Мультимедийное пособие «Решение метапредметных задач повышенно сложности. Экономические задачи: кредиты»

Проектная деятельность как средство формирования  метапредметных знаний  и умений по математике.  Мультимедийное пособие  «Экономические задачи: кредиты».   Малышева Ирина Николаевна учитель математики высшей категории  МБОУ СОШ №3  г. Вязьмы  2018 год

Метапредметные  умения  –  это  такие  способы  действия,  применимые  как  в  рамках   образовательного  процесса,  так  и  при  решении  различных  жизненных  ситуаций, освоенные обучающимися в течение образовательного процесса.  Они выражаются в:   образовательной  что  обучающийся умеет находить средства для собственного продвижения, развития; свою  образовательную траекторию, создавать необходимые для собственного развития  ситуации и адекватно их реализовать;   образовательной  которая  подразумевает,  самостоятельности,  инициативе,  т.е.  в  умении  выстраивать   образовательной  ответственности  ­  умении  принимать  для  себя  решение  о  готовности действовать в нестандартных ситуациях

Эффективным  умений  обучающихся  позволяющий  рассматривать  изучаемые  объекты,  законы,  процессы  и  явления  системно  в  процессе активной познавательной деятельности обучающихся.  системно­деятельностный  метапредметных  подход,  инструментом  формирования  является  Обеспечить активную познавательную позицию обучающихся в процессе  изучения  ими  математики  возможно  посредством  проектной  деятельности,  которая  позволяет реализовать большой творческий потенциал и ученика, и учителя. Ученик при этом воспринимает знания не как сведения для запоминания, а как  знания, которые он осмысливает и может применить в реальной жизни.

Одним из направлений применения метапредметных  умений в математике является  усиление  прикладной  направленности  и  появление  множества  задач  практического  содержания.    Такого рода задачи появились в итоговых контрольно­измерительных материалах по  математике  ОГЭ,  ЕГЭ,  это  задачи  на  умение  использовать  приобретённые  математические знания в повседневной жизни.  Данные  задания  позволяют  развить  метапредметные  компетенции,  показать  связь  математики  с  жизнью,  что  обуславливает  усиление  мотивации  к  изучению  самого  предмета,  поэтому  современный  урок  должен  быть  связан  не  только  с  усвоением  школьниками  определённой  суммы  знаний,  но  и  целостным  развитием  личности,  её  познавательных и созидательных способностей.

Можно привести много примеров таких практических задач.  семьи  сумму  оплаты  Это  задачи  по  энергосбережению,  на  тему  покупок,  на  нахождение  количества  за  израсходованную  лекарства.  Нужно  посчитать  электроэнергию, количество объектов, при заданной сумме имеющихся денег и цене  товара,  количество  объектов  при  возрастании  или  снижении  цены  на  определённое  количество  процентов,  на  вычисление  количества  лекарства  необходимого  выпить  больному,  когда  известна  ежедневная  доза  необходимая  больному.  В  условиях  предлагаются  текущие  и  прошлые  показания  счётчика,  а  также  стоимость  одного  киловатта  электроэнергии.  Причём  в  задачах  ЕГЭ  разграничивается  тариф  на  дневной и ночной. Задачи  статистического  характера  о  нахождение  группы  жителей,  по  известному  количеству всех жителей и процентному составу различных групп.  Задачи  экономического  характера  о  банковских  вкладах  или  кредитах  с  известной  процентной ставкой.

Какая может быть задача №17 Тип задания по кодификатору требований­ задания на использование приобретенных знаний и умений в практической  деятельности и в повседневной жизни: •  анализ реальных числовых данных и информации статистического характера; •  осуществление практических расчетов по формулам;  • использование оценки и прикидки при практических расчетах. Текстовая задача на использование приобретенных знаний и умений в  Характеристика задания практической деятельности и в повседневной жизни, обычно с экономическим  содержанием. Комментарий Относительно сложная текстовая задача, связанная с банковскими кредитами,  оптимизацией производства или затрат на него

Критерии проверки задания №17 Критерии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния задания Баллы Обоснованно по­лу­чен пра­виль­ный ответ. Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой  модели и получен результат: — неверный ответ из­за вычислительной ошибки;  — верный ответ, но решение недостаточно обосновано Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой  модели, при этом решение может быть не завершено Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из критериев, пе­ре­чис­лен­ных выше. Максимальный балл 3 2 1 0 3

Основные ошибки, допущенные участниками экзамена • неверное составление математической модели; • • прекращение решения на промежуточном шаге, то есть без  вычислительные (арифметические) доведения ответа до числового значения;  • решение методом перебора без обоснования единственности; • использование в решении без вывода формул для задач о  кредитовании, отсутствующих в учебниках (решение имеет вид  «формула – ответ»), что можно трактовать как отсутствие  построения математической модели задачи.

