Опорный конспект по алгебре по теме «Экстремум функции» (10 класс)

Определение.  Экстремум функции Точку x = x1 называют точкой минимума функции y = f(x), если у этой точки существует  окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f (x) ≥ f(x0). Точку x = x1 называют точкой максимума функции y = f(x), если у этой точки существует  окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f (x) ≤ f(x0). Точки минимума и максимума функции объединяют общим термином – точки экстремума  (от латинского слова экстремум, что означает крайний).   Теорема                                   Если функция y = f (x) имеет экстремум в точке x = x0, то в этой точке производная  функции либо равна нулю, либо не существует. Внутренние точки области определения, в которых производная функции равна нулю,  называют стационарными, а внутренние точки области определения, в которых функция  непрерывна, но производная не существует, называют критическими. Теорема 5. Пусть функция y = f (x) непрерывна на промежутке X и имеет внутри  промежутка стационарную или критическую точку x =x0. Тогда: если у этой точки  существует такая окрестность, в которой при x< x0 выполняется неравенство f'(x)< 0, а при  x> x0 – выполняется неравенство f'(x)> 0, то x =x0 – это точка минимума функции y = f (x);  если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x< x0 выполняется  неравенство f'(x)> 0, а при x> x0 – выполняется неравенство f'(x)< 0, то x =x0 – это точка  максимума функции y = f (x); если у этой точки существует такая окрестность, что в ней и  слева и справа от точки x0 знаки производной одинаковы, то в точке x0 экстремума нет. На практике удобнее применять условную схему для знаков производной. Алгоритм исследования непрерывной функции y = f (x) на монотонность и  экстремумы. Пример. Пример.