    ах⁴ + вх³ + сх² + вх + а = 0 , а≠ 0,  называются возвратными уравнениями четвертой степени.  Возвратные уравнения решаются методом введения новой переменной. Поскольку х = 0 не является корнем уравнения , то , разделив обе части уравнения на   х² , получим уравнение , равносильное исходному: ах² + а/х² + вх + в/х + с = 0. Перепишем уравнение в виде:     а [(х + 1/х)²  - 2 ] + в ( х + 1/х) + с = 0.      В этом уравнении сделаем замену           х + 1/х = у,  тогда получим квадратное уравнение     ау² + ву +с – 2а = 0.                                                                                 Если уравнение имеет два корня у₁   и у₂ , то исходное уравнение равносильно совокупности уравнений   х² - х у₁  + 1 = 0  и  х² - х у₂  + 1 = 0.                         Если же уравнение имеет один корень у₀ , то исходное уравнение равносильно уравнению х² - у₀х+ 1 = 0. Если уравнение не имеет корней, то и исходное уравнение не имеет корней.

Пример 3. Решить уравнение    х⁴ – 5х³ + 8х² – 5х- 1 =0.                                 Решение. Так как х= 0 не является его корнем, то , разделив уравнение на х², получим равносильное ему уравнение   х² – 5х + 8 – 5/х + 1/ х²= 0. Сгруппировав слагаемые, перепишем уравнение в виде                                      (х² + 1/ х²)² – 5 (х + 1/х) + 6 =0.                                                                          Пусть х + 1/х = у, получим уравнение    у² - 5у +6 = 0,    имеющее два корня  у₁= 2, у₂ = 3. Следовательно, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений    х + 1/х =2   и   х + 1/х =3.  Решение первого уравнения этой совокупности есть х₁ = 1, а решения второго есть х₂ =(3+√5)/2, х₃ =(3-√5)/2.   Следовательно, исходное уравнение имеет три корня.            Ответ: х₁ = 1, х₂ =(3+√5)/2, х₃ =(3-√5)/2.                                                              Пример 4. Решить уравнение    6x⁴-35x³+62x²-35x+6=0                                     (6x⁴+6)-(35x³+35x)+62x²=0                                                                                         6 (x⁴+1)-35 (x³+x)+62x²=0       Разделим обе части на x²                                          6 (x²+1/x²)-35(x+1/x)+62=0                                                                                        пусть t=x+1/x, тогда t²=(x+1/x)²=x²+2+1/x², то x²+1/x²=t²-2                                 6(t²+2)-35t+62=0;   6t²-12-35t+62=0;  6t²-35t+50=0;   D=1225-1200=25 t₁=(35+5)/12=40/12=10/3;   t₂=(35-5)/12=30/12=5/2;                                                 x+1/x=5/2;                            x+1/x=10/3                                                                   2x²-5x+2=0                           3x²-10x+3=0                                                                        D=25-16=9                            D=100-36=64                                                          x₁=(5+3)/4=2; x₂=(5-3)/4=1/2; x₃=(10+8)/4=3; x₄=(10-8)/4=1/3.                            Ответ: 1/3; 1/2; 2; 3.

Частным случаем возвратных уравнений являются симметрические уравнения   ax⁴+bx³+cx²+bx+a=0 и кососимметрические уравнения ax⁴+bx³+cx²-bx+a=0.     Заменой для симметрического и      для кососимметрического    уравнений эти уравнения сводятся к квадратным уравнениям.

Пример 5: Решить уравнение    x⁴-2x³-x²-2x+1=0

Разделим данное уравнение на x²    

Пусть . Тогда

;   t²-2-2t-1 =0;   t²-2t-3=0;   t₁=3; t₂=-1                                          При  t=3  ;  x²-3x+1=0;  D=9-4=5;                                   При  t=-1             x²+x+1=0;  D=1-4=-3<0 — корней нет        Ответ: .

Пример 6. Решить уравнение    6х⁴ – 5х³ – 38x² – 5х + 6 = 0.                    Решение.                                                                                                                        6х² – 5х – 38 – 5/х + 6/х² = 0.                                                                                        6(х² + 1/х²) – 5(х + 1/х) – 38 = 0.                                                                            Вводим t: подстановка (x + 1/x) = t. Замена: (x² + 1/x²) = t² – 2, имеем:             6t² – 5t – 50 = 0.                                                                                                            t = -5/2 или t = 10/3.                                                                                                Вернемся к переменной х. После обратной замены решим два полученных уравнения: 1) x + 1/x = -5/2;  х² + 5/2 х +1 = 0;  х = -2 или х = -1/2.                        2) x + 1/x = 10/3;  х² – 10/3 х + 1 = 0;  х = 3 или х = 1/3.                                    Ответ: -2; -1/2; 1/3; 3.

Пример 7. Решить уравнение    х⁴ – 7х³+14х² – 7х + 1 = 0                               Решение.                                                                                                                   Разделим данное уравнение на х² и получим: х² – 7х + 14 -   +  = 0 Группируем и выносим за скобки общий множитель, где это возможно.

