Олимпиадные задания по математике

Задания для проведения школьного этапа Всероссийской олимпиады школьников по математике в 2016/2017 учебном году (10 классы) 1. Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 120 км/ч, вторую треть – со  скоростью 50 км/ч, а последнюю – со скоростью 75 км/ч. Найти среднюю скорость  автомобиля на протяжении всего пути. Ответ: 72 км/ч. 2. На фабрике посуды 6% произведенных кастрюль имеют дефект. При контроле  качества продукции выявляется 90% дефектных кастрюль. Остальные кастрюли  поступают в продажу. Найти вероятность того, что случайно выбранная при покупке  кастрюля не имеет дефектов (ответ округлить до сотых). Ответ: 0,99 3. Решите систему уравнений:                                           (x+y)(x+y+z)=72,                                           (y+z)(x+y+z)=120,                                           (x+z)(x+y+z)=96.     Ответ: (2, 4, 6) или (­2, ­4, ­6) Решение: Сложив все три уравнения системы, получим уравнение (х+у+z) (2x+2y+2z)=288, из которого   найдем х+у+z=12 или х+у+z= ­12. Подставляя вместо  х+у+z числа 12 и ­ 12, получим в первом случае: x= 2,y= 4,z= 6, а во втором: x= ­2,y=  ­4,z= ­6. 4. Точка Д – середина стороны АС треугольника АВС, ДЕ и ДF – биссектрисы  треугольников АДВ и СДВ. Доказать, что ЕF параллельна АС. Решение: По свойству биссектрисы треугольника BE: EA= BD:DA= BD:DC= BF :FC.  Отсюда следует, что EF параллельна АС. 5. Решите в целых числах уравнение x² ­ 3xy + 2y² =7.    Ответ: (­5;­6), (5;6), (13;6), (­13;­6). Решение: Разложим ­3ху на два слагаемых –ху и ­2ху. Тогда получим:  х²­ху­2ху+2у²=7. Сгруппируем  и вынесем за скобки (х­у) и получим: (х­у)(х­2у)=7.  Учитывая, что 7=1∙7=7∙1= ­1∙(­7)= ­7∙(­1), получим следующие четыре системы  уравнений:     х­у=1,               х­у=7,               х­у= ­1,               х­у= ­7,     х­2у=7,             х­2у=1,             х­2у= ­7,             х­2у= ­1. Решая данные системы, найдем решения уравнения: (­5;­6), (5;6), (13;6), (­13;­6). Задания для проведения школьного этапа Всероссийской олимпиады школьников по  математике в 2016/2017 учебном году (11 классы) 1. Вследствие инфляции цены выросли на 150%. Государственная Дума потребовала  от правительства возвращения цен к прежнему уровню. На сколько процентов должны  быть уменьшены цены для этого? Ответ: 60%. 2. Найти наибольшее значение выражения  4 2 2 х  2 у  х  4 у  6 Ответ: 4 Решение: Выделить полный квадрат в знаменателе   (1 )1 х . С использованием полного квадрата получим  2 х х  2  и 2 2 у  4 у  у 4 ( 2 )2 4 ( у  4  2 )2  1 ( х  2 )1  3. Постройте график функции: у = + 4 sin4 x  2 cos 2 x  3 4 cos 4 x  2 cos . 2 x  3   Ответ: графиком функции является прямая, заданная уравнением у = 4 Решение: y=                 y=                y=  4 sin4 x  2 cos 2 x  3 4 sin4 x  sin42 2 x 4 cos x  2 cos 2 x  3 4 cos 4 x  4 cos 2 x  1 4 + + 3  + sin4 x                y= 2sin²x+1+2cos²x+1                y=4  ­ это прямая, параллельная оси абсцисс. sin4 cos cos 1 4 4 x x x 4  2  4  2  1 4. В треугольной пирамиде SABC провели биссектрисы SM (в грани SAB) и SN (в грани SAC). Оказалось, что MN||BC. Докажите, что у пирамиды есть два ребра одинаковой  длины. Решение: Из того, что MN||BC следует, что BM : AM=CN : AN. По свойству биссектрис BS : AS=BM : AM и CS : AS=CN : AN. Отсюда BS : AS=CS : AS. Значит, BS=CS, что и  требовалось доказать. 5. Десять машин выпускают одинаковые резиновые мячи массой по 10 г каждый. Одна  из машин испортилась и стала выпускать мячи массой по 5 г.  Как найти  испортившуюся машину с помощью одного взвешивания мячей? Ответ: Возьмем от первой машины один мяч, от второй – два, от третьей – три и т.д.,  от десятой –   десять. Найдем их общую массу. Это взвешивание будет единственным.  Если бы все мячи были массой по 10г, то весы показали бы 10(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)=550 (г). Если первая машина допускает брак, то общая  масса станет меньше на 5г, если вторая, то на 10г, и т.д., если десятая, то на 50г.  Таким образом, по массе 55 мячей можно узнать, какая машина испортилась.