Олимпиада по математике

Критерии оценивания Задания математических олимпиад являются творческими, допускают  несколько различных вариантов решений. Кроме того, необходимо оценивать  частичные продвижения в задачах (например, разбор важного случая,  доказательство леммы, нахождение примера и т.п.). Наконец, возможны  логические и арифметические ошибки в решениях. Окончательные баллы по  задаче должны учитывать все вышеперечисленное. В соответствии с регламентом проведения математических олимпиад  каждая задача оценивается из 7 баллов. Соответствие правильности решения и выставляемых баллов приведено в таблице.  Баллы 7 6­7 5­6 4 2­3 0­1 0 0   Правильность (ошибочность) решения Полное верное решение Верное   решение.   Имеются   небольшие   недочеты,   в   целом   не влияющие на решение. Решение   в   целом   верное.   Однако   решение   содержит существенные ошибки либо пропущены случаи, не влияющие на логику рассуждений.  Верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев, или в задаче типа «оценка + пример» верно получена оценка.  Доказаны   вспомогательные   утверждения,   помогающие   в решении задачи. Рассмотрены   отдельные   важные   случаи   при   отсутствии решения (или при ошибочном решении). Решение неверное, продвижения отсутствуют. Решение отсутствует. Важно отметить, что любое правильное решение оценивается в 7 баллов.  Недопустимо снимать баллы за то, что решение слишком длинное, или за то,  что решение отличается от приведенного в методических разработках или от  других решений, известных членам комиссии.  В   то   же   время   любой   сколь   угодно   длинный   текст   решения,   не содержащий полезных продвижений, должен быть оценен в 0 баллов. Олимпиада по математике Задания (...5  1. На доске написано уравнение   ответе сказано, что x=2. Найти недостающее число.  )21(4)1 x )(3 xx 2  80 ,причём в  2. Поставьте вместо звездочек в выражение   *+ ** + *** + **** = 3330 десять различных цифр так, чтобы получилось верное равенство. 3. Найти   сумму   всех   трёхзначных   чисел,   произведение   цифр   которых равно 6. 4. Упростить:   347  2 3  2  .3 5. Даны два различных числа х и у (не обязательно целых) таких, что  х2 – 2012 х = у2 – 2012 у. Найдите сумму х и у. 6. Сколько цифр содержит число  7. Можно ли расставить в таблице 4Х4 различные натуральные числа от 1  до 16 так, чтобы во всех квадратиках 2Х2 сумма чисел делилась на 17? 5 54  ?    13 8. Запишите число 10 с помощью семи "4", знаков арифметических  действий и запятой. 9. Четыре семьи, дружившие между собой, держат по 10 различных  животных. Их питомцы – белки, кролики, хомяки и ежи. Каждая семья  держит разное число животных разных видов – от одного до четырех, и  в разных семьях разное количество зверушек одного вида. Определите,  сколько и каких животных в каждой семье, если известно, что:  у Ивановых, Сидоровых и Петровых ежей не по два;  у Ивановых и Петровых кроликов, а у Кузнецовых кроликов и  хомяков не по одному;  в семьях Сидоровых, Петровых и Кузнецовых живут не по три  белки;  В семьях Ивановых и Петровых хомяков не по два и не по четыре. Ответы. 1. Решение: Пусть недостающее число m, тогда  m xx )(3 2  (5 уравнение относительно m:  )21(4)1 x   80 (5 . Подставим значение x=2, получим  m , отсюда m=6. )41(43)6 2  80   2. Например, 5 + 40 + 367 + 2918 = 3330. 3. Решение: Найдём все трёхзначные числа, произведение цифр которых  равно 6. 6=611=321. Итак, таких чисел будет девять: 611, 161, 116,  321, 312, 231, 213, 132, 123. Их сумма равна 2220.  Ответ: 2220. 4.  347  2 3  2  3  347   2(  2 )3 2  3  2  3  1 5. Ответ: 2012. Решение: Преобразуем исходное уравнение: х2 – у2 = 2012 (х – у). Так  как числа х и у различны, то можно разделить обе части уравнения на  х –у, получим х +у =2012.  6. Ответ: 13 цифр. Решение:  5 54  =( 13 2  ) 10 5 10 35 = 10  =1 250 000 000 000.  10 5 3 7. Ответ: Можно. Решение: Один из примеров расстановки на рис. 1 12 9 4 16 5 8 13 3 10 11 2 14 7 6 15 8. Решение: 44.4/4­4.4/4 9. Ответ: Семья  животные итого белки кролики хомяк ежи 3 Ивановы 4 Сидоровы Петровы 2 Кузнецовы 1 2 1 4 3 и 1 2 3 4 4 3 1 2 10 10 10 10