Свойство корня n-ой степени

Здравствуйте, ребята!
Мы сегодня с вами делаем новый виток в изучении функций, их графиков и свойств.
Эпиграфом к нашему уроку я предлагаю взять слова
М. В. Ломоносова
"Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит".

Поэтому, чтобы понимать, что мы будем делать на уроке, давайте сформулируем цели нашего урока:
- рассмотреть свойства и график корня n-ой степени как функции обратной степени с натуральным показателем;
- применять свойства функции при решении задач, строить графики.

Ребята, для изучения новой функции необходимо вкратце вспомнить всё, что мы с вами уже выучили по теме «Функции, их свойства и графики». Пройдите тестирование, которое предусматривает знания следующих понятий.

Если возникли сложности с определённым понятием, нажмите на кнопку с его названием.

Область определения D(f)  – это все значения, которые может принимать независимая переменная.

Функция задана аналитически:
Если функция, содержит дробь со знаменателем, в котором есть  x , то знаменатель дроби не может быть равен нулю. Если функция, содержит корни четной степени с x, то подкоренное выражение должно быть неотрицательно.
Область определения функции, представленной многочленом — это все действительные числа.
Функция задана графически:
Область определения рассматривается, как проекция графика функции на ось Ох

Область значений функции E(f) – это все значения, которые принимает зависимая переменная.

Область значений
рассматривается, как проекция графика функции на ось Оу

Если же функция f(x) задана графически, то нулями функции будут точки пересечения графика функции с осью Ох
На рисунке нули функции отмечены красными точками

Чтобы найти нули функции f(x), заданной аналитически, нужно решить уравнение f(x) = 0.

Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство
f(-x) = f(x).

Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство
f(-x) = - f(x).

График четной
функции
симметричен
относительно
оси ординат.

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Функция называется возрастающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Функция называется убывающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

Если функция возрастает на всей области определения, то ее называют возрастающей функцией, а если убывает, то убывающей функцией. Обычно термины «возрастающая функция», «убывающая функция» объединяют общим названием монотонная функция.

Промежутки знакопостоянства - это промежутки, в которых функция принимает значения только одного знака (либо положительные, либо отрицательные)

Как найти интервалы знакопостоянства функции, заданной аналитически?
Алгоритм метода интервалов:
1) Находим область определения функции.
2) Находим нули функции (точки пересечения графика с осью абсцисс).
3) Чертим числовую прямую и указываем на ней точки разрыва (если они есть), а также нули функции (если они есть). Определяем знаки функции на интервалах, которые входят в область определения.

Если функции, задана графически, то
интервалы знакопостоянства:- это интервалы, где график функции
расположен
ВЫШЕ оси абсцисс
для f(x) > 0 (розовым)и
НИЖЕ оси абсцисс
для f(x) < 0 (голубым)

Вс­пом­ним ос­нов­ное опре­де­ле­ние:

Кор­нем n-ой сте­пе­ни из неот­ри­ца­тель­но­го числа а при чет­ном n на­зы­ва­ют такое неот­ри­ца­тель­ное число, ко­то­рое при воз­ве­де­нии в степень n дает в ре­зуль­та­те число a. Записывается так: 𝑛 a 𝑛𝑛 𝑛 a a 𝑛 a

Тогда как же выглядит график этой функции и каковы ее свойства?

Из опре­де­ле­ния сле­ду­ет важ­ный вывод:

На мно­же­стве зна­че­ний 𝑥𝑥∈ 0; +∞ 0; +∞ +∞ +∞ 0; +∞  су­ще­ству­ет функ­ция  𝑦𝑦= 𝑛 𝑥 𝑛𝑛 𝑛 𝑥 𝑥𝑥 𝑛 𝑥  при n=2,3,4, …, т. е. при любом на­ту­раль­ном n, не рав­ном еди­ни­це.

Записываем тему урока:

Функции 𝒚𝒚= 𝒏 𝒙 𝒏𝒏 𝒏 𝒙 𝒙𝒙 𝒏 𝒙 , их свойства и графики.

Вспомним степенную функцию y = xn, где n – натуральный показатель и построим ее график.
Рассмотрим случаи, когда:
n – четное натуральное число и n – нечетное натуральное число.

Область определения. Функция y = xn (n – натуральное число)
определена при всех x, т.е. D(у) – множество R.
Нули функции. Функция обращается в нуль при x = 0.
Знакопостоянство.
Если n четно, то y ≥ 0 при всех x.
Если n нечетное, то y < 0 при x < 0 и y > 0 при x > 0.
Монотонность.
Если n четно, то y убывает на промежутке (–∞; 0] и возрастает на промежутке [0; +∞).
Если n нечетное, то y возрастает на всей числовой оси.

