ОСР. Асимптоты графика функции.

ОСР. Асимптоты графика функции. 1)Опорный конспект. Асимптота – это прямая, к которой бесконечно близко приближается график функции. Асимптоты бывают горизонтальные, вертикальные и наклонные. Виды асимптот. опр. Прямаях = х0 называется вертикальной асимптотой графика функции   или  бы одно из предельных значений Замечание. Прямая х = х0 не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в  точке х = х0  . Поэтому вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции. опр.Прямая  хотя бы одно из предельных значений  Замечание. График функции может иметь только правую горизонтальную асимптоту или только левую. опр.Прямая  если  Нахождение наклонной асимптоты.Если для функции   называется горизонтальной асимптотой графика функции   называется наклонной асимптотой графика функции   существуют  , если хотя   или   равно   . , если  или равно   . ,  пределы   при   .  и  .Горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной при , то функция имеет наклонную асимптоту 2) Решение типовых заданий: Пример№1.Найти асимптоты графика функции  Решение. Область определения функции: а) вертикальные асимптоты: прямая   ­ вертикальная асимптота, так как б) горизонтальные асимптоты: находим предел функции на бесконечности: в) наклонные асимптоты  : то есть, горизонтальных асимптот нет. ,   Таким образом, наклонная асимптота:  Ответ. Вертикальная асимптота ­ прямая   .  .Наклонная асимптота ­ прямая  Пример№2.Найдем асимптоты графика функции  Решение.1. Начнем с области определения функции. Функция  не определена в точке  следовательно прямая   является вертикальной асимптотой.                                                      2. Степень числителя дроби  этого отношения при   на единицу больше степени знаменателя, поэтому предел   отношения равен бесконечности. Следовательно, график  функции   не имеет горизонтальной асимптоты.  . , 3. Попробуем найти наклонную асимптоту. (Предел функции равен отношению коэффициентов при максимальных степенях   в числителе и знаменателе дроби).     Итак, уравнение наклонной асимптоты:  График функции  асимптоты были найдены верно:рис. Пример№3.Найти асимптоты графика функции , построенный с помощью специальной программы, показывает, что  Решение: комментировать особо нечего, поэтому оформлю примерный образец чистового  решения: 1) Вертикальные асимптоты. Исследуем точку  .  является вертикальной асимптотой для графика  Прямая  при  2) Наклонные асимптоты: .   Прямая  Ответ:    является наклонной асимптотой для графика   при  . . Пример№4.Найти асимптоты графика функции   . Решение: 1) Вертикальные асимптоты. Функция терпит бесконечный разрыв в точке  . Найдём односторонние пределы: Прямая  2) Наклонные асимптоты.  является вертикальной асимптотой графика функции при  .  (ось абсцисс) является горизонтальной асимптотой графика функции  Прямая  при  . Ответ:  Пример№5.Найти асимптоты графика функции Решение: 1) Вертикальные асимптоты. Функция терпит бесконечный разрыв в точке  Вычислим односторонние пределы: . Примечание: бесконечно малое отрицательное число в чётной степени равно бесконечно  малому положительному числу:  . Прямая  2) Наклонные асимптоты.  является вертикальной асимптотой графика функции.  (ось абсцисс) является горизонтальной асимптотой графика функции  Прямая  при  Ответ:  Пример№6.Найти асимптоты графика функции . Решение: 1) Вертикальные асимптоты. Исследуем точку  . Примечание: бесконечно малое отрицательное число в нечётной степени равно бесконечно малому отрицательному , . числу:  Прямая  для графика  2) Наклонные асимптоты: , если   (ось  . ) является вертикальной асимптотой . Прямая  Ответ:    является наклонной асимптотой для графика   при  . Пример№7.Исследовать график функции на наличие асимптот Решение: подкоренное выражение положительно, значит, область определения – любое  действительно число, и вертикальных палок быть не может. Проверим, существуют ли наклонные асимптоты. Если «икс» стремится к «минус бесконечности»,  то:  (при внесении «икса» под квадратный корень необходимо добавить знак «минус», чтобы не  потерять отрицательность знаменателя) Выглядит необычно, но здесь неопределённость «бесконечность минус бесконечность».  Умножаем числитель и знаменатель на сопряженное выражение: Таким образом, прямая  С «плюс бесконечностью» всё тривиальнее:  является наклонной асимптотой графика при  . .  – при  , если  А прямая  Ответ:  Пример№8.Исследовать график функции на наличие асимптот Решение: так как функция непрерывна на   Выясним, есть ли у графика наклонные асимптоты: , если  ; . , то вертикальные асимптоты отсутствуют. Значит, при   у графика нет наклонной асимптоты. Таким образом, прямая  функции при  Ответ: ось абсцисс при  .  является горизонтальной асимптотой графика данной  . 3)Задание: Найти асимптоты графика функции 1. ,  )( xу  3 1  х )( xу  4 х х  2 )( xу  23  1  ,  3 4 х  ,  2 х 2. 3. 4. 5. 6.  7. )( xу  2 х х  (  1 2)1 )( xу  х 2 2 х 3  3 . , ,  )( xу   х ( х  2 )1 . )( xу   ,  1  3 4 3 х х 8.  xу  )( ln х х .