Моделирование математических задач в среде MS Excel

Моделирование математических задач в среде MS Excel Математическая   модель   –   описание   объекта   или   процесса   математическими   формулами, связывающими их количественные параметры [1].  Многие объекты можно описать математическими формулами, связывающими их параметры. Эти формулы   составляют   математическую   модель   оригинала.   По   формулам   можно   сделать   расчеты   с различными значениями параметров и получить количественные характеристики модели. Расчеты в  свою очередь, позволяют сделать выводы и обобщить их [2]. Электронная таблица является эффективным средством проведения численного моделированияя ситуации или объекта, для математического описания которых используются ряд параметров. Табличный процессор MS Excel позволяет провести быстрый расчет меняя исходные значения известных параметров модели. Рассмотрим следующий пример численного моделирования в среде MS Excel. Задача. Чтобы из квадратного картонного листа со стороной а сделать коробку по углам вырезают  четыре квадрата и склеивают коробку по сторонам вырезов. Какова должна быть сторона вырезаемого  квадрата, чтобы коробка имела наибольшую вместимость [3]? Рисунок – 1 Для решения задачи составим математическую модель в  MS Excel. Моделирование в электронной таблице проведем в четыре этапа: постановка задачи, разработка модели, компьютерный эксперимент и анализ результатов [2]. 1. Постановка задачи [2]. Заданный объект: Квадратный лист (рис. 1). ­ ­ Моделируемы объект: Коробка (ящик). ­ Цель   моделирования:   Найти   сторону   вырезаемых   квадратов,   которые   обеспечивают максимальную вместимость моделируемой коробки. ­ Как можно определить максимальный объем коробки? Меняя размер (х) вырезаемого квадрата проследить как изменяется ее объем. ­ Как изменяется размер выреза (х)?  В интервале (0; a/2) с шагом Δх. ­ Какие параметры коробки меняются при изменении выреза? При изменении размера вырезаемого квадрата (х) изменяются площадь дна (S) и объем коробки (V). ­ Какие   ограничения   существуют   при   вычислении?   Вычисляемое   значение   сторон   основания коробки (квадрат)  (b) не должно быть отрицательным числом (b>0) 2. Разработка модели Информационная модель:  Объект Параметры Квадратный лист Вырезаемый квадрат название Сторона a Сторона х Шаг изменения Δх значение Исходные данные Расчетные данные Исходные данные 1 Коробка Сторона  b Площадь S Объем V Расчетные данные Расчетные данные Результат Формулы для расчетов:  b=a­2*x – сторона основания коробки S=b2 – площадь основания коробки V=S*x – объем коробки Здесь a – сторона заданного квадратного листа, х – сторона вырезаемых квадратов.  Значение  х  меняется от 0 до a/2 с шагом Δх: x=x+ Δх Компьютерное моделирование: Исходные данные Промежуточные вычисления (показаны формулы) 3. Компьютерный эксперимент.  Меняя значения a и Δх в ячейках B4 и  B5 проводим серию вычислении (например, при a=18; 24; 30, ... Δх=1; 0,5; 0,25, ...) При a=18, Δх=1: Результаты вычислении При a=18, Δх=0,5: 2 При a=24, Δх=0,5: Результаты вычислении При a=24, Δх=0,25: 4. Анализ результатов моделирования. Эксперимент Δх Сторона вырезаемого квадрата  х a=18 a=24 a=30 Δх=1 Δх=0,5 Δх=0,25 Δх=1 Δх=0,5 Δх=0,25 Δх=1 Δх=0,5 Δх=0,25 3 3 3 4 4 4 5 5 5 Наибольший объем коробки V 432 432 432 1024 1024 1024 2000 2000 2000 Выводы: Чтобы из квадратного картонного листа сделать коробку наибольшего объема из его углов нужно вырезать квадраты, сторона которых будет равна 1/6 части заданного листа. Покажем   достоверность   полученных   результатов   математическим   способом   решения задачи, основываясь на тему нахождения  наибольшего значения функции. Нахождение  наибольшего  и наименьшего  значении  функций  используются  при решении практических задач [1]. При компьютерном моделировании была использована формула вычисления объема коробки V=S∙x, т.е. V(х)=S∙x=(a­2x)2∙x=(a2­4ax+4x2) ∙x= a2x­4ax2+4x3, где  х ∈  (0; a/2). Тепер найдем производную функции V(х):  V '(х)=a2­8ax+12x2 Решаем уравнение V '(х)=a2­8ax+12x2=0; найдем критические точки: x1=a/6; x2=a/2;   Выбираем точку, принадлежащую в (0; a/2):    a/6 ∈  (0; a/2). На (0; a/2) при  х0; а при  х>a/6  выполняется V'(х)>0; значит функция  V(х) в точке x=a/6 достигает наибольшего значения. V(a/6)=(a­2∙ a/6)2 ∙a/6  = 2∙ a3/27 3 Это доказывает истинность результатов компьютерного эксперимента: При a=18   высота коробки  x=3; объем коробки  V(3)= 2∙ 183/27=432 При a=24 высота коробки  x=4; объем коробки    V(4)= 2∙ 243/27=1024 При a=30 высота коробки  x=5; объем коробки    V(5)= 2∙ 303/27=2000 Ответ: a/6 Задания для проектной деятельности  . 1. В прямоугольном треугольнике  задана длина гипотенузы  с. Найти  длины катетов, при которых треугольник имеет наибольшую площадь.   2. Среди прямоугольников, периметры которых равны  а, найти прямоугольник, имеющий наибольшую площадь [4]. 3. Вписать прямоугольник наибольшей площади в остроугольный треугольник с основанием а и высотой h [4]. 4. Найти радиус цилиндра наибольшего объема, вписанного в сферу с радиусом R [4]. 1. http://festival.1september.ru/articles/607393/ 2. Информатика и ИКТ. Задачник по моделированию. 9­11 класс. Базовый уровень /Под.ред. проф. Н.В. Макаровой. Питер, ­2007. ­192с.: ил. Ссылка на литературу 3. Алгебра и начала анализа 10 класс. Общественно гуманитарное направление/Под ред. Абылкасымова А., Шойынбеков К., Есенова М., Жумагулова З., 2010 год, «Мектеп», с 192. 4. Алгебра   и   начала   анализа.   10   класс.   Учебник   для   общеобразовательных   организаций, Издание 3. Под ред.Шыныбекова А.Н Алматы: Атамура, 2014 год, С. 336. 4