Рассмотрим y = xn, при x ∈ [0; ∞) она монотонна ⟹ функция обратима
Найдем обратную функцию. Для этого из равенства y = xn выразим х: х  𝑛 у 𝑛𝑛 𝑛 у у 𝑛 у
Выполним замену х → у получим y  𝑛 х 𝑛𝑛 𝑛 х х 𝑛 х - обратная функция
График обратной функции y  𝑛 х 𝑛𝑛 𝑛 х х 𝑛 х симметричен графику функции y = xn относительно
прямой у = х

Рассмотрим свойства функции y  𝑛 х 𝑛𝑛 𝑛 х х 𝑛 х для четных и нечетных
показателей корня.

Функция y = 𝟐𝐤 х 𝟐𝟐𝐤𝐤 𝟐𝐤 х х 𝟐𝐤 х , где k ∊ N
1. Область определения функции: D  [0; ∞).
2. Множество значений функции: E(y)  [0; +∞).

Наибольшее  и  наименьшее значения функции:
При x  0 функция принимает наименьшее значение y  0.
Наибольшего значения у функции не существует.
3. Нули функции: y  0 при x  0, значение x  0 является единственным нулем функции.

4. Промежутки знакопостоянства функции: y > 0 при всех x ∈ (0; +∞ ).
5. Промежутки монотонности функции: функция возрастает на всей области определения.
 6. Четность (нечетность) функции.
Функция не является четной и не является нечетной, т.к. область определения функции не симметрична относительно начала координат.
7. Ограниченность функции: функция ограничена снизу и не ограничена сверху.

8. График функции. Графики функций y xn при n  2, n  4, n  6 изображены на рисунке.

1. Область определения функции: D(у)  (−∞; ∞).
2. Множество значений функции: E(y)  (−∞; +∞).
Наибольшее  и  наименьшее значения функции:
Наибольшего значения у функции не существует.

3. Нули функции: y  0 при x  0,
значение x  0 является единственным нулем функции.
4. Промежутки знакопостоянства функции:
y > 0 при всех x ∈ (0; +∞ ); y < 0 при всех x ∈ (-∞; 0).
5. Промежутки монотонности функции:
Функция возрастает на всей области определения.

6. Четность (нечетность) функции: функция является нечетной.
Её график симметричен относительно начала координат.
7. Ограниченность функции: Функция не ограничена.
8. График функции: Графики функций y  𝑛 х 𝑛𝑛 𝑛 х х 𝑛 х при n  3, n  5 изображены на рисунке.

Предлагаю рассмотреть типичные задания по изучаемой нами теме.

h(x) = 𝟐𝟐 𝟖 х 𝟖𝟖 𝟖 х х 𝟖 х + 3;
а) Множеством значений функции y  8 х 8 8 х х 8 х
является промежуток [0; +∞), т.к. 8 х 8 8 х х 8 х ≥ 0.
По свойству неравенств: 2 8 х 8 8 х х 8 х ≥ 0;
2 8 х 8 8 х х 8 х + 3 ≥ 3,
значит, E (h) = [3; +∞)

f(x) = 𝟓 х 𝟓𝟓 𝟓 х х 𝟓 х – 7
б) Множеством значений функции y  5 х 5 5 х х 5 х
является множество всех действительных чисел (−∞; ∞).
Значит, и множеством значений функции f(x) = 5 х 5 5 х х 5 х – 7
является множество всех действительных чисел,
т. е. Е (f) = (−∞; ∞)

f(х) = 3 𝟔 х 𝟔𝟔 𝟔 х х 𝟔 х + 7
Сначала найдём множество значений функции, а потом выбираем наименьшее число из области значений.
Так как функция 6 х 6 6 х х 6 х ≥ 0, при x  0, то
3 6 х 6 6 х х 6 х ≥ 0,
3 6 х 6 6 х х 6 х + 7 ≥ 7.
Следовательно, наименьшее значение данной функции равно 7 и достигается при x  0.
Ответ: 7.

у = 6 2 𝑥 2 −3х+1 6 6 2 𝑥 2 −3х+1 2 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −3х+1 6 2 𝑥 2 −3х+1
у = 0, если 6 2 x 2 −3х+1 6 6 2 x 2 −3х+1 2 x 2 x x 2 2 x 2 −3х+1 6 2 x 2 −3х+1 = 0;
2х2 – 3х + 1 = 0;
Его корни x1  1 и x2  0,5 являются нулями функции у = 6 2 𝑥 2 −3х+1 6 6 2 𝑥 2 −3х+1 2 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −3х+1 6 2 𝑥 2 −3х+1
Ответ: 0,5; 1.

Запишем числа 6 6 6 6 ; 2 6 3 6 6 3 3 6 3 ; 3 15 3 3 15 15 3 15 в виде корней с одинаковыми показателями:
6 6 6 6 = 6 6 3 6 6 6 3 6 3 6 6 3 3 6 3 6 6 3 = 6 216 6 6 216 216 6 216
2 6 3 6 6 3 3 6 3 = 6 2 6 ∙3 6 6 2 6 ∙3 2 6 2 2 6 6 2 6 ∙3 6 2 6 ∙3 = 6 192 6 6 192 192 6 192
3 15 3 3 15 15 3 15 = 6 15 2 6 6 15 2 15 2 15 15 2 2 15 2 6 15 2 = 6 225 6 6 225 225 6 225
Теперь сравним подкоренные выражения
192 < 216 < 225 ⟹ 6 192 6 6 192 192 6 192 < 6 216 6 6 216 216 6 216 < 6 225 6 6 225 225 6 225 ,
Значит 2 6 3 6 6 3 3 6 3 < 6 6 6 6 < 3 15 3 3 15 15 3 15 , поскольку функция f(x)  6 х 6 6 х х 6 х возрастает на промежутке [0; ∞)
Ответ: 2 6 3 6 6 3 3 6 3 ; 6 6 6 6 ; 3 15 3 3 15 15 3 15 ..