(+) - 7()+14 = 0.   Пусть  = у, тогда уравнение примет вид            у² – 2 – 7у + 14 = 0;  у²  – 7у + 12 = 0; D = 1;  у₁= 4;  у₂ = 3                           Возвращаясь к нашей замене, получим                                                                   - 4 = 0   или    - 3 = 0                                                                                         D = 12                       D = 5                                                                                          х_1,2 =2±             х_3,4 =                                                                               Ответ: х_1,2 =2±; х_3,4 =

3. Графический метод.

Данный метод состоит в построении графиков и использовании свойств функций.

1.     Решить уравнение:   х⁵ + х – 2 = 0

Представим уравнение в виде х⁵  = - х + 2. Функция у = х⁵ является возрастающей, а функция у = - х + 2  -  убывающей.  Значит,  уравнение        х⁵ + х – 2 = 0 имеет единственный корень -1.

2.  Решить уравнение:                                                                Решение.
Перейдем к равносильному уравнению:
Можно заметить, что х=2 является решением данного уравнения. Давайте докажем, что это единственный корень.
Функция y=– возрастает на всей области определения.
Функция y=134−3x – убывает на всей области определения.
Тогда графики этих функций либо вообще не пересекаются, либо пересекаются в одной точке, это точку мы уже нашли х=2.
Ответ: х=2.

3.Решить уравнение:

4.Другие виды уравнений.

Решение уравнений вида:

1.     ;

2.    

3.      (х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = А, где а + d = c + b.

Уравнение  сводится к биквадратному, если сделать подстановку                                                                               Уравнение   ac=bd и т.д., тогда делим на x

Уравнения вида (х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = А, где а + d = c + b. Методика решения подобных уравнений заключается в частичном раскрытии скобок, а затем введении новой переменной.                                                                                          1. Решить уравнение:                                               Ответ: 6; 8

2. Решить уравнение:

                     Делим на

             Ответ: -6; -4;

3. Решить уравнение: (х + 1)(х + 2)(x + 3)(x + 4) = 24.                                            Решение. Вычисляем: 1 + 4 = 2 + 3. Группируем скобки по парам:                          ((х + 1)(x + 4))((х + 2)(x + 3)) = 24,  (х² + 5х + 4)(х² + 5х + 6) = 24.               Сделав замену х² + 5х + 4 = t, имеем уравнение t(t + 2) = 24, оно является квадратным:  t² + 2t – 24 = 0, t = -6 или t = 4.                                                   После выполнения обратной замены, легко находим корни исходного уравнения.                                                                                                                   Ответ: -5; 0.

Примеры для самостоятельного решения.

Решите уравнения:

1.     9х³ - 18х  = х – 2,

2.     х³ - х²  = х – 1,

3.      х³ - 3х² -3х + 1 = 0,

4.     Х ⁴ - 2х³  + 2х – 1 = 0,

5.     Х⁴  - 3х²  + 2 = 0,

6.     х⁵ + 5х³ - 6х²  = 0,

7.      х³  + 4х²  + 5х + 2 = 0,

8.     Х⁴ + 4х³ - х² - 16х – 12 = 0

9.      4х³ + х² - х + 5 = 0

10.  3х⁴ + 5х³ - 9х² - 9х + 10 = 0.

Ответы: 1) ±1/3; 2   2) ±1,  3) -1; 2 ±√3   ,    4) ±1,     5) ± 1; ±√2   ,    6) 0; 1          7)   -2; -1,     8) -3; -1; ±2,       9) – 5/4       10) -2; - 5/3; 1.

Уравнения вида (х + а)(х + в)(х + с)(х + d)… = А.

1.     (х + 1)(х + 3)(х + 5)(х + 7) = -15,

2.     х(х + 4)(х + 5)(х + 9) + 96 = 0,

3.      х(х + 3)(х + 5)(х + 8) + 56 = 0,

4.      (х – 4)(х – 3)(х – 2)(х – 1) = 24,

5.      (х – 3)(х -4)(х – 5)(х – 6) = 1680,

6.      (х² - 5х)(х + 3)(х – 8) + 108 = 0,

7.      (х  + 4)² (х + 10)(х – 2) + 243 = 0

8.      (х² + 3х + 2)(х² +  9х + 20) = 4, Указание: х  + 3х + 2 = (х + 1)(х + 2),

х² + 9х + 20 = (х + 4)(х + 5)

Ответы: 1) -4 ±√6; - 6; - 2.       6)  - 1; 6; (5± √97)/2      7)  -7; -1;  -4 ±√3.

Возвратные уравнения.

1. 78х⁴ - 133х³  + 78х²  - 133х + 78 = 0,

2. х⁴ - 5х³  + 10х²  - 10х + 4 = 0,

 3. х⁴ - х³  - 10х²  + 2х + 4 = 0,

 4. 6х⁴ + 5х³  - 38х²  -10х + 24 = 0,

 5. х⁴ + 2х³  - 11х²  + 4х + 4 = 0,

 6. х⁴ - 5х³  + 10х²  -10х + 4 = 0.