Что необходимо знать и понимать •   1%  ­ одна сотая часть чего­либо За 100% принимаем величину, с которой сравниваем Формулы для подсчета процентов: • Если величину S увеличить на а%, то получим S+  а= S(1+ ) • Если величину S уменьшить на а%, то получим S­ а= S(1­) • Если величину S дважды увеличить на а%, то получим  S • Если величину S дважды уменьшить на а%, то получим  S

Задачи на кредиты Платежи равными взносами (аннуитетные) Формулировка задачи – в начале года долг  увеличивается на r % по сравнению  с концом прошлого года;  – до конца каждого года  необходимо выплатить одним  платежом часть долга.  Найти общую сумму платежей,  внесенных клиентом, после  погашения кредита, если все  ежегодные платежи равны  между собой. Уменьшение долга каждый год на одну и туже  величину (дифференцированные) Формулировка задачи – в начале года долг увеличивается на r %  по сравнению с концом прошлого года;  – до конца каждого года необходимо  выплатить одним платежом часть долга;  – после внесения платежа каждый год  долг должен быть на одну и ту же  величину меньше долга на конец  предыдущего года.  Найти общую сумму внесенных платежей  после погашения кредита.

Условные обозначения, используемые при решении задач •   S – величина (сумма, тело) кредита  r%­процентная ставка банка q= 1+ ­ во столько раз банк увеличивает долг ежегодно (ежемесячно)  ­ на такую величину долг в конце каждого года (месяца) будет меньше  долга на конец предыдущего года(месяца) (дифференцированные  платежи) n­ срок кредитования(количество лет, месяцев) а­ величина первого транша (большие числа лучше заменить буквой, чтобы избежать громоздких  выкладок) в – величина второго транша Х­ ежегодная (ежемесячная) выплата по кредиту (аннуитетные платежи)

Задача №17 пробного ЕГЭ 2018 года В июле планируется взять кредит в банке на сумму 3,5 млн. рублей на  7 лет. Условия его возврата таковы:  каждый январь долг возрастает на 16% по сравнению с концом  предыдущего года;  с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;  в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину  меньше долга на июль предыдущего года. Сколько миллионов рублей составила общая сумма выплат после  погашения кредита? Большой объем информации, содержащейся в задаче, требует систематизации и  визуализации. Используем инфографику.

Инфографика аа  — это графический способ подачи информации,  Инфогр фика данных и знаний, целью которого является быстро и чётко  преподносить сложную информацию.  https://ru.wikipedia.org/wiki/Инфографика Инфографика – способ визуализации данных.  Цель хорошей инфографики: донести информацию до читателя (или, в  данном случае, скорее, зрителя) наиболее полно и быстро.

В июле планируется взять кредит в банке на сумму  3,5 млн. рублей на 7 лет июль я н в июль я н в июль Инфографика задачи я н в июль я н в июль я н в июль я н в июль я н в июль S Sq      q      q        q        q        q        q 0 1    выплата Sq ­    2    выплата q ­  3    выплата q ­  4    выплата q ­  5    выплата  q ­  6    выплата  q ­S 7    выплата q ­ 0  млн. руб.­на такую величину долг в июле каждого года будет меньше долга на июль предыдущего  S=3,5 млн. рублей­величина кредита;   q= 1+ ­ во столько раз банк повышает долг ежегодно  года;

Снятие информации со схемы •   Долг на июль каждого года, млн. рублей: S; 0. Долг на январь каждого года, млн. рублей: Sq;  q;  q;  q;  q;  q;  q. Выплаты с февраля по июнь каждого года, млн. рублей: Sq ­ q ­ q ­ q ­  q ­ q ­ q ­ 0

Составим общую сумму выплат и преобразуем ее •   (Sq ­ )+(q ­ )+(q ­ )+(q ­ )+( q ­ )+(q ­ )+ +(q – 0)=  (Sq+q+q+q+ q +q +q) – (0)= = q(7+6+5+4+3+2+1) ­ (6+5+4+3+2+1+0)=  q­  = 4q­3= (4q­3 Сумма семи первых членов арифметической прогрессии   = 3,5*(4*(1+) – 3)= 3,5*(4+­3)=3,5*(1+)=*=5,74 И так, общая сумма выплат после погашения кредита составила 5,74  млн.рублей. Ответ: 5,74 млн.рублей.

