ОСР. Применение интеграла к вычислению физических величин и площадей.

ДМ. Применение интеграла к вычислению физических величин и площадей. 1)   Опорный конспект. 1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПУТИ, ПРОЙДЕННОГО ТОЧКОЙ Путь, пройденный точкой при неравномерном движении по прямой с переменной  за промежуток времени от   до   вычисляется по формуле  скоростью  . Примеры: 1. Скорость движения точки  Решение: согласно условию,   м/с. Найти путь, пройденный точкой за 4­ю секунду. .  Следовательно,  2. Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью  расстоянии друг от друга они окажутся через 5 с? Решение: очевидно, что искомая величина есть разность расстояний, пройденных первым и  вторым телом за 5 с:  м/с, второе — со скоростью v = (4t+5) м/с. На каком  3. Тело брошено с поверхности земли вертикально вверх со скоростью и = (39,2—9,8^) м/с. Найти  наибольшую высоту подъема тела. Решение: тело достигнет наибольшей высоты подъема в такой момент времени t, когда v = 0,  т.е. 39,2—9,8t = 0, откуда I = 4 с. По формуле (1) на ходим 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ РАБОТЫ СИЛЫ Работа, произведенная переменной силой f(х) при перемещении по оси Ох материальной точки от х  При решении задач на вычисление работы  = адо х=b, находится по формуле  силы часто используется закон Г у к а: F=kx, (3) где F — сила Н; х—абсолютное удлинение  пружины, м, вызванное силой F, а k —коэффициент пропорциональности, Н/м. Пример: 1. Пружина в спокойном состоянии имеет длину 0,2 м. Сила в 50 Н растягивает пружину на 0,01 м.  Какую работу надо совершить, чтобы растянуть ее от 0,22 до 0,32 м? Решение: используя равенство (3), имеем 50=0,01k, т. е. kК = 5000 Н/м. Находим пределы  интегрирования: а = 0,22 — 0,2 = 0,02 (м), b=0,32— 0,2 = 0,12(м). Теперь по формуле (2)  получим 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ РАБОТЫ, ПРОИЗВОДИМОЙ ПРИ ПОДНЯТИИ ГРУЗА Задача. Цилиндрическая цистерна с радиусом основания 0,5 м и высотой 2 м заполнена водой.  Вычислить работу, которую необходимо произвести, чтобы выкачать воду из цистерны. Решение: выделим на глубине х горизонтальный слой высотой dх (рис.). Работа А, которую надо произвести, чтобы поднять слой воды весом Р на высоту х, равна Рх. Изменение глубины х на малую величину dх вызовет изменение объема V на величину dV = пr2 dх  и изменение веса Р на величину * dР = 9807 r2 dх; при этом совершаемая работа А изменится на величину dА=9807пr2 хdх. Проинтегрировав это равенство при изменении x от 0 до Н, получим 4. ВЫЧИСЛЕНИЕ СИЛЫ ДАВЛЕНИЯ ЖИДКОСТИ Значение силы Р давления жидкости на горизонтальную площадку зависит от глубины  погружения х этой площадки, т. е. от расстояния площадки до поверхности жидкости. Сила давления (Н) на горизонтальную площадку вычисляется по формуле Р =9807  S x, где   — плотность жидкости, кг/м3; S — площадь площадки, м2; х ­ глубина погружения  площадки, м. Если площадка, испытывающая давление жидкости, не горизонтальна, то давление на нее различно  на разных глубинах, следовательно, сила давления на площадку есть функция глубины ее  погружения Р (х). Величины А – работа; F – сила; N ­ мощность. m –масса тонкого стержня p – линейная плотность Q –электрический заряд; I – сила тока. S –перемещение; v –скорость. Q –количество теплоты; с – теплоёмкость. Вычисление производной Вычисление интеграла F(x)=A' (x); N(t)=A' (t). P(x)=m' (x). I(t)=q' (t) V(t)=S' (t) C(t)=Q' (t) ; A= A= m= Q= S= Q= Физические приложения интеграла 1. Реши задачи. 1 Вычислите массу участка стержня  1 Вычислите работу за промежуток времени [4;9 ], Вариант 1 Вариант 2 от  плотность задается формулой   , если его линейная  если мощность вычисляется по  формуле  . 2. Вычислите количество электричества,  2. Вычислите работу по переносу единичной  протекшего по проводнику за промежуток  времени [ 2;3 ], если сила тока задается  формулой  массы, совершенную силой  [ ­1;2]. 2)Перепишите и заполните пропуски: Пример 1. а)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х2  +¿ 2, у = 0, х =  −¿ 2, х = 1. Решение: Выполним чертеж (обратите внимание, что уравнение у = 0  задает ось  ОХ):  Штриховать криволинейную трапецию я не буду, здесь очевидно, о какой площади идет речь. Решение продолжается так: На отрезке[– 2;1]    график функции у = х2  +¿ 2  расположен над осью ОХ, поэтому:   (х  364 dx2)  (2   ( ..., 2  )4 S 2 3 х 3  1 2хх 2­ 1 3 1  2 8 3 1 3 8 3 Ответ: S = 9 eд2. б)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у =  −ех координатными осями. Решение: Выполним чертеж: Если криволинейная трапеция расположена под осью OX (или, по крайней мере, не выше данной оси), то её площадь можно найти по формуле: S =  −∫ В данном случае: f(x)dx  .  , х = 1  и b a S   (­е 1 0 1 0 х dx)   х dxе  е х 1  е 0 е  е 1 1 0 Ответ:  (S  е 2 )1 ед  72,1 ед 2 . , у =  −х  .  =  −х  , 3х  −х2   и прямой у =  −х   .  Пример 2.а) Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями   у = 2х  −х2 Решение: Сначала нужно выполнить чертеж. Найдем точки пересечения параболы у = 2х  −х2 Решаем уравнение:  2х  −х2 х1 = …, х2 = ... Значит, нижний предел интегрирования а = 0, верхний предел интегрирования  b = 3 .    x = a ,x = b , можно найти по формуле: S =   ∫ Искомая фигура ограничена параболой y = 2х  −х2 у =  −х    снизу. На отрезке[0;3]  2х  −х2≥−x  , по соответствующей формуле  = 0, х(3 −х ) = 0,  (f(x)−g(x))dx .   сверху и прямой       b a S   (2х 3 0 2 х­  dx х­(    (3 dx)х ­х 2 3 0  ( 3х 2  3 х 3 ) 3 0  27 2 27 3  00 )23(27  6  ..., 9 2 Ответ: S = 4,5 eд2.   .                                                                                                б) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=2 x  , y = x  +1  , y = 0  , x = 3 . Решение: Сначала выполним чертеж: Площадь фигуры считается с помощью двух определенных интегралов. Действительно: 1) На отрезке [– 1;1]  над осью OX расположен график прямой    y = x  +1    ; 2) На отрезке  [1;3]   над осью OX  расположен график    гиперболы Совершенно очевидно, что площади можно (и нужно) приплюсовать, поэтому: у  2 х . 1 S  (х 1  11   1)dx  2ln3  ( 3 2dx     х 1  ... 2ln3 2  х 2 (12 х ) 1  1 ln3).   )хln2 3 1  )1 ( 1 2 Ответ:   ln3(2)1  ­ ln1)  ( 1 2 . 2 2 . ед 2,4 ln3) ед   (12S Пример 3.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями x +y=4  , xy = 3 . Решение: Выполним чертеж . На отрезке   , по   43;1  х 3 х соответствующей формуле: 2 3  –х –(4 dx)  4( х  х 2  )хln3 3 1  12( 9 2  ln3) 3  –(4 – 1 2 0) –  S  1 15  2 3 х 7 2 ln33  –  8 2 ln33   –.... 3ln3. Ответ: ln334(S )  2 ед  7,0  . 2 ед . .   f '  (x) = 2x;значит, f(a) = a2   +10;  f '  (a) = Пример   4.  Найти   площадь   фигуры,   ограниченной   параболой   у   =   х2  +10   и касательными к этой параболе, проведёнными из точки (0;1).  Решение:  Неизвестна  абсцисса точки  касания  х =  а. Чтобы её  найти, составим уравнение касательной:  y = f (x0)  +f'(x0)∙(x−x0) Имеем f(x) = x2   +10, 2a; уравнение касательной имеет вид: y = a2   +10   +¿  2 a(x  −a ) = a2   +10   +¿  2 ax  −2a2=2ax−a2+10 ; Уравнение касательной y =  −a2+2ax+10  (1) По условию касательная должна проходить через точку (0;1), то есть координаты точки (0;1) должны удовлетворять уравнению (1): 1 = 2a0  −a2+10 ;  a2=9 , a1 =  −…;  a2 = ... Подставим найденные значения в уравнение (1):  y  =   −¿   9   +¿   10   −6x=−6x+1;   Если  a  =   3   ,  то  y  = Если  a  =   −3,  то   −9+10+6x=6x+1  . Получили два уравнения касательных y =  −6x+1иy=6x+1  . Параболы y = х2 + 10 они  касаются в точках А(– 3;19) и В(3;19). Найдём площадь фигуры DACB: SDACB = 2SDCB ,  S DCB  3  ( 0 2 х  )10 dx  3  0 6( х  )1 dx  3  ( 0 2 х  6 x  )9 dx  ( 3 x 3  2 3 x  )9 x 3 0   ( 3 3 3  )39 33 2 ( 3 0 3 SDACB = 2 9 = ... Ответ: 18.  )09 03 9 2 27  27 9 2)Решить задание  ( по примерам): 1. а)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями  у ,2 у  ,0 х . ,3 х  3 2  х б)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями  и координатными осями. у  х е ,  2 х 2. а)Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями   у  2 х  ух ,4  х . б)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у  8 х , у  х ,2 у .  4 ,0 х 3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями  х  5 ух ,6 у  . 4. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой  и касательными к этой параболе,  у 3 2   х 4 проведёнными из точки (0;1).  3)Решить задание: 1. a)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями  у  3 2 х  ,4 у  ,0 х . ,1 х  1 б)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями  и координатными осями. у  х е ,  3 х 2. а)Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями   у  х 6 2 х , у  х б)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у  12 х , у  х ,4 у  ,0 х  4 . . 3. a)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 5 2 х  4 у 4,0 .  х  4 у  01 б)Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у  2 х ,2 у  2 х 4. a)Найти площадь фигуры, ограниченной линиями х  7 ух ,8 у  . 1 . б) В каком отношении парабола  у  4 2 х  делит площадь четырёхугольника, вершины которого  находятся в точках с координатами (0;0); (2;0); (0;6); (2;6)? 5. a)Найти площадь фигуры, ограниченной параболой  и касательными к этой параболе, у 3 2   х 13 проведёнными из точки (0;1).  б) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями  . у  4 х , у  , хх  8