Моделирование процессов с помощью уравнений гиперболического типа

Моделирование процессов с помощью уравнений гиперболического типа

Колебание струны

С помощью дифференциальных уравнений описываются погодные процессы (перенос теплого и холодного воздуха), конвективные процессы (процессы обмена слоями воздуха или газа в жидкости). Наличие турбулентности (присутствие вихря) приводит к тому, что трудно рассчитать, в какой точке какая будет температура. Кроме уже выделенных уравнений для описания конвективных процессов добавляются ещё дополнительные уравнения, т.е. модель усложняется.

Системой дифференциальных уравнений  описывают тепловые процессы  в таких областях как авиа и ракетостроение. Например, топливный бак подвергается значительному механическому и тепловому воздействию.

Классическая задача колебания струны состоит в следующем: струна с концами А,В закреплена в точках А и В, либо подвергается механическому воздействию в этих точках, при этом точка А или точка В начинает отклонятся от положения равновесия. Это отклонение можно обозначить какой-нибудь функцией, например функцией U. Тогда классической задачей о поведении струны при механическом воздействии называется следующая задача: решается уравнение второго порядка

 которое описывает отклонение от положения равновесия точек внутри струны.

Начальные условия: (условие начального слоя)

Краевые условия: - левое граничное условие

                                 - правое граничное условие.

Решить эту задачу, значит найти отклонение положения струны от равновесия, т.е. найти U в каждый момент времени.

Алгоритм

Задаём массивы (3 массива) –для хранения данных каждого из 3-х слоёв.

U1 – задаёт условия начального слоя;

U2 – определяется функцией на следующем слое (втором);

U3 – определяется значение на следующем слое (третьем).

1.     U1 –задано функцией

2.      _t=0 = g(x) ; это   отсюда нам необходимо выразить U2[x] (самостоятельно)

Благодаря этому условию, мы можем посчитать значения второго слоя.

4. Открываем цикл по времени

  for k;2 to n do

   begin

3. Распишем   основное уравнение  

Выразив  U3[x], мы можем  в цикле (for x:=0 to n-1 do) посчитать все значения отклонения для каждой точки х на третьем слое, за исключением правой граничной точки на этом же слое.

4.Для нахождения значения в правой  граничной  точке мы используем правой граничное условие, например , т.е. мы знаем значения в  крайней  правой точке стержня равной b для любого момента времени. (возможно будет дана не функция а её производная, тогда необходимо её расписать и выразить U3 в точке b ).

Затем вывод U3 и переприсваивание массивов:U1:=U2, U2:=U3;

Закрываем цикл по времени.

Программа на Pascal аналогична первой (для уравнения теплопроводности), составить самостоятельно.