Что необходимо знать и понимать при решении задач на  погашение кредита равными платежами Задание 17 № 517573 В июле 2020 года планируется взять кредит на некоторую сумму.  Условия возврата таковы: • — в январе каждого года долг увеличивается на 30% по сравнению с  предыдущим годом; • — с февраля по июнь нужно выплатить часть долга одним платежом. Определите, на какую сумму взяли кредит банке, если известно, что  кредит был выплачен тремя равными платежами (за 3 года) и общая  сумма выплат на 78 030 рублей больше суммы взятого кредита.  Ответ: 119 700 рублей.

Условные обозначения, используемые при решении  задачи •   S – величина (сумма, тело) кредита  r%­процентная ставка банка q= 1+ ­ во столько раз банк увеличивает долг ежегодно (ежемесячно) Х­ ежегодная выплата по кредиту (аннуитетные платежи)

Инфографика задачи Июль 2020  года  Янв 2021 Июль 2021  года  Янв 2022 июль2022  года  Янв 2023 июль2023  года  S   Sq Sq­Х (Sq­Х)q (Sq­Х)q­Х ((Sq­Х)q­Х)q ((Sq­Х)q­Х)q­Х 1 выплата Х 2 выплата Х 3 выплата Х S, рублей­величина кредита (вопрос задачи);    q= 1+= ­ во столько раз банк повышает долг ежегодно; Х, рублей ­ ежегодная выплата по кредиту  ((Sq­Х)q­Х)q­Х=0

Снятие информации со схемы Через год после начисления процентов и выплаты суммы Х рублей  размер долга составит Sq­Х, рублей. Тогда через два года размер долга составит (Sq­Х)q­Х, рублей. Через три года: ((Sq­Х)q­Х)q­Х, рублей. Тогда общая сумма выплат после полного погашения кредита через  три года равна 3Х= S + 78 030   Так как кредит выплачен за три года, то  ((Sq­Х)q­Х)q­Х=0

Преобразования •    ((Sq­Х)q­Х)q­Х=0 Х= из 3Х= S + 78 030 получаем Можно заметить: ()(q­1)= ­1, тогда Х=  = =  = S + 78 030 Вспоминаем, что q= 1+   = . Вычисляем и получаем, что кредит в банке взяли на сумму 119 700  рублей. Ответ: 119 700 рублей

Тренируемся  Задание 17 № 512462 Анатолий  решил  взять  кредит  в  банке  331000  рублей  на  3  месяца  под  10%  в  месяц. Существуют две схемы выплаты кредита. По  первой  схеме  банк  в  конце  каждого  месяца  начисляет  проценты  на  оставшуюся  сумму  долга  (то  есть  увеличивает  долг  на  10%),  затем  Анатолий  переводит  в  банк  фиксированную  сумму  и  в  результате  выплачивает  весь  долг  тремя равными платежами (аннуитетные платежи). По  второй  схеме  тоже  сумма  долга  в  конце  каждого  месяца  увеличивается  на  затем  уменьшается  на  сумму,  уплаченную  Анатолием.  Суммы,  10%,  а  выплачиваемые  в  конце  каждого  месяца,  подбираются  так,  чтобы  в  результате  сумма  долга  каждый  месяц  уменьшалась  равномерно,  то  есть  на  одну  и  ту  же  величину (дифференцированные платежи). Какую схему выгоднее выбрать? Ответ: выгодна вторая схема. 2100 рублей.

Задача №17 на кредиты (долг в соответствии с данной таблицей)  Задание 17 № 514627 В июле 2016 года планируется взять кредит в банке в размере S тыс. рублей,  где S — натуральное число, на 3 года. Условия его возврата таковы − каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего  года; − с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть  долга; − в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со  следующей таблицей Месяц и год Июль 2016 Июль 2017 Июль 2018 Июль 2019 Долг (в тыс. рублей) S 0,7S 0,4S 0 Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет составлять  целое число тысяч рублей. Ответ: 200.

