Многогранник

Деятельность учителя

Деятельность учеников

Мотивационно – ориентировочный этап

Актуализация:

(Предваряющее домашнее задание: повторить определения многоугольника, выпуклого и невыпуклого многоугольников.)

- На партах у учащихся лежат модели геометрических фигур

Учитель: На  какие две группы можно их разделить?

- выберите из моделей плоских фигур многоугольники, назовите их  номера

- выберите из многоугольников выпуклые многоугольники, назовите их номера

Ученики: плоские(1-6)и объемные(7-22)

Многоугольники: 2,4,5,6

Выпуклые:2,6

- Какой многоугольник называется выпуклым?

- Посмотрите на модели объёмных тел. На какие две группы их можно разбить?

Фигуры 1 группы имеют специальное название – многогранники

- Выпуклым называется многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

1 группа: состоят их многоугольников – 8, 9, 11-22

2 группа: не состоят из многоугольников – 7,10

Мотивация

- Многогранные формы окружают нас повсюду. Почти все сооружения, возведённые человеком, от древнеегипетских пирамид до современных небоскребов, имеют форму многогранников. Многогранные формы встречаются у многих минералов.Благодаря изяществу своих форм, многогранники вошли в искусство, живопись, скульптуру.

Учебная задача урока:Сегодня на уроке необходимоизучить понятие  многогранника.

Содержательный этап

Поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело, будем называть многогранной поверхностью или многогранником.

- Многоугольники, из которых составлен многогранник, называют гранями.

- Стороны граней называют ребрами многоугольника 

- Концы ребер называют вершинами многоугольника

- Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника.

Многогранники аналогичны многоугольникам. Поэтому они также могут быть выпуклыми и невыпуклыми

Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани, в противном случае он не выпуклый.

-Выберете из  предложенных  фигур выпуклые многогранники

- 8, 9,11,13,14, 16, 17,18, 21, 22

-Ребят, как думаете, какими многоугольниками являются грани выпуклого многогранника?

-Откуда это следует?

-Правильно, запишем теорему: все грани выпуклого многогранника являются выпуклыми многоугольниками.

- Рассмотрим плоские углы при некоторой вершине выпуклого многогранника. «Разрежем» многогранник вдоль ребер.Развернем все грани с этой общей вершиной так, чтобы они оказались расположенными в одной плоскости. Что мы тогдаможем сказать про сумму всех плоских углов при вершине? Она меньше какой градусной меры?

-Правильно, запишем еще одну теорему: В выпуклом многограннике сумма всех плоских углов при каждой его вершине меньше .

Далее запишем, что является сечением многогранника. Плоскость, по обе стороны от которой имеются точки многогранника, называется секущей плоскостью, а общая часть многогранника и секущей плоскости – сечением многогранника.

Нужно отметить, что существует взаимосвязь между числом граней, ребер и вершим многогранника.

Теорема Эйлера: В любом выпуклом многограннике сумма числа граней и числа вершин больше числа ребер на 2.

Давайте проверим эту теорему на известных вам многогранниках

-Вернемся к моделям выделенных вами выпуклых многогранников. Разбейте их на группы.

- Рассмотрим подробнее 1 группу многогранников. У таких многогранников есть специальное название – призма. В жизни вы встречаетесь с разными формамипризм.

Давайте попробуем изобразить призму.

1.    Изображаем многоугольник .

2.     Из  каждой вершины многоугольника проводим прямые, попарно параллельные, и откладываем на них равные отрезки .

3.    Соединяем вершины отрезками, получаем многоугольник, равный исходному.

Выделим невидимые ребраштриховыми линиями.

-Итак, мы получили призму. Скажите, какой многогранник называется призмой?

- Равные многоугольники  и призмы, а параллелограммы – боковыми гранями.

Отрезки называются боковыми ребрами призмы.

Свойство: Боковые ребра призмы равны и параллельны.

Доказательство:

- Какие фигуры представляют собой боковые грани призмы?

-Чем являются боковые ребра в этих параллелограммах?

-Какой вывод можно сделать?

-В зависимости от фигуры, лежащей в основании, призма имеет соответствующее название. Если в основании лежит треугольник – треугольная, если четырехугольник – четырехугольная и т.д.

-С какими призмами вы уже знакомы?

-Как и в некоторых многоугольниках, так и в призме вводится понятие высоты.

Высотой в призме называется перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания

-Сколько высот можно провести в призме?

Как связаны все высоты призмы и почему?

-Ребят, обратимся к нашим моделям. На какие 2 группы вы можете разбить ранее выделенные нами призмы?

-Итак, все призмы разбираются на наклонные и прямые.

- Прямой называется призма, боковые ребра которой перпендикулярны плоскости основания. В противном случае призма называется наклонной.

Свойства прямой призмы:

1.                 Высота призмы равна боковому ребру.

2.                 Боковые грани перпендикулярны к основаниям.

