Определители

Методические указания к практическому занятию

по теме «Определители»

(Раздел. Элементы линейной алгебры)

Учебная дисциплина: Математика СПО

Разработано преподавателем Загурской А.А.

1 Цели

1.1 В ходе выполнения работы студенты осваивают:

1.1.1 Общие компетенции:

- Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество

- Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность

- Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознано планировать повышение квалификации

1.2 В результате выполнения работы студенты:

1.2.1 Осваивают умения:

- производить операции над матрицами и определителями

1.2.2 Усваивают знания:

- основных понятий и методов линейной алгебры

2 Дидактическое обеспечение

2.1 Карточка с заданиями

3 Форма организации – индивидуальная

4 Инструктаж

4.1 Получить задание и послушать порядок выполнения работы, а также критерии оценки

4.2 В тетради для практических работ указать номер, тему и вариант практической работы

4.3 Изучить методические рекомендации и пособие.

4.4 Приступить к выполнению задания

5 Порядок выполнения

5.1 Практическая работа составлена в виде карточек с заданиями (6 вариантов). В каждой карточке два задания: выполнить действия над матрицами, вычислить определитель матрицы.

5.2 Для выполнения первого задания необходимо вспомнить порядок выполнения арифметических действий, а также правила сложения (вычитания) матриц, умножение матрицы на число и правило умножения двух матриц.

5.3 Во втором задании требуется вычислить определитель используя общее правило его вычисления, а именно разложением по строке или столбцу.

6 Методические рекомендации - см. приложения

7 Форма отчета - работа выполняется в течение 90мин в тетради для практических работ и сдается преподавателю на проверку

8 Контрольные вопросы

Не предусмотрены

Критерии оценок

5 (отлично) – Работа выполнена в полном объеме, аккуратно, без арифметических ошибок.

4 (хорошо) – Работа выполнена в полном объеме, аккуратно, допущены арифметические

ошибки, не нарушающие основной алгоритм решения.

3 (удовлетворительно) – Работа выполнена не в полном объеме или допущены ошибки, приводящие к нарушению алгоритма в одном, двух заданиях.

2 (неудовлетворительно) – Выполнено одно задание или неверно применен алгоритм во всех заданиях.

Тема: Определители

Квадратной матрице А порядка n можно сопоставить число detA (или , или ), называемое ее определителем, следующим образом:

1.     n=1; А=(а₁);  detA=а₁

2.     n=2; А=;  detA==а₁₁а₂₂ - а₁₂а₂₁

    Пример:     А=;  = -18- (-6)=-12         

3.     n=3; А=;

detA=а₁₁ а₂₂ а₃₃ + а₁₂ а₂₃ а₃₁ +а₂₁ а₃₂ а₁₃  –а₃₁ а₂₂ а₁₃ –а₂₁ а₁₂ а₃₃ –а₃₂ а₂₃ а₁₁

    Пример:     А=;

    =2∙1∙(-3)+(-1)∙(-4)∙2+(-3)∙0∙1-1∙1∙2-(-3)∙(-1)∙(-3)-0∙(-4)∙2= -6+8-0-2+9-0=9.

Для удобства вычисления и более легкого запоминания формулы применяют графическое правило:

=-     Правило Сарруса

Вычислить определители матриц и сверить с ответом:

1. ;  =                          =27        

 2. ; =                                       =2ав-2в²              

 3. ; =                                                                           =9

Вычислить определители:

4.       Решение:     

5.      Решение:    

6.       Решение:     

Основные свойства определителей:

1.     Определитель не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами (т.е. транспонировать)

=   (свойство равноправности строк и столбцов)

Примеры: 1. =                           =          

 2.  =                                      =

2.     При перестановке двух строк (столбцов) определитель изменит свой знак на противоположный.  = -

Пример: =

 поменяем местами 1-й и 2-й столбцы: =

3.     Общий множитель всех элементов строки (или столбца) можно вынести за знак определителя: =к

Пример: =                           -2=

4.     Определитель с двумя одинаковыми строками или столбцами равен 0.

Пример: =

5.     Из свойств 3 и 4: Если все элементы двух строк (столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен 0.

Пример: =

6.     Если к какой-либо строке (или столбцу) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то же число, то определитель не изменится.

=

Пример: =

 Умножим 1-й столбец на 2 и сложим со вторым: =

7.     Треугольный определитель, у которого все элементы, лежащие выше (ниже) главной диагонали,- нули, равен произведению элементов главной диагонали.

==а₁₁ а₂₂ а₃₃

Пример: =

8.Если какая-либо строка (столбец) определителя состоит из одних нулей, то определитель=0.

9. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей.