Опыт работы. Методика обучению решению задач из 2 части заданий из ОГЭ.(9 класс).

Сборник докладов 13­го Всероссийского интернет­педсовета МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ИЗ ВТОРОЙ ЧАСТИ СБОРНИКА ЗАДАНИЙ ДЛЯ ГОСУДАРСТВЕННОЙ ИТОГОВОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ Сазонова Татьяна Фёдоровна,  ГБОУ лицей №1571,учитель  математики, город Москва  Предмет (направленность): математика Возраст детей: 9 класс. Место проведения: класс или вне класса. Аннотация:  Поскольку обучение решению базовых задач по геометрии в основной школе – дело непростое, а решение задач повышенной сложности   требует   особо   тщательной   подготовки   к   уроку,   в докладе   предоставляется   опыт   разбора   одной   интересной геометрической   задачи   из   второй   части   варианта   для   ГИА. Здесь   же   есть   решение   одного   алгебраического   задания,   в котором дети предложили разные способы решения. 1 Сборник докладов 13­го Всероссийского интернет­педсовета 1.Решить задачу    Высоты   треугольника   АВС   пересекаются   в   точке   Н,   а медианы  ­  в точке М.Точка К – середина отрезка МН. Найдите площадь треугольника  АКС, если известно, что  АВ = 6, СН = 3, ВАС = 45⁰. Выполняя   рисунок   к   задаче,     большинство   учеников добросовестно  провели  все три высоты треугольника, помня о том, что они непременно пересекутся в одной точке. Затем – все три медианы, которые тоже пересекаются в своей общей точке, делящей   каждую   из   них   в   отношении   2:1,   считая   от соответствующей   вершины.     А   при   поиске   ответа   на   вопрос задачи  понадобились  и другие дополнительные  построения.  В результате   получился   малопонятный   рисунок,   а   до   финиша дошёл только один ученик. Но   уже   на   этапе   проведения   высот   мыслящий   ученик должен задать себе вопрос: «А как проводить высоты, если я не знаю,  каковы углы треугольника. Если он тупоугольный, то две его высоты пройдут вне треугольника. Если прямоугольный, то эта точка есть вершина прямого угла. И только в остроугольном треугольнике точка пересечения высот окажется во внутренней области треугольника. Эта задача методически интересна тем, что здесь полезно начать выполнение рисунка с попытки построения треугольника АВС по  трём данным элементам, о которых говорится в условии задачи.   Именно   этот   метод   часто   оказывается   благодарным   в поисках пути решения многих трудных задач. Итак,   ставим   перед   собой   проблему   построения треугольника   АВС.   Поэтапно   у   нас   с   девятиклассниками получилось так: ­ два луча,  образующий  угол в 45 градусов; ­ откладываем АВ=6   (любые 6 равных отрезков); ­ проводим  перпендикуляр ВВ1 на горизонтальную сторону угла;  ВВ1  и   будет   одной   из   высот     ещё   не   построенного   поскольку   треугольник   АВ1В   равнобедренный   ­ треугольника АВС; прямоугольный, то его 2 Сборник докладов 13­го Всероссийского интернет­педсовета    медиана, проведённая из вершины прямого угла и задаёт   направление   будущей   второй   высоты     тр­ка   АВС, проведённой  к стороне  АВ. Заодно по пути заметим, что   эта длина этой медианы равна 3. Где же искать  вершину  С? Пока нам известно, что точка Н где­то на высоте ВВ1,  направление СН  перпендикулярно прямой АВ,  . СН=3 ( как и  отрезок В1С2). Построив   параллелограмм   В1С2НС,   мы   и   обнаружим вершину С и вторую высоту  (СС1)  треугольника АВС. Диагональ   С2С   параллелограмма   оказалась   медианой данного   треугольника   АВС.   Поделив   медиану   на   три   равные части, легко отыскать точку М.   Решение: Рассмотрим  ∆ АВВ1. Этот треугольник равнобедренный, так как  В1 = 90⁰,А = 45⁰, то  В = 45⁰. Найдём АВ1 = В1В. По  теореме Пифагора АВ1 = В1В =3√2. ∆ АВВ1~ ∆ НСВ1, CH =3, AB = 6, 3 Сборник докладов 13­го Всероссийского интернет­педсовета значит В1С = НВ1 = 1,5√2, следовательно,  АС = АВ1 + В1С = 3√2 + 1,5√2  = 4,5√2. ∆ АА2А3 ~ ∆ АММ1,  значит АМ:АА2 = ММ1:А2А3   (А2А3 = 0,5ВВ1 = 1,5√2) 4 Сборник докладов 13­го Всероссийского интернет­педсовета                                             2 : 3 = ММ1 : 1,5√2                                                ММ1 = √2 АС = АВ1 + В1С = 4,5√2 М1МНВ1 – трапеция, КК1 ­ средняя линия.       S ∆ АКС =   АС ∙ КК1 =   = 5, 625 Ответ: 5,625 Решить уравнение: (х + 4)(х + 5)3 = (х + 5)(х + 4)3 Решение: 5 Сборник докладов 13­го Всероссийского интернет­педсовета (х + 4)(х + 5)3 ­ (х + 5)(х + 4)3= 0; (х + 4)(х + 5)((х + 5)2 – (х + 4)2) = 0; (х + 4)(х + 5)(х + 5 – х – 4)(х + 5 + х + 4) = 0; (х + 4)(х + 5)(2х + 9) = 0.      В данном случае произведение двух или нескольких  выражений равно нулю, если хотя бы одно из выражений равно  нулю. Исходное уравнение равносильно совокупности:  х+ 4 = 0                         х = ­4  х + 5 = 0          <=>       х = ­5 2х + 9 = 0                      х = ­4,5 Ответ: ­5; ­4,5; ­4. Решить уравнение: I 5х2 – 3х – 2 I  = ­5х2 +3х + 2; Решение: I 5х2 – 3х – 2 I  = ­(5х2 ­ 3х ­ 2); По определению модуля:                а, если а>0, IаI =        0, если а = 0,                 ­а, если а<0, Решим уравнение   5х2 ­ 3х ­ 2  = 0, его решение является  то есть  IаI = ­а, если а ≤ 0. решением данного уравнения. Рассмотрим функцию у = 5х2 ­ 3х – 2 и найдём те значения х, при которых  у≤0. =0. D(у) = R. Найдём нули функции: у = 0. Решим уравнение  5х2 ­ 3х ­ 2  =  D = 9 + 40 = 49; D≥0, значит уравнение имеет два различных действительных корня. x = x =   =1;   x =   x =   = ­  . 6 Сборник докладов 13­го Всероссийского интернет­педсовета Нули функции: ­  Изобразим схематически график функции  у = 5х2 ­ 3х – 2. Её графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, так как  а = 5, а>0. у ≤ 0  при  хє  Значит, корнями исходного уравнения являются все числа  . из промежутка    Ответ:   . . 7