3.                 Боковые грани – прямоугольники.

4.                 Углы основания являются линейными углами соответствующих двугранных углов при боковых рёбрах.

Доказательство:

1. - Чем является высота в призме?

- Как расположены боковые ребра в прямой призме?

- Верно ли тогда 1 свойство?

2. По определению прямой призмы боковые ребра как расположены относительно оснований?

- Боковые грани содержат боковые рёбра? Как они тогда расположены по отношению к основаниям?

3. Чем являются боковые грани в призме?

- Но у прямой призмы боковые ребра, являющиеся сторонами боковых граней, перпендикулярны к основаниям. Какие тогда по виду боковые грани?

4. Что называется линейным углом двугранного угла?

-Что следует из перпендикулярности боковых ребер основанию призмы?

-То есть чем являются ребра основания призмы?

- Иногда в основании прямой призмы лежит правильный многоугольник. Такую призму тогда называют правильной.

- Сформулируйте определение правильной призмы?

Свойства правильной призмы:

1.     1. Боковые грани – равные прямоугольники.

2.     2. Двугранные углы при боковых рёбрах равны.

Доказательство:

1.     Чем являются основания правильной призмы?

Как связаны их стороны?

- Какой вывод можно тогда сделать про боковые грани правильной призмы?

2.     Чем являются основания правильной призмы?

Как связаны их углы?

- Какой вывод можно тогда сделать про двугранные углы при боковых ребрах правильной призмы?

- Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех её граней:

.

Площадью боковой поверхности призмы является сумма площадей всех ее боковых граней.

Для прямой призмы справедлива следующая теорема: Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы:.

Дано: - прямая призма

Доказать:

Доказательство: Рассмотрим на примере треугольной призмы, для остальных случаев доказательство аналогично.

-Что является площадью боковой поверхности призмы?

-Чем являются боковые грани прямой призмы?

-Запишите площади боковых граней.

-Чем являются , в призме?

-Сложите площади боковых граней. Как можно преобразовать выражение?

№220

Основанием прямого параллелепипеда является ромб с диагоналями 10 см и 24 см, а высота параллелепипеда равна 10 см. Найдите большую диагональ параллелепипеда

Дано:ABCDA₁B₁C₁D₁ – прямой параллелпипед,ABCD– ромб, АС=10 см, BD= 24 см,h_парал.=10 см

Найти: большую диагональ параллелепипеда

Прямой параллелепипед – параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны к плоскости основания, а в основании лежит параллелограмм.

(выпуклыми)

(из определения выпуклого многоугольника)

Ученики записывают теорему в канву-таблицу.

(меньше 360°)

Ученики записывают теорему в канву-таблицу

Ученики записывают теорему в канву-таблицу

1 группа - многогранники, у которых в параллельных плоскостях лежат равные многоугольники, а остальные все грани параллелограммы -8, 14, 16, 17, 21.

2 группа – многогранники, у которых есть вершина, в которую приходят ребра из каждой другой вершины- 9, 13, 22.

3 группа –другие выпуклые многогранники –11, 15, 18

(Призма – это многогранник, состоящий из двух равных n-угольников, расположенных в параллельных плоскостях, и из n параллелограммов).

-

параллелограммы

Противоположными сторонами

- боковые ребра равны и параллельны по определению и признакам параллелограмма.

(параллелепипед, куб – четырехугольные призмы)

(бесконечно много)

Высоты призмы между собой равны по свойству отрезков параллельных прямых, расположенных между параллельными плоскостями.

- Первая группа – призмы, у которых боковые ребра наклонены к основанию под острым углом - 8,14,17

Вторая группа – призмы, у которых боковые ребра образуют с  основанием прямой угол- 16, 21.

Ученики записываю свойства в канву- таблицу

Из определений прямой призмы и высоты призмы, боковые ребра перпендикулярны к основанию и являются высотой в призме.

Да, верно

-боковые ребра перпендикулярны к плоскости основания.

- да

- Тогда  по признаку перпендикулярности плоскостей боковые грани перпендикулярны основаниям.

-параллелограммами

-прямоугольники, т.к. углы прямые и противоположные стороны равны

-2 перпендикуляра из разных плоскостей двугранного угла к общему ребру.

-то, что ребра перпендикулярны каждому ребру основания

-лучами линейных углов двугранных углов.

(Правильной называется прямая призма, основаниями которой являются правильные многоугольники.)

Ученики записывают свойства в канву- таблицу

Правильные многоугольники

Стороны между собой равны

Боковые грани – равные прямоугольники, т.к. противоположные стороны прямоугольника равны.

Правильные многоугольники

Углы равны

Равные, т.к. углы между смежными сторонами

(сумма площадей всех ее боковых граней)

(прямоугольниками)

(

(высотой-h)

Решение:

1.     В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁

4 диагонали: AC₁, A₁C,BD₁, B₁D.

_2.        Т.к. ABCDA₁B₁C₁D₁ – прямой параллелпипед, то AA₁C₁C и BDD₁B₁ - прямоугольники, тогда AC₁=A₁C, BD₁=B₁D, так как являются диагоналями прямоугольников AA₁C₁C и BDD₁B₁

3.     AA₁ = DD₁ –перпендикуляры к плоскости (ADC), BD>AC, тогда BD₁>A₁C как сами наклонные.

4.     Т.к. ABCDA₁B₁C₁D₁– прямой параллелепипед, то DD₁= h_парал.=10 см

5.   Рассмотрим DBD₁-прямоугольный:BD₁= см

Ответ: 26  см

Рефлексивно-оценочный этап

- Итак, какова была цель урока?

- Достигли мы цели?

- Как мы её достигли? Какие многогранники изучили?

-изучить понятие многогранника.

-Да

- Выпуклые и невыпуклые.

-. Призма – это многогранник, состоящий из двух равных многоугольников  и , расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов

Призма бывает правильной, прямой, наклонной.

Домашнее задание: §1, п.27, п. 29-30, учить записи в тетради и канве-таблице №219, №223

№219

В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 12 см и 5 см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45. Найдите боковое ребро параллелепипеда.

Дано: –прямоугольныйпараллелепипед.

 см

BC=5 см

Найти:

Решение: 1) Т.к. –прямоугольный параллелепипед, то

2) D- прямоугольный: ÐC=90°, ÐA=45°ÞÞ

Ответ: 13 см

№223. Через два противолежащих ребра куба проведено сечение, площадь которого равна 64. Найдите ребро куба и его диагональ.

 Дано:  –куб, =64

Найти:AB,C

Решение:

1. Так как –куб, =,,

 (ABC), то

2. = 64, AC – диагональ квадрата ABCD, AC=AB и,  значит  == 64

3. Так как –куб, то  см

Ответ: AB=8 cм, см

Тема урока:  ……………..

Многогранник – это…,составленнаяиз …и ограничивающая некоторое … …..

Виды многогранников:

…

…

… , соединяющий… вершины, … одной грани, называется диагональю многогранника.

Теорема: Все грани выпуклого многогранника являются … ….

Теорема: Сумма всех … углов при … вершине меньше….

Призма – это …, состоящий из двух …… и , расположенных в… плоскостях, и n…

ребра - ,

грани - ,

2 основания -

Боковые грани-……………………..

Боковые ребра -………………………..

Высота-………………………………

Свойство:Боковые ребра призмы ... и ….

Виды призм:

                 ...

Если боковые… призмы ... к основаниям,  то призма называется ...

Свойства:

1.      Высота ... призмы … ее …. ребру.

2.      Боковые …    перпендикулярны к …..

3.      Боковые грани – …..

4.      Углы основания являются   ….                  углами соответствующих    …..  углов при боковых …...

...

    Если боковые … призмы  ….  к  основаниям,  то призма

называется ...

Если в … прямой призмы лежит …  многоугольник, тогда такую призму называют ….

Свойства:

1.                 У ... призмы … боковые … – … прямоугольники

2.                 …..     углы при ….   рёбрах равны.

Площадь полной поверхности призмы - … площадей … граней.

Формула:

Площадь боковой поверхности призмы -… площадей всех ее … граней.

Теорема: В прямой призме площадь боковой поверхности .......

Тема урока:Многогранник. Призма

Многогранник – это поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело.

Виды многогранников:

Выпуклые

Невыпуклые

Отрезок, соединяющий2 вершины, не принадлежащиеодной грани, называется диагональю многогранника.

Теорема: Все грани выпуклого многогранника являются выпуклыми многогранниками.

Теорема: Сумма всех плоских углов при каждой вершине меньше 360°.

Призма – это многогранник, состоящий из двух равных многоугольников  и , расположенных в параллельных плоскостях, и nпараллелограммов

 2 основания -

Боковые грани -

Боковые ребра -

Высота -

Свойство:Боковые ребра призмы равны и параллельны

Виды призм:

                 Прямая

Если боковыеребра призмы перпендикулярны к основаниям,  то призма называется прямой.

Свойства:

5.      Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.

6.      Боковые грани перпендикулярны к основаниям.

7.      Боковые грани – прямоугольники.

8.      Углы основания являются линейными углами соответствующих двугранных углов при боковых рёбрах.

Наклонная

    Если боковые

ребра призмы  не перпендикулярны  к  основаниям,  то призма

называется наклонной.

Если в основании прямой призмы лежит правильный многоугольник, тогда такую призму называют правильной.

Свойства:

3.                 У правильнойпризмывсе боковые грани–равныепрямоугольники

4.      Двугранные     углы при боковых  рёбрах равны.

Площадь полной поверхности призмы –сумма площадей всех ее граней.

Формула:.

Площадь боковой поверхности призмы -… площадей всех ее боковых

 граней.

Теорема: В прямой призме площадь боковой поверхности равна .