2.2. Основні закони гідростатики.
2.2.1. Диференціальні рівняння рівноваги Ейлера.
Рівняння рівноваги Ейлера визначають
співвідношення між силами тиску і тяжіння, які діють на рідину в стані спокою. Гідростатичний
тиск р в кожній точці об’єму рідини не залежить від розташування в
просторі площі, на яку він діє, і є функцією тільки координат цієї точки p=f(x,y,z). Для визначення цієї
функціональної залежності всередині рідини, що знаходиться в стані спокою,
виділимо елементарний прямокутний паралелепіпед з об’ємом dV=dxdydz (де dx,
dy, dz – ребра паралелепіпеда, розташовані паралельно осям
координат x, y і
z (рис. 2.3)
Рис.2.3. До виведення диференціальних рівнянь
рівноваги Ейлера.
Сила тяжіння, яка діє на паралелепіпед, виражається добутком його маси dm на прискорення вільного падіння g:
dG=g× dm=gr dxdydz.
Сила гідростатичного тиску на кожну із граней паралелепіпеда дорівнює добутку гідростатичного
тиску р на площу відповідної грані dS:
dP = p×dS.
Складемо рівняння рівноваги цього паралелепіпеда у вигляді рівнянь проекцій діючих на нього об'ємних і поверхневих сил. Відповідно до основного принципу статики, сума проекцій сил, які діють на елементарний об’єм, що перебуває в рівновазі, дорівнює нулю.
Розглянемо суму проекцій сил на вісь z. На цю вісь проектуються сили ваги, а
також гідростатичного тиску на нижню й верхню грані. Сила ваги виразиться добутком
його маси dm на прискорення
вільного падіння g, тобто дорівнює gdm. При обраному позитивному напрямку осі z сила ваги буде проектуватися на цю вісь зі
знаком мінус: . Сила
гідростатичного тиску діє по нормалі на нижню грань, а її проекція на вісь z дорівнює
. Якщо зміна
гідростатичного тиску в даній точці в напрямку осі z дорівнює
, то по всій довжині
ребра dz вона складе
. Тоді гідростатичний
тиск на верхню грань паралелепіпеда буде дорівнювати
, а проекція сили
гідростатичного тиску на вісь z відповідно
.
Сума проекцій всіх сил на вісь z у цьому випадку буде дорівнювати:
.
За аналогією (при відсутності проекцій сили ваги), проекції сил на осі x та y будуть дорівнювати:
,
.
Зважаючи, що , то, після
скорочення на dV, умови рівноваги елементарного паралелепіпеда приймуть вид системи
рівнянь:
(2.15)
що носять назву диференціальних рівнянь рівноваги Ейлера.
2.2.2. Основне рівняння гідростатики.
З диференціальних
рівнянь рівноваги випливає, що тиск у рідині, що перебуває в стані спокою,
змінюється тільки по вертикалі. Оскільки в системі (2.15) частинні похідні й
дорівнюють нулю, то
частинна похідна
може бути замінена на повну
, тоді система
перетвориться на рівняння:
.
Розділивши обидві частини останнього рівняння
на , після перетворень одержимо
. Для нестисливої
рідини
є сталим,
тому
й, після
інтегрування, одержимо:
(2.16)
Розглянемо дві частки рідини, що перебувають у посудині на
відстані z й z0
від довільно обраної площини x-0-y (рис. 2.4). На них діє тиск відповідно p й p0.
На підставі рівняння (2.16) можна записати
(2.17)
Рис. 2.4. До виводу основного рівняння
гідростатики.
Рівняння (2.16) або (2.17) є основним
рівнянням гідростатики. Величину z називають нівелірною висотою, а - статичним
або п’єзометричним напором. Отже, основне рівняння гідростатики можна сформулювати в такий
спосіб: для кожної точки рідини, що знаходиться в стані спокою, сума
нівелірної висоти й статичного напору постійна.
Члени
основного рівняння гідростатики мають певний енергетичний зміст. Так, z характеризує питому
потенціальну енергію положення даної точки над площиною порівняння й тому
називається також геометричним напором, а - питому
потенціальну енергію тиску в цій точці. Сума зазначених енергій являє собою
загальну потенційну енергію, що приходиться на одиницю маси рідини. Отже,
основне рівняння гідростатики є окремим випадком закону збереження енергії: питома
потенціальна енергія у всіх точках спочиваючої рідини є величиною сталою.
Рівняння (2.17) можна записати у вигляді
або
(2.18)
Рівняння (2.18) представляє собою закон Паскаля, відповідно до якого тиск, створюваний у будь-якій точці нестисливої рідини, передається однаково всім точкам її об’єму.
На використанні основного рівняння
гідростатики заснована робота гідравлічних пресів, які широко використовуються
у промисловості будівельних матеріалів, наприклад при виробництві
деревинно-волокнистих і склопластиковых плит, цегли напівсухого пресування й
інших матеріалів.
Гідравлічні преси широко використовуються й при випробуванні різного роду будівельних матеріалів. Принципова схема преса показана на рис. 2.5.
Рис.2.5. Схема роботи гідравлічного преса.
1, 2 – поршні, 3 – матеріал, 4 – плита.
Якщо до поршня невеликого діаметра d1 прикласти силу F1, то,
відповідно до закону Паскаля, тиск в обох циліндрах буде однаковим, а сила, що
діє на поршень діаметром d2, буде в стільки ж раз більше, у скільки площа поршня d2 більше площі поршня d1, а оскільки
й
, то співвідношення
сил в циліндрах буде пропорційно
.
Таким способом, за допомогою порівняно невеликих зусиль в першому циліндрі, між поршнем d2 другого циліндра і плитою створюються значні стискаючі навантаження.
Основне рівняння гідростатики є основою і для пневматичного виміру рівня рідини в резервуарах (рис. 2.6.).
Для контролю за рівнем рідини в якомусь резервуарі 1 (наприклад, підземному), в ньому розміщують трубу 2, нижній кінець якої доходить майже до днища резервуара. Тиск над рідиною в резервуарі дорівнює р0. По трубі подають стиснене повітря або інший газ, поступово підвищуючи його тиск, який заміряють манометром 3. Коли повітря подолає опір стовпа рідини в резервуарі і почне барботувати через рідину, тиск р, що фіксується манометром,
Рис.2.6. Пневматичний вимір рівня рідини в резервуарі. 1- резервуар, 2 – труба, 3 – манометр.
перестає зростати і буде дорівнювати, згідно рівнянню (2.18):
р = р0 + rgz0,
звідки рівень рідини в резервуарі
.
За величиною z0 та відомою площею поперечного перерізу резервуара визначають об’єм рідини в ньому.
Материалы на данной страницы взяты из открытых источников либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.