ОСР. Параллельность прямых, параллельность прямой и плоскости. Параллельность плоскостей.Перпендикулярность прямой и плоскости.

α . Через середину отрезка С и концы отрезка А и В  ОСР. Параллельность прямых, параллельность прямой и плоскости. Параллельность  плоскостей. Перпендикулярность прямой и плоскости. 1)Отрезок АВ не пересекает плоскость  проведены прямые, параллельные между собой и пересекающие плоскость α в точках А1, В1, С1. Вычислить длину отрезка СС1, если АА1 = 5, BB1 = 7. Дано:  Найти: СС1.  Решение: 1. Докажем, что A1, С1 и В1 лежат на одной прямой. (АА1, ВВ1) =  Докажем, что С1 ∈ А1В1.  АА1 = 5 см, ВВ1 = 7 см (рис.). , β β ∩ а = А1В1. 2. Пусть С1 ∈ А1В1, тогда CC1 ∩  Получили противоречие, значит, С1 ∈ А1В1. 3. Так как А1А || ВВ1, значит, А1АВВ1 ­ трапеция, СС1 ­ средняя линия  =β  c, с ­ прямая пересечения;   по лемме АА1 ∩  . β  …     (Ответ: … см.)   2)Точка М лежит на отрезке АВ. Отрезок АВ пересекается с плоскостью α в точке В. Через А и М  проведены параллельные прямые, пересекающие α в точках А1 и M1. а) Докажите, что А1, М1 и В лежат на одной прямой. б) Найдите длину отрезка АВ, если АА1 : ММ1 = 3 : 2, AM = 6. Дано:  Докажите: М1 ∈ А1В.  Найдите:ВМ. Решение:  (рис.).  Предположим, М1 ∈ А1В, тогда    значит,    что  1.  противоречит условию. 2.  62 ВМ ... (Ответ: … см.)     3)Дан ΔМКР. Плоскость, параллельная прямой МК, пересекает МР в точке М1, РК ­ в точке К1.  Найдите М1К1, если МР : М1Р = 12 : 5, МК = 18 см. Дано:     (рис.). Найти: М1К1. Решение: 1.  2. ΔМРК ~ ΔМ1РК1 (по двум углам).  …     (Ответ: …см.) 4)Дан ΔВСЕ. Плоскость, параллельная прямой СЕ, пересекает BE в точке Е1, а ВС ­ в точке С1.  Найдите ВС1, если С1Е1 : СЕ = 3 : 8, ВС = 28 см. Дано:  Найти: ВС1.  (рис.). Решение: 1.  2. ΔВС1Е1 ~ ΔВСЕ (по двум углам);  …                 (Ответ: … см.) 5)Дано: А, В, С, D; В ∉ (ACD). Е, F, М, К­ середины сторон АВ, ВС, CD, AD; AC = 6 см,  BD = 8 см (рис.). Доказать: EFMK ­ параллелограмм.Найти: PEFMK. Решение: 1)   ­ средняя линия,   ­ средняя линия, МК || АС,  2)  КМ = 1/2АС. EF || AC (значит EF || (ACD)), АС || КМ ⇒ EF || КМ по теореме о параллельности  прямой и плоскости. 3) Аналогично ЕК || FM. 4) EFMK ­ параллелограмм, то есть EF || КМ, ЕК || FM. 5) Учитывая свойства параллелограмма  EF EK   KM FM  P EFMK   2 EF  EK 6) Из п. 1 и 2 следует, что  KM  EF  AC 2:  2:6  ... 7) 8) EK  FM  BD 2:  2:8  ... PEFMK   2 EF  EK   342 ...    (Ответ: … см.)  6)Дано: А ∉ (BCD); AR = RD, АР = РВ, ВТ = ТС, DS = SC; BD = 6 см, PPRST = 14 см (рис.). Доказать: PRST ­ параллелограмм. Найти: АС. Решение: 1)   ­ средняя линия,   ­ средняя линия,  что РТ || RS (по теореме о параллельности трех прямых).  ­ средняя линия,   Из б и в следует,  что TS || RP(по теореме о параллельности трех прямых). TS = RP.  ­ средняя линия,   Из а и г следует, 2)  7)  Дано: ΔАВК, М ∉ (АВК); E.D­ точки пересечения медиан ΔМВК и ΔАВМ; АК = 14 см (рис.). Доказать: ADEK ­ трапеция. Найти: DE. Решение:  …(Ответ: … см.) 1)   ­ средняя линия ON || AK, ON = 1/2AK. 2) Рассмотрим (MNO). ΔMON ∈ (MNO). Точки Е и     D ­ точки пересечения медиан: по свойству медиан  3) ΔMED ~ ΔMON ∠M ­ общий   значит, ∠MED = ∠МОN, то есть ED || ON. 4)   (по теореме о параллельности прямой и плоскости). 5) Из п. 1,3    по признаку, значит, KEDA – трапеция, ED и AK ­ основания. 6)  7) Рассмотрим ΔMED и ΔMON, ΔMED ~ ΔMON (из п. 3), значит,  (из п. 1),      ED 3:72  ... (Ответ: …см.) 8)Дано: ΔАВС; АВ = АС = ВС; CD ⊥ (ABC); AM = MB, DM = 15, CD = 12 (рис.). Найти: SΔADB. Решение: 1) CD ⊥ (ABC) ⇒ CD ⊥ AC и CD ⊥ ВС, тo есть ∠ACD = ∠BCD = 90° и ΔADC, ΔBDC ­прямоугольные. 