Работа с таблицей  Выплата с    февраля по  июнь 1,15S­ 0,7S= =0,45 S=  Долг в  январе  2018г 0,7S +15% от 0,7S это 0,805S  Выплата с    февраля по  июнь 0,805S­ 0,4S= =0,405 S=  Выплата с    февраля по  июнь 0,46S=  Долг в  январе  2019г 0,4S  + 15% от 0,4S это 0,46 S  Долг в  январе  2017г S  + 15% от S это 1,15S

Снятие информации со схемы •   Долг перед банком (в тыс. рублей) по состоянию на июль каждого года  уменьшается до нуля следующим образом: S; 0,7S; 0,4S; 0 По условию, в январе каждого года долг увеличивается на 15% значит, долг в  январе каждого года равен (в тыс. рублей): 1,15S; 0,805S ;0,46 S Выплаты с февраля по июнь каждого года составляют (в тыс. рублей): По условию, S — натуральное число числа и каждая из выплат ­ целое  число тысяч рублей. Значит, число S должно делиться на 20, 200 и 50. Наименьшее общее кратное этих  чисел равно 200. Итак, наименьшим значением S, при котором каждая из выплат будет составлять  целое число тысяч рублей, является 200 тыс.рублей. Ответ: 200

Задачи для тренировки Задание 17 № 513107 В июле планируется взять кредит в банке на сумму 28 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его  возврата таковы: — каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; — в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. Чему будет равна  общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 9 млн рублей?  Ответ: 80,5. Задание 17 № 517575 Взяли кредит в банке на сумму 250 000 рублей под r% процентов годовых и выплатили за 2 года платежами 150 000 рублей  в первый год и 180 000 рублей — во второй. Найдите r. Ответ: 20%. Задание 17 № 517569 В июле планируется взять кредит в банке на сумму 18 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его  возврата таковы: — каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; — в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. На сколько лет был взят кредит, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составила 27 млн рублей?  Ответ: 9.

Задание 17 № 515671 31  декабря  2014  года  Олег  взял  в  банке  некоторую  сумму  в  кредит  под  некоторый  процент  годовых.  Схема  выплаты  кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть  увеличивает долг на а%), затем Олег переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по 328 050 рублей, то  выплатит долг за 4 года. Если по 587 250 рублей, то за 2 года. Найдите а. Ответ: 12,5. Задание 17 № 516764 Дмитрий  взял  кредит  в  банке  на  сумму  270  200  рублей.  Схема  выплата  кредита  такова:  в  конце  каждого  года  банк  увеличивает на 10 процентов оставшуюся сумму долга, а затем Дмитрий переводит в банк свой очередной платеж. Известно,  что  Дмитрий  погасил  кредит  за  три  года,  причем  каждый  его  следующий  платеж  был  ровно  втрое  больше  предыдущего.  Какую сумму Дмитрий заплатил в первый раз? Ответ дайте в рублях. Ответ: 26 620 руб. Задание 17 № 513923 В июле 2016 года планируется взять кредит в размере 4,2 млн. руб. Условия возврата таковы:  — каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года.  — с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга. — в июле 2017, 2018 и 2019 годов долг остается равным 4,2 млн. руб.  — суммы выплат 2020 и 2021 годов равны. Найдите r, если долг выплачен полностью и общие выплаты составили 6,1  млн. рублей. 10%   Задание 17 № 514620 Вклад в размере 10 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает вклад на  10% по сравнению с его размером в начале года. Кроме того, в начале третьего и четвёртого годов вкладчик пополняет  вклад на х млн рублей, где х — целое число. Найдите наименьшее значение х, при котором банк за четыре года начислит на  вклад больше 6 млн рублей. Ответ: 5.

Образовательные ресурсы • Асмолов  А.Г.  Формирование  универсальных  учебных  действий  в  основной  школе:  от   действия  к  мысли.  Система  зада­ний:  пособие  для  учителя  /  А.Г.  Асмолов.  М.:   Просвещение,  2010.  • Н.Громыко Статья «Метапредметный подход в образовании при реализации новых  образовательных стандартов» http://docme.ru/KX0 • О развитии ключевых компетенций у учащихся при решении задач // Математика в школе. –  2010. ­ № 5. – С. 28­32. 7. Хуторской А.В. Метапредметное содержание и результаты  образования: как реализовать федеральные государственные образовательные стандарты  (ФГОС) //  • Хуторской А.В. Метапредметное содержание и результаты образования: как реализовать  федеральные государственные образовательные стандарты (ФГОС) //  http://www.eidos.ru/journal/2012/0229­10.htm • https://ege.sdamgia.ru/

Спасибо за  внимание