Основні визначення теорії біматрічних ігор

Основні визначення теорії біматрічних ігор

1)                    Попередні розгляди стосувалися ігор двох осіб, в яких інтереси ігроків були прямо протилежні (антагоністичні, або матричні ігри), а також позиційних ігор, що зводяться до матричних. Проте ситуації, в яких інтереси гравців хоч і не співпадають, але вже не обов'язково є протилежними, зустрічаються значно частіше.

2)                    Розглянемо, наприклад, конфліктну ситуацію, в якій кожний з двох учасників має наступні можливості для вибору своєї лінії поведінки:

3)                    гравець А – може вибрати будь-яку із стратегій А₁, ... , А_т ,

4)                    гравець В – будь-яку із стратегій В₁, …, В_n 

5)                    При цьому всякий раз їх сумісний вибір оцінюється цілком визначено:

6)                      якщо гравець А вибрав i-ю стратегію , а гравець В –  k-ю стратегію , то у результаті виграш гравця А буде рівний деякому числу , а виграш гравця В деякому, взагалі кажучи, іншому числу.

7)                    Іншими словами, всякий раз кожен з гравців отримує свій приз.

8)                    Послідовно перебираючи всі стратегії гравця А і всі стратегії гравця В, ми зможемо заповнити їх виграшами дві таблиці (перша з них описує виграші гравця А, а друга – виграші гравця В).

9)                   

10)                Зазвичай ці таблиці записують у вигляді матриць

11)               

12)                Тут А – платіжна матриця гравця А, а В – платіжна матриця гравця В.

13)                При виборі гравцем А i-й  стратегії, а гравцем В –  k-й стратегії їх виграші знаходяться в матрицях виплат на перетині  i-х рядків і k-x  стовпців: у матриці А це елемент , а в матриці В – елемент  .

Таким чином, у разі, коли інтереси гравців різні (але не обов’язково протилежні), виходять дві платіжні матриці: одна – матриця виплат гравцеві А, інша – матриця виплат гравцеві В. Цьому  звучить назва, яка зазвичай привласнюється подібній грі, – біматрічна.

Зауваження. Що розглядаються раніше матричні ігри, можна розглядати і як біматричні, де матриця виплат гравцеві В протилежна матриці виплат А:

У загальному випадку біматрічна гра – це гра з ненульовою сумою.

Клас біматрічних ігор значно ширше класу матричних (різноманітність нових модельованих конфліктних ситуацій вельми помітно), а, значить, неминуче збільшуються і труднощі, що встають на шляху їх успішного дозволу.

 «Студент — Викладач».

Розглянемо наступну ситуацію. Студент (гравець А ) готується до заліку, який приймає Викладач (гравець В). Можно вважати, що у Студента дві стратегії – підготуватися до здачі заліку (+) і не підготуватися (-). У Викладача дві стратегії – поставити залік [+] і не поставити заліку [-].

В основу значень функцій виграшу гравців покладемо наступні мислення:

Кількісно це можливо виразити, наприклад, так