Опорный конспект по алгебре по теме «Экстремум функции» (10 класс) помогает учащимся эффективно усваивать новый учебный материал и упорядочить самостоятельную работу по устранению пробелов в математической подготовке. Конспект содержит образцы решений типовых примеров и упражнений, дается алгоритм выполнения элементарных операций для решения любой из задач, принадлежащих данному типу.
Определение.
Экстремум функции
Точку x = x1 называют точкой минимума функции y = f(x), если у этой точки существует
окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f (x) ≥ f(x0).
Точку x = x1 называют точкой максимума функции y = f(x), если у этой точки существует
окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f (x) ≤ f(x0).
Точки минимума и максимума функции объединяют общим термином – точки экстремума
(от латинского слова экстремум, что означает крайний).
Теорема
Если функция y = f (x) имеет экстремум в точке x = x0, то в этой точке производная
функции либо равна нулю, либо не существует.
Внутренние точки области определения, в которых производная функции равна нулю,
называют стационарными, а внутренние точки области определения, в которых функция
непрерывна, но производная не существует, называют критическими.
Теорема 5. Пусть функция y = f (x) непрерывна на промежутке X и имеет внутри
промежутка стационарную или критическую точку x =x0. Тогда: если у этой точки
существует такая окрестность, в которой при x< x0 выполняется неравенство f'(x)< 0, а при
x> x0 – выполняется неравенство f'(x)> 0, то x =x0 – это точка минимума функции y = f (x);
если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x< x0 выполняется
неравенство f'(x)> 0, а при x> x0 – выполняется неравенство f'(x)< 0, то x =x0 – это точка
максимума функции y = f (x); если у этой точки существует такая окрестность, что в ней и
слева и справа от точки x0 знаки производной одинаковы, то в точке x0 экстремума нет.
На практике удобнее применять условную схему для знаков производной.Алгоритм исследования непрерывной функции y = f (x) на монотонность и
экстремумы.
Пример.
Пример.