Как правило в этом задании мы просто пользуемся правилами геометрических преобразований графиков функций, чаще всего – это сдвиг вдоль осей координат и растяжение или сжатие
Построим график функции f(х ) = 𝟒 х 𝟒𝟒 𝟒 х х 𝟒 х



2) а) f(х) = 4 х 4 4 х х 4 х + 2
График функции f(х) = 𝟒 х 𝟒𝟒 𝟒 х х 𝟒 х + 2 получается из графика функции f(х ) = 4 х 4 4 х х 4 х сдвигом на 2 единицы вверх вдоль оси ординат.
2) б) f(х) = 4 х+2 4 4 х+2 х+2 4 х+2
График функции f(х) = 𝟒 х+𝟐 𝟒𝟒 𝟒 х+𝟐 х+𝟐𝟐 𝟒 х+𝟐 получается из графика функции f(х ) = 4 х 4 4 х х 4 х сдвигом на 2 единицы влево вдоль оси абсцисс

Как правило в этом задании мы просто пользуемся правилами геометрических преобразований графиков функций, чаще всего – это сдвиг вдоль осей координат и растяжение или сжатие
Построим график функции f(х ) = 𝟒 х 𝟒𝟒 𝟒 х х 𝟒 х



2) а) g(х) = 𝟑 х 𝟑𝟑 𝟑 х х 𝟑 х – 2
График функции g (х) = 𝟑 х 𝟑𝟑 𝟑 х х 𝟑 х – 2 получается из графика функции f(х ) = 4 х 4 4 х х 4 х сдвигом на 2 единицы вниз вдоль оси ординат
2) б) g(х) = 3 х−2 3 3 х−2 х−2 3 х−2
График функции g(х) = 3 х−2 3 3 х−2 х−2 3 х−2 получается из графика функции f(х ) = 4 х 4 4 х х 4 х сдвигом на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс

а) f(х ) = 5 х 5 5 х х 5 х
Так как областью определения функции f(х) = 5 х 5 5 х х 5 х есть множество всех действительных чисел (т.е. симметрична относительно начала координат) и f(х) = 5 −х 5 5 −х −х 5 −х = – 5 х 5 5 х х 5 х = – f(х) – функция нечетная.
б) р(х ) = 10 х 10 10 х х 10 х
Так как областью определения функции р(х) = 10 х 10 10 х х 10 х есть промежуток [0; ∞) и область определения функции не симметрична относительно начала координат, то функция
р(х ) = 10 х 10 10 х х 10 х – ни четная, ни нечетная.
в) h(х ) = 5 х 5 5 х х х х 5 х
Так как областью определения функции h(х) = 5 х 5 5 х х х х 5 х есть множество всех действительных чисел и h(–х) = 5 −х 5 5 −х −х −х −х 5 −х = 5 х 5 5 х х х х 5 х = h(х) – функция четная.

Ребята, пора подвести итог урока. Для этого я предлагаю вам ответить на несколько моих вопросов в формате диалога.

«Музыка может возвышать или умиротворять душу, живопись – радовать глаз, поэзия пробуждать чувства, философия – удовлетворять потребности разума, инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни людей, а математика способна достичь всех этих целей»
Морис Клайн

Друзья, наш урок подошел к концу! Записываем домашнее задание.

Домашнее задание:
Выучить определение и свойства функции y  𝑛 х 𝑛𝑛 𝑛 х х 𝑛 х .
Решить задания для самостоятельного решения.

Оцените своё настроение и эмоциональное состояние после проведённого урока (выберите левой кнопкой мыши соответствующее изображение) и отправьте мне в личном сообщении вместе с выполненным заданием.

Выход

Я рада, что тебе всё понравилось!
Желаю успехов в дальнейшем обучении!

У тебя всё получается, и даже если ты допускаешь ошибку, то всегда можно еще раз подумать и исправить ее. Желаю успеха!

Может быть, не всё идет так гладко, как хотелось бы и иногда досадные мелочи портят настроение. Не расстраивайся, немного усилий и сложная задача станет легче, а с ее решением улучшится и настроение. Желаю успехов и хорошего настроения!

Не отчаивайся! Математика не всегда дается с первого раза, но если приложить усилия и проявить терпение, то непонятное - станет ясным, а сложное - простым. Не опускай руки и рано или поздно у тебя всё получится. Желаю тебе упорства и успехов на сложном, но очень интересном пути!