2) ΔADC = ΔBDC (по двум катетам): DC ­ общий, AC = ВС (по условию). Значит, AD = BD (как соответствующие в равных треугольниках), тогда ΔADB ­ равнобедренный (по определению) и DM ­ медиана. Следовательно, DM ­ высота (по свойству медианы равнобедренного треугольника). 3) DC ⊥ МС ⇒ ∠DCM = 90° и ΔMCD ­ прямоугольный. По теореме Пифагора: MD2 = DC2 + МС2.  Тогда В   MC  2 DM  2 DC  2 15  2 12  ... 4) ΔМСВ ­ прямоугольный (∠CMB = 90°, так как СМ ­ медиана и высота в ΔАВС ­  равностороннем),   тогда   ( ∠ B sin,60 B MC BC , BC  MC  60 sin   3 18 3  18 3 9 3 2  ,36 AB  BC по условию), 5)  S ADB DM 1 2  AB 15 36 1 2  153 3 ...   (Ответ: …см.) 3 9) Диагональ BD параллелограмма ABCD перпендикулярна плоскости  параллелограмма, если АВ = 7 см, точки А и С лежат в плоскости  Дано:  Найти: РABCD. Решение: ;α  ABCD ­ параллелограмм;  .α  (рис.). α . Найдите периметр  1) Так как А ∈  , Сα  ∈  , тоα    (по определению прямой, перпендикулярной плоскости). Значит, ABCD ­ ромб (по признаку). Тогда АВ = ВС = CD= AD = 7 см (по определению ромба). 2) РABCD = 4 ∙ 7 = … (см). (Ответ: … см.) 10)Дано: ΔАВС, АВ = ВС = АС; О ­ центр ΔАВС; ОМ ⊥ (ABC); АВ = 6 см, МО = 2 см (рис.). Доказать: МА = MB = МС. Найти: МА. Решение: 1) Так как О ­ центр ΔАВС, то АО = ВО = СО = R. 2) Так как МО ⊥ (ABC), то МО ⊥ АО, МО ⊥ ВО, МО ⊥ СО (по определению прямой, перпендикулярной плоскости). Тогда ∠MOA = ∠MOB = ∠MOC = 90°, а ΔМАО, ΔМВО и ΔМСО ­ прямоугольные. 3) ΔМАО = ΔМВО = ΔМСО (по двум катетам): МО ­ общий, АО = ВО = СО. Следовательно, МА = MB = МС. D 4)  По теореме Пифагора:   2 AM  AO 2  2 MO , AM 2   32 2  2  12 4 2 ..., С    AM  ... (Ответ: … см.) 11)На ребрах DA, DB и DC тетраэдра DABC отмечены точки М, N, Р так, что  DM : МА = DN : NB = DP : PC (рис.). Докажите, что плоскости MNP и ABC параллельны. Найдите площадь ΔМNР, если площадь ΔАВС равна 10 см2 и DM : МА = 2 : 1.  Решение: 1 Рассмотрим ΔADC и ΔMDP. По условию     или   треугольника ADC и треугольника MDP угол D ­ общий, a стороны, образующие угол D пропорциональны, делаем вывод ΔADC ~ ΔMDP. Из подобия следует равенство углов: ∠1 = ∠2; ∠3 = ∠4. Таким образом, МР || АС (по признаку параллельности прямых). Повторив рассуждение для грани DCB, получим PN || СВ. Следовательно, по теореме п. 10 (MNP) || (ABC).  Учитывая, что у  отсюда  2 ΔMNP ~ ΔАВС (по двум углам).    ABC Из подобия ΔADC и ΔMDP следует, что  3 2 S   2 S  (Ответ: …)  4 10 9    9 4   ... MNP , S MNP 12) Через вершину В ромба ABCD проведена прямая ВМ, перпендикулярная к его плоскости.(рис.). Найдите расстояние от точки М до прямых, содержащих стороны ромба, если АВ = 25 см, ∠BAD = 60°, ВМ = 12,5 см.  Решение:MB ⊥ (ABCD) ⇒ MB ⊥ АВ, MB ⊥ BC ⇒ MB = 12,5 см. BB1 ⊥ AD,  BB2 ⊥ CD. По теореме о трех перпендикулярах МВ1 ⊥ AD,  MB2 ⊥ DC. ∠A = ∠C, АВ = ВС, значит, ΔАВ1В = ΔСВ2В,  ВВ1 = ВВ2 = 25 ∙ sin60° = 12,5 (см). 3 Проекции ВВ1 и ВВ2 наклонных МВ1 и МВ2 равны, значит, равны и наклонные  (Ответ: 12,5 см, 12,5 см, 25 см.) 13)Из точки А, удаленной от плоскости  плоскости наклонные АВ и АС под углом 30° к плоскости. Их проекции на плоскость  Найдите: ВС.  Решение: ΔАМС = ΔАМВ (по катету и острому углу).  ΔВМС: по теореме косинусов   образуют угол в 120° (рис.).  на расстояние  d, проведены к этой γ γ      (Ответ: 3d.) 14)Расстояние от точки М до каждой из вершин правильного ΔАВС равно 4 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости ABC, если АВ = 6 см. Дано: ΔАВС ­ правильный, М ∈ ABC АВ = 6 см, АМ = ВМ = СМ = 4 см (рис.). Найти:  (М, пл. Решение: Проводим МО ⊥ пл. ABC, соединим точку О с А, В, С. Равные наклонные имеют равные проекции, поэтому АО = ОВ = ОС = R,  где R ­ радиус окружности, описанной около ΔАВС.   ABC).  ρ По теореме синусов  Из прямоугольного ΔАОМ:   (М, пл. ρ  ABC): MO  2 AM  2 AO  16  12  ... (Ответ: … см.)