Ответы:  1)  2/3; 3/2,     2)  1;2      3) -1 ±√3;   (3±√17)/2,  4) -1±√3; (7±√337)/12        5)  1; 2; (-5± √17)/2,     6)  1; 2.

а)      х⁴ -3х² + 2 = 0,

б) х⁵ +5х³ -6х² = 0.

Ответы:  а)  ± 1; ±√2   ,  б) 0; 1.                                                                              Используя свойство монотонности функции, докажите, что уравнение имеет единственный корень, и найдите этот корень:

а) х³ = 10 – х,  б) х⁵ + 3х³ - 11√2 – х.

Ответы: а) 2,  б) √2.

Решите уравнение (х + 3)⁴ + (х + 5)⁴ = 16. Ответ: -5; -3.

Контрольная работа.

1 вариант.

1. Решите уравнение (х² + х) – 8(х² + х) + 12 = 0.

2. Решите уравнение (х + 1)(х + 3)(х + 5)(х + 7) = - 15.

3. Решите уравнение 12х²(х – 3) + 64(х – 3)² = х⁴.

4. Решите уравнение х ⁴ - 4х³ + 5х² - 4х + 1 = 0

5. Решите систему уравнений:        х² + 2у² - х + 2у = 6,

                                                                  1,5х² + 3у² - х + 5у = 12.

2 вариант

1.  (х² - 4х)² + 7(х² - 4х) + 12 = 0.

2. х(х + 1)(х + 5)(х + 6) = 24.

3. х⁴ + 18(х + 4)² = 11х²(х + 4).

4. х⁴ - 5х³ + 6х² - 5х + 1 = 0.

5. Решите систему уравнений:   х² - 2ху + у² + 2х²у – 9 = 0,                                                  х – у – х²у + 3 = 0.

3 вариант. 

1. (х² + 3х)² - 14(х² + 3х) + 40 = 0

2. (х – 5)(х-3)(х + 3)(х + 1) = - 35.

3. х4 + 8х²(х + 2) = 9(х+ 2)².

4. х⁴ - 7х³ + 14х² - 7х + 1 = 0.

5. Решите систему уравнений:     х + у + х² + у² = 18,    ху + х² + у² = 19.

4 вариант.

1.     (х² - 2х)² - 11(х² - 2х) + 24 = о.

2.     (х -7)(х-4)(х-2)(х + 1) = -36.

3.     х⁴ + 3(х -6)² = 4х²(6 – х).

4.     х⁴ - 6х³ + 7х² - 6х + 1 = 0.

5.     Решите систему уравнений:    х² + 3ху + у² = - 1,  2х² - 3ху – 3у² = - 4.

Ответы и указания:

Заключение.

Практически всё, что окружает нас, связано в той или иной мере с математикой. А достижения в физике, технике, информационных технологиях только подтверждают это. И что очень важно – решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.

В данной работе на конкретных примерах рассмотрели различные способы решения уравнений. Все указанные способы позволяют понизить степень уравнения и свести решение его к решению квадратного или линейного уравнения.

Заниматься решением уравнений высших степеней можно на факультативных занятиях, спецкурсах в старших классах. Хорошо подготовленные ученики с интересом изучают этот материал, а затем представляют одноклассникам решённые уравнения. Данный материал дает возможность подготовиться к ЕГЭ.

Список используемой литературы

1.     Адамская Н. Алгебра и математический анализ: Тематическое планирование. Контрольные работы. Математика, 2000. - №28.

2.     Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч.1 Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень). А.Г. Мордкович. Изд. «Мнемозина», 2010.

3.     Бородин А.И., Бугай А.С. Биографический словарь деятелей в области математики.

4.     Галицкий М.Л. и др. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа: Метод. рекомендации и дидакт. материалы: Пособие для учителя. – М.: Просвещение, 1990.

5.     Звавич Л. И., Шляпочник Л. Я., Чинкина М. В., Алгебра и начала анализа 8–11. Дидактические материалы, М: Дрофа, 1999.

6.     Зильберберг Н.И. Урок математики: Подготовка и проведение: Кн. для учителя. – М.: Просвещение: АО «Учеб. лит.», 1995.

7.     Ивлев Б. М., Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа: учебное пособие для 10–11 классов средней школы, М: Просвещение, 1990.

8.     Математика. Интенсивный курс подготовки к экзамену. О. Ю. Черкасов, А. Г. Якушев. Москва, изд. “Айрис”, 1997.

9.     Профильное обучение математике старшеклассников. Учебно-дидактический комплекс. – Новосибирск. Сиб. унив. изд-во, 2003.

10. Тумаркин Л.А. «История математики», Москва, 1975 г.

11. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. пособие для 10 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1989.